一种适用于具有非局部积分边界条件的非线性Caputo反应-扩散方程的边界自适应勒让德-伽辽金方法

《Fractal and Fractional》：A Boundary-Adapted Legendre–Galerkin Method for Nonlinear Caputo Reaction–Diffusion Equations with Non-Local Integral Boundary Conditions

　　

摘要

本文研究了具有卡普托记忆项及非局部积分边界条件的非线性分数阶反应-扩散方程在有限区间上的问题。研究目标是构建一个与边界条件相容的适定性框架，并设计一种高阶时间近似方法，该方法可与保持约束性的谱空间离散化技术相结合。分析部分证明了非局部边界函数的有界性，给出了兼容性假设，同时还引入了用于显式多项式提升的有限维非退化条件。在扇形非局部椭圆实现以及全局利普希茨反应项的条件下，通过分数阶解析算子估计和分数阶格隆沃尔不等式，得到了温和解的存在性、唯一性、稳定性以及连续依赖性。本文的主要创新点在于：结合设计了用于积分边界约束的显式多项式提升方法、保持约束性的勒让德-伽辽金基函数、高阶贝塔窗时间积分方法，同时还提出了能够处理符号变化权重的离散稳定性条件。数值实验结果表明，对于平滑的卡普托基准函数，该方法具有高阶精度，能够准确满足非局部边界约束，其精度也优于传统的???1 近似方法。稳定性分析则明确了处理符号变化的贝塔窗权重所需的离散强制条件。