一种用于具有混合时延的忆阻分阶复值神经网络的新型自适应耗散同步算法

《Neurocomputing》：Novel adaptive dissipative synchronization algorithm for memristive fractional-order complex-valued neural networks with mixed time delays

　　刘伟德|宋浩峰|熊菊霞中国广西南宁市广西民族大学数学科学学院，邮编530006

摘要
本文研究了具有混合时间延迟的忆阻分阶复值神经网络的全局耗散性及其同步问题，并提出了一种具有高度创新性和实用性的自适应耗散同步算法。首先，构建了一个综合考虑离散延迟和分布延迟的FOMCVNN模型，该模型能够准确描述忆阻权重状态依赖的切换行为以及复杂的动态特性，从而克服了传统整数阶实值网络在复杂信号处理和生物神经模拟方面的局限性。其次，为了解决由忆阻器切换引起的参数不匹配问题，设计了一种具有指数衰减时变增益的自适应非线性控制器，该控制器能够动态调整控制强度，以平衡收敛速度和控制能耗，在鲁棒性和效率方面均优于固定增益和线性控制器。此外，还构建了一种新的李雅普诺夫复合函数，通过结合分数微积分、复分析以及耗散性准则，严格推导出了确保驱动系统全局耗散性以及驱动-响应系统同步的充分条件，避免了传统李雅普诺夫方法在延迟系统和复杂域系统中的缺陷。最后，通过数值仿真和多维度对比实验验证了理论结果的有效性和优越性：所提出的算法能够实现高精度快速同步，并且对非利普希茨激活函数、无界干扰、网络维度增加以及各种延迟结构都具有很强的鲁棒性。与线性、双曲型以及固定增益策略相比，指数衰减增益在平衡收敛效率和控制能耗方面具有明显优势。

引言
自McCulloch-Pitts模型[1]提出以来，作为模仿人脑信息处理过程的数学模型，人工神经网络在模式识别和智能控制领域展现出了巨大潜力。随着研究的深入，神经网络的结构和功能不断得到优化。忆阻器的引入为下一代智能硬件提供了重要的物理支撑。忆阻器由Leon Chua于1971年基于电路变量与元件之间的对称性提出[2]，它能够记住历史电流并动态调整电阻，因此成为模拟生物突触的关键组件。通过调节忆阻器权重，可以再现突触的使用依赖性可塑性，从而使网络具备类似大脑的记忆功能和高效的信息传输能力[3]。此外，忆阻器还为忆阻神经网络架构奠定了基础，推动了人工智能硬件实现的进步。

在神经网络动力学分析中，耗散性是一个核心指标，用于描述系统的能量耗散情况以及全局吸引子特性。Lee等人通过扩展零方程方法研究了带时间延迟系统的耗散性[4]，而Tan等人则专注于静态神经网络的耗散态估计[5]。此外，还有研究分析了忆阻复值神经网络的全局耗散性[6]，为忆阻系统分析提供了重要见解。

然而，目前大多数研究都集中在整数阶系统上。分数阶微积分由于能够更好地捕捉记忆和遗传行为，已被广泛用于神经网络建模[7]。Arena等人提出了分数阶细胞神经网络[8]，Podlubny则建立了分数阶微分方程的理论框架[7]。最近有一些研究探讨了忆阻神经网络的耗散性[9]、[10]，但这些研究大多局限于实值或复值域。例如，Wu等人分析了具有时变加性延迟的不确定忆阻神经网络的耗散性[11]。迄今为止，针对复杂分数阶忆阻复值系统的系统性理论框架仍然缺失。

分布延迟提高了模型的生物学合理性和动态描述能力，尤其在稳定性及有限时间同步方面发挥着重要作用，特别是对于分数阶系统以及具有不连续激活功能的神经网络[12]。现有研究包括：[13]为带延迟的分数阶复值神经网络设计了线性反馈和自适应控制器，通过分数不等式、Razumikhin定理以及复分析方法，推导出了具有误差界限的准投影同步和完全同步准则；[14]研究了带延迟的分数阶复值遗忘神经网络，利用李雅普诺夫泛化、压缩映射和非线性度量方法，证明了平衡点的存在性、唯一性以及稳定性。不过，现有结果尚未能够全面分析同时存在恒定延迟和分布延迟的分数阶复值遗忘神经网络，相关理论框架也仍不完善。

同步是神经网络中一种重要的集体动态行为，它在安全通信和联想记忆等领域有着广泛应用。目前已发现了多种同步类型，包括完全同步[15]和投影同步[16]。研究人员还提出了多种实现策略，如脉冲控制[17]、状态反馈控制[18]以及自适应控制[19]。除了直接控制方法之外，还发展了基于观测器的方法和区间估计方法，以解决鲁棒性与灵敏度之间的权衡问题。这些方法包括用于开关非线性系统的区间观测器设计[20]、基于滑模观测器的故障估计[21]以及随机系统的鲁棒辨识[22]。在存在不确定性时仍能提供有保障的性能界限这一核心理念，为我们的同步框架构建提供了宝贵基础。

例如，Li等人通过非线性反馈控制实现了分数阶实值模糊神经网络的完全同步[23]。然而，忆阻神经网络的权重存在状态依赖的切换现象，这会导致参数不匹配，进而使得完全同步变得困难。因此，准同步[24]成为了工程应用中更为实用的同步目标。它允许同步误差稳定在某个限定范围内，而不必严格趋于零，为解决由参数不匹配引发的同步难题提供了一种新途径。

由于实值神经网络拥有成熟的理论体系且易于实现，因此得到了广泛的研究和应用[25]、[26]。然而，它们无法有效处理雷达波和电磁波等复杂信号。这一局限性促使人们提出了复值神经网络。在这类网络中，所有的信号和参数都处于复数域中，它们能够自然地表示二维数据，并且在信号处理方面表现优异[27]。目前有两种主流方法用于分析这类网络的动态特性。一种是将网络分解为两个实值系统[28]，但这种方法较为复杂，且可能会丢失部分信息；另一种则是直接研究整个网络[29]，虽然较为简洁，但却需要较高的数学水平。

鉴于上述挑战，本文系统地研究了具有混合时间延迟的FOMCVNN的全局耗散性及自适应同步问题。主要创新点和贡献总结如下：首先，我们构建了一个综合考虑离散延迟和分布延迟的通用FOMCVNN模型，该模型能够全面描述忆阻器状态依赖的切换行为、分数阶记忆效应以及复值信号传输特性，从而使现有网络模型能够应用于更实际且复杂的场景中。其次，为了解决忆阻器切换引起的参数不匹配问题，我们设计了一种具有指数衰减时变增益的新型自适应非线性控制器，该控制器能够动态调整控制强度，从而在加快收敛速度的同时降低稳态能耗，其性能优于固定增益和线性控制策略。第三，我们为分数阶复值延迟系统设计了一种新的复合李雅普诺夫函数，并通过分数微积分和复分析技术，严格推导出了确保驱动系统全局耗散性以及驱动-响应系统完全同步的充分条件。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍基本定义和定理；第3节阐述驱动系统的耗散性特征；第4节利用控制器证明了复值神经网络系统的同步性；第5节通过数值仿真验证了系统的同步效果；最后，第6节提出了未来研究的展望。

章节片段
初步知识
定义2.1 [30] 对于实部为正的复数h（即Re(h) > 0），伽马函数定义为：
定义2.2 [30] 对于某个函数，其分数积分表示为：其中，γ为伽马函数。
定义2.3 [30] 对于某个函数，其Caputo分数导数表示为：
定义2.4 [31] 对于一个紧致集合，如果对于任意x，都存在某个时刻t，使得满足，则系统(1)是一个全局耗散系统，而S是一个全局吸引集。
定义2.5 表示将分布延迟核函数在区间上积分的结果。

忆阻系统的耗散性分析
在本节中，我们定义了具有混合延迟的分数阶忆阻复值神经网络（FOMCVNN）。其中，x为状态变量，α为衰减系数，w_i分别表示瞬时连接权重、离散时间延迟连接权重以及分布延迟连接权重，u为外部输入，f为复值激活函数。忆阻权重w_m、w_n、w_o的定义如下：

定理3.1 如果满足以下条件，则……其中，α和β为待定参数。

同步分析
将FOMCVNN(1)视为驱动系统，相应的响应系统可表示为……在此，我们给出了一种具体的控制器形式。将同步误差定义为……通过结合FOMCVNN(1)和(11)，误差系统可表示为……进一步整理误差系统后，可得……定理4.1 如果存在某些参数满足……其中，α和β为待定参数，且满足以下不等式，则系统(1)和(12)可以实现同步。

证明：系统(1)和(12)同时满足……

数值示例
考虑以下三维FOMCVNN模型：其中，激活函数为……外部输入为……分布延迟核函数为……系统(23)的初始状态分别为……（见图1、图2、图3、图4、图5、图6、图7）。响应系统可由……表示。FOMCVNN(24)的初始条件选择为……

注4：增益配置分别为……。考虑参数α和β的值。此处需要说明的是，当……时，策略……无法实现同步。

结论
本文系统地研究了具有混合时间延迟的忆阻分阶复值神经网络的全局耗散性及其自适应同步问题，并提出了一种新型的自适应耗散同步算法。主要结论总结如下：
(1) 构建了一个综合考虑离散延迟、分布延迟以及忆阻器状态依赖的权重切换特性的完整FOMCVNN模型，该模型能够准确描述……

CRediT作者贡献声明
刘伟德：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，指导，软件使用，资源提供，项目管理，方法论，研究实施，资金获取，概念构思。宋浩峰：写作——初稿撰写，可视化处理，研究实施，形式化分析。熊菊霞：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，结果验证，指导，软件使用，形式化分析。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了广西民族大学科学研究项目（项目编号2023KJQD04）的支持，同时还部分获得了广西科技计划项目（项目编号AD23023001）、广西中青年教师科研基本能力提升项目（项目编号2025KY0211）以及青年人才包容性支持政策研究项目（项目编号301780216）的资助。刘伟德于2023年在中国广州的中山大学航空航天学院获得博士学位，目前任职于中国南宁的广西民族大学数学科学学院。他的研究领域涵盖非线性系统、神经网络、复杂网络、稳定性理论、控制理论以及应用数学等多个方面。