基于采样数据固定控制的具有比例时延的惯性Clifford值神经网络指数滞后同步及其在多光谱图像水印中的应用

《Neural Networks》：Exponential lag synchronization of inertial clifford-valued neural networks with proportional delays via sampled-data pinning control and applications to multi-spectral image watermarking

　　G. Rajchakit|C.P. Lim
泰国清迈50290，梅乔大学理学院，工业优化与应用项目

摘要
我们研究了在比例延迟驱动下、并通过采样数据固定控制器调节的惯性克利福德值神经网络（ICVNNs）的指数滞后同步问题。由于比例延迟会无界增长，因此无法使用适用于恒定或有限延迟的有界窗口李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函；于是我们构建了一种记忆窗口随延迟本身变化的泛函。二阶惯性动力学被简化为一阶增强系统，而非交换的克利福德状态则被分解为实数子系统。在此框架下，我们推导出了两个可验证的标量（代数）充分条件：第一个条件可保证指数滞后同步并给出明确的衰减率，而第二个条件则能确定允许的最大采样周期。这些条件无需矩阵不等式求解器，可直接在网络和控制参数中体现。一个包含六个神经元的四元数值示例验证了该理论，并量化了采样周期、固定比例、滞后及延迟比如何影响系统收敛性。最后，基于同步后的混沌状态设计的多光谱图像水印方案，经过十种攻击的鲁棒性测试，展示了该成果的实际应用价值。

引言
在过去十年中，含有惯性项的神经网络受到了大量研究关注，主要是因为控制方程中的二阶导数能够产生更复杂的振荡现象，从而更好地反映实际神经组织的动态特性[1]、[37]。从建模角度而言，惯性系数反映了膜电位的电感效应，其引入能够产生复杂的分岔模式、周期倍增级联现象以及一阶模型无法再现的混沌行为[26]。在应用层面，惯性神经网络已被用于联想记忆设计、优化求解器以及信号发生器等领域[17]、[21]。

另一条同样活跃的研究方向是克利福德值神经网络。实数克利福德代数提供了一个统一的代数框架，其中实数()、复数()、四元数()以及更高阶的超复数系统都是其特例。克利福德值神经网络（CLVNNs）能够处理多通道数据，这些数据的各个分量具有相互关联的几何意义，这一特性使其在彩色图像分析、3D姿态估计以及雷达极化测量等方面具有应用潜力[4]、[15]、[24]。CLVNNs面临的主要分析难题在于，当某些条件下克利福德乘法是非交换的，这就使得许多为实值系统设计的估算方法不再适用。为了解决这一问题，大多数研究者将克利福德值网络分解为一系列等效的实值子系统，然后在实数域上进行分析[2]、[11]、[22]、[23]、[31]、[32]、[43]、[44]。

在实际应用中，时间延迟不可避免，且可能破坏原本表现良好的网络稳定性。文献中主要存在三类延迟：恒定延迟、有界但时变的延迟，以及比例型（或滑轨型）延迟。比例型延迟具有如下形式，随着的增大，延迟的大小也会无界增加。这类延迟最初是在铁路工程中的滑轨方程研究中被提出的[30]，后来也出现在种群生物学、数论以及某些具有距离依赖传播特性的神经网络中[9]、[25]。正是由于的无限增长，使得相关分析变得非标准。有界延迟的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函包含在一个固定长度窗口内的积分记忆项，其时间导数会在固定滞后点处产生一项，随后通过恒定延迟窗口估计来控制该项。当时，窗口长度会随线性增长，因此不存在固定的，标准的导数抵消机制也就不再成立。本文采用的解决方案是使用一个下限为缩放后的点的泛函，其导数在处产生的项可通过广义的（比例延迟型）哈拉奈不等式来控制。由于这一难点，针对比例延迟网络的同步研究成果仍然十分稀少[16]、[20]。近期的一些研究开始探讨这一领域的部分问题：[12]研究了在量化非周期性间歇控制下，具有时变和比例延迟的半马尔可夫跳跃双惯性分数阶神经网络；[5]探讨了具有比例型和混合时变延迟的四元数值神经网络；[18]研究了具有混合延迟的半马尔可夫切换四元数神经网络的自适应滞后同步问题；[19]则将四元数值神经网络、比例延迟、混合采样数据控制与安全图像应用相结合。尽管这些研究在技术上与当前问题相关，但均没有同时考虑惯性克利福德值状态、无界比例延迟、指数滞后同步以及采样数据固定控制这几种因素。

同步是指耦合或受控动力系统的状态趋向于同一轨迹的现象。在众多已研究的同步类型中——完全同步、反同步、投影同步、准投影同步以及广义同步——滞后同步具有特殊地位。在滞后同步中，响应系统会以一定的时间偏移跟踪驱动系统，即对于某个滞后常数，有。这种同步方式类似于长距离通信链路或反馈电路中的情况，即接收信号不可避免地会落后于发送信号[33]、[34]。令人意外的是，在克利福德值系统中，滞后同步所受到的关注远远少于其完全同步对应形式。

从控制工程的角度来看，在数字平台上，由于测量值和执行器指令只能在离散采样时刻获得，连续时间反馈可能并不现实。采样数据控制通过在相邻采样点之间保持控制输入不变来克服这一限制[10]、[29]。此外，如果只有部分网络节点接收控制输入，那么这种策略就被称为采样数据固定控制，它在减少传感器和执行器数量、降低带宽需求以及简化布线方面具有明显优势[8]、[28]、[41]。据我们所知，采样数据固定控制尚未被应用于具有比例延迟的惯性克利福德值网络。

有两个设计选择值得说明。首先，我们采用了采样数据固定控制器，而非连续的全状态反馈。连续反馈需要为每个神经元提供模拟通道，而在数字硬件上很难实现；而且要完全控制所有神经元会大幅增加执行器数量。采样数据固定控制仅在特定时刻更新输入，并且只作用于一小部分神经元，其余（未被固定的）神经元则通过网络耦合间接实现同步。因此，它以一定的理论保守性为代价，实现了感知、执行和带宽方面的显著降低。其次，克利福德值表述方式能够将多维信号中几何上相互关联的通道视为一个统一的代数对象；在第5节讨论的彩色图像水印任务中，这种方式使得一个同步后的网络能够生成三个相互关联但又各不相同的扩散序列，每个光谱带一个。据我们所知，此前尚无研究将惯性动力学、克利福德值状态、无界比例延迟、滞后同步以及采样数据固定控制这五种要素整合到一个统一框架中；表1清晰地展示了这一空白。

鉴于上述不足，本研究旨在实现以下目标，并做出如下贡献：
(i) 我们首次提出了一个包含比例延迟的惯性克利福德值神经网络模型。该模型将二阶动力学转换为了一阶增强系统，同时通过系统性的分解将克利福德乘法的非交换性转化为实数子系统问题。
(ii) 我们设计了一种采样数据固定控制器，仅对预先选定的少数神经元进行直接控制。该控制器在等间隔的采样时刻更新输出值，之后保持该值不变，这体现了实际的数字实现方式。
(iii) 通过构建一个记忆窗口与比例延迟相关的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，并结合詹森不等式与广义哈拉奈不等式，我们推导出了两个可验证的标量（代数）充分条件，用于实现指数滞后同步。第一个条件确定了正的同步裕度及明确的衰减率；第二个条件则给出了允许的最大采样周期。这些条件可直接在网络和控制参数中体现，因此无需数值求解器，也可手动验证。
(iv) 通过多光谱图像水印方案，展示了该同步结果的实际应用价值。利用同步后的克利福德值网络生成的混沌序列，可将二进制水印嵌入到宿主图像中，而嵌入强度则可通过克利福德代数结构进行调控。实验还证明了该方案对十种常见攻击的鲁棒性，同时与四种最新的水印方法相比，也展现了其更优的性能。

本文的结构如下：第2节介绍数学背景并明确研究问题；第3节给出主要的同步定理及其证明；第4节报告数值实验结果；第5节阐述水印应用方案；第6节总结全文。

片段摘录
**克利福德代数基础**
我们使用的实数克利福德代数由基元素构成，这些基元素作为向量空间中的元素，满足相应的性质。每个元素都有唯一的表示形式，其范数也为。生成元遵循反交换规则，其中为克罗内克δ函数。的一个共轭量为，其中表示多指标中的索引个数。我们经常使用的一个关键恒等式为，其中和为唯一确定的值。

在整篇论文中，我们设定，这样每个克利福德数都具有四个实数分量。

**指数滞后同步定理**
在阐述主要定理之前，我们先引入一些简写符号。将所有实数误差分量组合成一个向量，定义对角固定矩阵，当时为，否则为。

**定理1**
在假设1和假设2成立的前提下，若满足以下两个条件，则驱动-响应对(2)–(3)在采样数据固定控制器(7)的作用下可实现指数滞后同步，其滞后时间为：，其中，，，，，为证明过程中推导出的采样残差常数。条件(C1)是一个……

**数值仿真**
**示例1**
我们考虑一个包含六个神经元的惯性CLVNN，其中，因此每个神经元具有四个实数分量。网络参数为：对于所有，有，因此；比例延迟比为；滞后时间为。激活函数按分量分别应用，得到。连接权重随机生成，无论是即时权重还是延迟权重，其取值都在范围内，且在整个仿真过程中保持不变。采样周期为，而被固定的神经元集合为（六个神经元中的两个）。控制……

**在多光谱图像水印中的应用**
数字水印技术可以将所有权或认证信息嵌入到宿主图像中，使其在视觉上不可见，同时还能抵抗常见的信号处理操作[7]。该技术与同步理论之间存在直接联系，这一点在3章的主要结果、3.1节指数滞后同步定理以及4节数值仿真中已有详细阐述，此处不再赘述。嵌入密钥为一个伪随机序列；在这里，该序列由混沌驱动网络(2)生成，而该网络的有界性则由……保证。

**结论**
我们研究了那些动力学过程中存在随时间无界增长的比例延迟的惯性克利福德值神经网络的指数滞后同步问题。为了适应数字硬件的限制以及有限的执行资源，我们设计了一种采样数据固定控制器。通过针对比例延迟结构定制的李雅普诺夫-克拉索夫斯基方法以及广义哈拉奈不等式，我们推导出了一对可验证的标量充分条件，用于实现指数滞后同步。

**作者贡献说明**
G. Rajchakit：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、验证、软件开发、项目管理、方法论、研究实施、资金获取、形式分析、数据整理、概念构思。
C.P. Lim：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、验证、监督、软件开发、方法论、形式分析、数据整理、概念构思。

**利益冲突声明**
作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。(1) 研究的构思与设计、数据收集，或是数据的分析与解读；(2) 文章的撰写或对其中重要内容的批判性修订。

**致谢**
本项工作得到了泰国科学研究与创新基金以及梅乔大学的支持。Grienggrai Rajchakit是泰国清迈梅乔大学理学院工业优化与应用项目的教员。他的研究领域为应用数学和系统理论，重点研究微分方程和差分方程的定性理论、神经网络及时延系统的稳定性与同步分析，以及鲁棒控制和采样数据控制技术。他对超复数值和克利福德值神经网络尤其感兴趣。