《Energies》：Deep Learning Surrogate Models for Nonlinear Magneto-Thermal Analysis of TEAM Problem 36
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研究人员提出了一种基于卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）的深度学习代理模型，用于解决TEAM Workshop问题36——非线性电磁-热感应加热的标准基准问题。该研究通过改变供电电流（2至6 kA）和频率（2至6
研究人员提出了一种基于卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）的深度学习代理模型，用于解决TEAM Workshop问题36——非线性电磁-热感应加热的标准基准问题。该研究通过改变供电电流（2至6 kA）和频率（2至6 kHz），考虑了包括居里转变（Curie transition）在内的瞬态非线性效应，生成了包含超过40,000个有限元解的数据库。该网络由24层组成，包含转置卷积（transposed convolutions）、批量归一化（batch normalization）和dropout层，将电流、频率和时间映射到钢坯中的径向温度分布。对于大多数工况，该模型在钢坯中部径向线上的平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）约为6–7%，在靠近钢坯端部的径向线上约为10%。较大偏差出现在加热初期和居里温度附近。与单次有限元分析相比，预测时间缩短了3–4个数量级。结果表明，所提出的代理模型能够实现感应加热系统优化、数字孪生和闭环控制的快速温度估计。
## 一、研究背景与问题提出
感应加热（Induction Heating, IH）作为一种重要的工业加热技术，已广泛应用于锻造、表面硬化及增材制造等领域。相较于传统的电阻加热或火焰加热，该技术具有非接触式能量传输、精确的空间与时间热源控制以及高电气效率等显著优势，使其特别适用于钢坯锻造、机械零件表面硬化、接头钎焊、热缩配合以及铁基和非铁合金的退火处理等多种工业场景。在现代自动化生产线中，感应加热系统常被集成到自动化单元中，短加热时间、可重复性和控制便捷性成为关键需求。因此，工艺参数的准确预测与优化——如功率、频率、线圈几何形状和加热时间——已成为先进感应设备设计的核心课题。
从物理本质上讲，感应加热是一种典型的多物理场耦合现象。该过程始于感应器中的电磁场产生，随后在工件中感应出涡电流，进而产生焦耳损耗并形成局部体积热源。所得温度场在固体内部热传导、边界对流以及高温辐射的共同作用下演化，常伴随相变和温度依赖的材料特性变化。电磁行为进一步受到铁磁区域非线性磁导率、中高频下的趋肤效应和邻近效应，以及几何变化（如热膨胀或工件运动）等复杂因素的影响。这种电磁-热现象间的复杂相互作用，叠加非线性、温度及场强相关的本构关系，使得准确建模成为一项极具挑战性的任务。
TEAM Workshop问题36是感应加热领域公认的标准基准问题，用于验证和比较耦合电磁-热数值模型。其重要性在于结合了明确界定的线圈-钢坯几何结构与感应加热分析的主要挑战，包括温度依赖的材料特性、趋肤效应、瞬态传热以及居里转变。该基准问题对感应加热装置进行多物理场分析，具有非线性电磁行为、实用的线圈-工件几何结构以及瞬态热效应等特征，已成为评估有限元公式、降阶模型、代理模型及新兴数据驱动方法准确性、鲁棒性和计算效率的参考标准。
有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）长期以来一直是此类非线性感应加热问题数值模拟的黄金标准。然而，尽管FEA精度很高，但当考虑瞬态动态和非线性材料行为时，其计算成本极为昂贵，限制了其在优化和反问题求解中的应用——这些场景往往需要数千次模拟。此外，参数扫描或实时控制应用中的重复模拟因计算成本过高而不可行，这促使研究人员寻求快速可靠的替代方案。
近年来，代理建模方法日益受到重视。机器学习（Machine Learning, ML）和深度学习（Deep Learning, DL）技术在计算电磁学领域展现出显著潜力。其中，高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）因能提供准确预测和不确定性量化而广泛应用；基于神经网络的代理模型，包括深度前馈网络和卷积神经网络，在学习工艺参数 predicting spatial temperature distributions, enabling fast prediction of full-field solutions 方面表现出强大能力。特别是卷积神经网络，由于其能够从参数、场或温度图中提取层次化特征，非常适合处理空间分布问题。然而，将CNN应用于TEAM问题36这类包含完整非线性材料特性的基准问题，仍属首次尝试。
## 二、主要技术方法
本研究的核心技术路线包含三个主要环节：首先，构建大规模有限元数据库；其次，设计适用于向量到向量回归的卷积神经网络架构；最后，完成网络训练与验证。
在数据库构建方面，研究人员采用商用有限元软件建立了二维轴对称耦合电磁-热模型。电磁问题在时谐条件下求解，采用磁矢量电位-标量电位（AV）公式；热问题采用瞬态分析，使用基于后向差分公式（Backward Differentiation Formula, BDF）的隐式求解器及自适应时间步长算法。材料特性（包括比热容、热导率、电导率和磁导率）均随温度变化，且磁导率<|reserved_token_163653|>具有非线性的磁场依赖性。数据库涵盖40种电流值（2–6 kA均匀采样）和40种频率值（2–6 kHz均匀采样）的组合，共计产生约40,000个有限元解。每个瞬态解在钢坯最大温度达到1200 °C时终止，最终选取25个时间步长的温度图（30×60的径向-轴向规则网格）用于网络训练。
神经网络采用24层卷积神经网络架构，包含4个主要模块。每个模块由转置卷积层（转置卷积核尺寸5×5，滤波器数量4–512）、卷积层（卷积核尺寸3×3，滤波器数量8–512）、批量归一化层和ReLU激活函数组成。最终模块后接dropout层、全连接层和输出层。网络输入为三维向量（电流、频率、时间步），输出为沿径向线的30个温度点。训练采用自适应矩估计（Adaptive Moment Estimation, ADAM）优化器，初始学习率10
?4，学习率下降因子0.9，周期20；训练500轮，批量大小512。数据集按80:20比例划分为训练集（32,275样本）和验证集（8,069样本）。
## 三、研究结果
### 3.1 钢坯中部径向线温度预测
对于对称线z = 0处的径向温度分布，训练后的CNN全局平均绝对百分比误差M
a为6.68%。图4展示了不同频率-电流组合、不同时间步下有限元分析与CNN预测温度剖面的对比。结果表明，CNN能够有效捕捉加热过程初期和末期的温度分布特征。在多数时间实例下，CNN能准确预测给定电流和频率条件下的温度演化过程。
### 3.2 表面温度瞬态特性分析
图5和图6展示了钢坯表面点（z = 0, r = 3 cm）的温度瞬态演化。CNN预测与有限元结果在大部分瞬态过程中吻合良好。然而，在加热过程初期和居里转变期间，预测精度有所下降。初期预测偏差可归因于时间和空间上的陡峭梯度——冷态钢材由于磁性特征和低电阻率导致焦耳损耗集中在极薄的渗透层内，径向温度分布在接近表面处急剧上升；当输入数据处于高电流和高频率范围时，该现象尤为显著（如图5所示）。
### 3.3 居里转变附近预测精度分析
图7针对f = 4 kHz、I = 3.8 kA的临界工况，展示了不同时刻CNN预测与有限元值的对比，证实了初始时刻（t = 1.7 s和t = 4.1 s）靠近表面区域以及居里点附近（t = 16.4 s和t = 22.8 s）的预测难度。
### 3.4 端部径向线预测性能
同一CNN架构在z≤39.8 cm范围内表现出稳定的温度重建性能，但在z = 46.6 cm至50 cm的端部区域，误差增至13.7%。针对这些端部线条，研究人员采用相同架构独立训练了专门的CNN。60条等间距径向线的独立CNN训练结果显示，M
a误差的均值为8.88%，标准差为2.1%。
### 3.5 线圈匝间区域非单调温度效应
对于穿越线圈匝截面的线条（如z = 2.4 cm），CNN能较好预测居里点温度，但瞬态初始阶段仍具挑战。研究发现，居里转变期间的预测差异与空间位置密切相关：位于感应器匝间间隙的线条预测偏差更大，而正对铜匝的线条预测与真实值吻合较好。深入分析有限元数据库揭示了一种非单调温度增长现象——位于匝间间隙的表面对流点在多组案例中表现出温度随时间非单调增长，而正对铜匝的点则呈现单调增长（图9）。该现象经另一商用有限元工具Flux独立验证。机理解释为：居里转变期间，正对感应器的区域穿透深度增大，使涡电流找到更宽截面和更短路径；当匝间区域的焦耳热降低至低于辐射和对流热损失时，温度下降直至 hotter parts facing the inductor transmit heat through thermal conduction（图10）。
## 四、讨论与结论总结
本节讨论该研究的核心结论及其意义。研究人员指出，基于约40,000个有限元分析训练的CNN能够以可接受的精度预测沿线的温度分布。然而，当材料表现出非线性特性时，预测性能下降，尤其在居里点附近、特别是沿匝间线位置的点处。 Conversely，远离匝间线的点在居里点附近的温度重建相对准确。
预测精度在居里温度附近及线圈匝间间隙对齐区域出现下降，可归因于电磁-热耦合的强烈非线性特性，其中磁特性的温度依赖性显著影响热源分布及后续热演化。该模型纯粹基于数据驱动，训练过程中未显式嵌入温度依赖的物理约束或材料定律。因此，可通过引入考虑居里转变效应的物理信息正则化项，或采用自适应采样策略增加高度非线性工况在训练数据中的代表性来改进。替代方案包括开发分段代理模型，针对居里前、转变期和居里后温度范围建立专用模型，以改善电磁特性强烈变化和非单调温度演化临界区域的预测保真度。
值得注意的是，用于数据库创建的有限元模型采用了能够适当模拟居里转变的映射网格，并以自适应方式处理。据研究人员所知，这是首次将深度学习方法应用于TEAM问题36的正问题。拥有快速的钢坯温度预测模型为给定频率和电流值下的实时最优控制奠定了基础。
该研究的主要局限在于钢坯匝间区域的精度损失以及居里点附近的工况，这可能归因于时间离散化不足。未来工作可纳入物理信息层和更大的解数据库，特别是增加居里温度附近的时间分辨率，以克服上述问题。尽管如此，预测时间相较单次有限元分析缩短3–4个数量级的成果，充分证明了深度学习代理模型在感应加热系统优化、数字孪生构建和闭环控制方面的巨大应用潜力。该论文发表于《Energies》期刊。
