不可压缩纳维-斯托克斯方程的保结构变分多尺度稳定化方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Structure-preserving Variational Multiscale Stabilization of the incompressible Navier–Stokes equations

　　

凯文·迪杰斯特拉|迪皮什·托什尼瓦尔

摘要

本文提出了基于有限元外微分几何框架的不可压缩纳维-斯托克斯方程的变分多尺度稳定化方法。该框架能够保留连续空间及偏微分方程在离散空间和模型中的几何与拓扑结构，有助于构建稳定且收敛性良好的离散化方案。对于纳维-斯托克斯方程，这种结构通过德兰姆复形来体现。在本研究中，我们探讨了在有限元外微分几何框架下对涡度-速度-压力公式进行离散化的方法。通过引入合适的细尺度控制方程来模拟未解决尺度对有限维度解的影响，这些方程同样采用有限元外微分几何方法进行离散化。这样一来，粗尺度与细尺度解中都保持了连续问题的结构特征，例如粗尺度与细尺度的速度场都是点态不可压缩的。我们证明，所提出的方法具有残差基础、能量稳定性，并且具备最优收敛性。此外，我们的细尺度模型还提供了一种高效的计算方式——由于可以将不同元素上的细尺度问题解耦，因此可以并行求解。实际上，在矩阵组装过程中完全可以消除细尺度方程，从而得到仅由粗尺度离散化规模决定的VMS格式。最后，所提出的方法既适用于德兰姆复形的最低规则性离散化，也适用于高规则性的等几何离散化。我们通过数值实验验证了理论结果，模拟了稳态、非稳态、有粘性和无粘性流动问题，从实验证明了该方法的雷诺数鲁棒性。测试表明，经过稳定的解在质量上优于未稳定的解，收敛速度达到最优，而且随着网格分辨率的提高，稳定性会逐渐消失。