基于状态依赖Riccati方程方法的航天器观测博弈非线性控制

《Acta Astronautica》：Nonlinear control for spacecraft observation game using the state-dependent Riccati equation method

　　戴立|丛一琴|程伟|刘天希中国哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001

摘要
对于航天器近距离观测任务，追踪方与躲避方在成像条件上的竞争可被构建为一种双参与者零和微分博弈。相对运动在视线框架下描述，影响观测质量的因素被建模为状态变量的二次成本函数，进而得到与状态相关的系数矩阵。当躲避方保持静止时，该博弈退化为针对理想观测状态的最优跟踪问题，可通过基于状态相关Riccati方程的方法得到状态跟踪控制律。对于双方都会进行机动的观测博弈，进一步推导出了非线性微分博弈策略，并给出了线性微分博弈策略作为对比。在多种场景下的对比仿真结果表明，所提出的非线性博弈策略在收敛速度、控制成本以及对躲避方机动的鲁棒性方面均优于状态跟踪策略和线性博弈策略。

引言
在清除太空碎片和在轨服务等任务中，对非合作航天器进行连续的高精度光学观测能够为任务提供目标的相关先验信息，这是完成任务的重要前提[1,2]。光学观测的质量受多种因素影响，其中与轨道特性直接相关的因素主要包括相对距离和照明几何条件[3]。在近距离观测任务中，主动接近目标的追踪方与不合作的躲避方会在观测条件上展开竞争——追踪方需要通过机动来维持和优化观测条件，而躲避方则可能采取规避动作来干扰观测。为了提高观测任务的成功率，有必要深入研究追踪方和躲避方的控制策略。

研究人员已对观测博弈问题开展了一些理论研究。Prince等人[4]采用间接启发式方法，解决了受终端距离和照明方向约束的椭圆轨道上的微分博弈问题。李等人[5]构建了一个包含多个成像因素的观测博弈模型，通过结合启发式算法与共态优化得到了ε-鞍点解。韩和党[6]通过将二体Lambert转移与射击法相结合，为地月系内针对非合作目标的追踪方设计了机动策略。然而，这些工作主要侧重于将观测博弈转化为两点边值问题后的数值求解，而针对追踪方和躲避方实时机动策略的研究仍然相对有限。

目前关于机动策略的研究主要集中在追逃博弈上，这类博弈通常用于模拟涉及非合作航天器的会合与拦截问题。叶等人[7]基于Clohessy–Wiltshire（CW）方程，引入了零努力错过概念以简化求解过程，得到了鞍点解以及到达时间的估计值，并据此设计了矢量引导律。该团队还将问题扩展到信息不完全的场景，通过估计躲避方的未知参数，构建了自适应拦截策略[8]。傅等人[9]提出了一种用于解决任意开普勒轨道上线性二次追逃博弈的解析策略。贾等人[10]将追逃博弈转化为等价的单边最小时间控制问题，利用近似可达集的显式解析椭球边界确定了最优终端时间，并通过纳入终端几何约束得到了近似解析策略。在上述研究中，追踪方的核心目标是缩小与躲避方的相对距离以实现拦截或捕获，没有考虑观测任务特有的关键约束，如照明角度。

另一类研究假设目标在接近非合作物体时具有预先规定的机动模式，然后据此设计追踪方的近距离观测策略。徐等人[11]采用状态相关Riccati方程（SDRE）方法，为跟踪翻滚目标上的特征点设计了非线性控制律；高等人[12]提出了用于跟踪非合作目标的参数化SDRE控制器。然而，这些工作并未充分考虑躲避方可能采取的对抗性机动，因此无法保证在最坏情况下所得策略仍能实现观测目标。

此外，为简化理论分析，大量轨道博弈研究是基于线性化动力学模型开展的[7,9,13]。然而，航天器的轨道动力学十分复杂且高度非线性，线性化通常会导致控制性能下降。因此，有必要采用如SDRE方法这样的非线性控制方法。作为一种有效的非线性控制技术，SDRE方法已在航空航天控制的诸多领域得到广泛应用[[14], [15], [16]]。Jagat和Sinclair[17]基于Hill参考框架中的动力学方程，使用SDRE方法为追逃博弈设计了非线性控制律。结果表明，与线性控制律相比，该策略在收敛速度和控制成本方面表现更优。苏和夏[18]通过为追踪方构建躲避方权重矩阵的估计器，处理了信息不完全的场景，随后通过SDRE方法得到了反馈控制律，从而推动追踪方靠近躲避方。

与现有工作相比，本文的贡献如下：首先在视线框架下描述了相对动力学，并纳入了影响观测质量的关键因素，构建了面向观测博弈的二次成本函数。与[17]相比，该成本函数明确建模了观测条件，从而将博弈目标与观测任务直接关联起来。在此基础上，推导出了与状态相关的系数矩阵；与[5]和[12]不同，此处采用的动力学模型并未简化引力项，使得结果能够轻松扩展到存在扰动的复杂轨道场景。此外，在假设躲避方不进行机动的情况下，首次推导出了基于SDRE的状态跟踪控制律。随后，对于双方都会进行机动的一般博弈，分别通过SDRE方法和线性化方法进一步推导出了非线性和线性微分博弈策略。

本文的其余结构如下：第2节阐述观测博弈模型；第3节介绍不同控制策略的设计；第4节进行数值仿真与分析；最后第5节对全文进行总结。

片段内容
视线坐标系中的相对动力学
如图1所示，观测博弈中躲避方相对于追踪方的运动可在视线坐标系中描述。以地球为中心的惯性坐标系记为OI?XIYIZI。以追踪方为原点的视线坐标系记为OL?XLYLZL，其中OLXL与视线向量平行，该向量是从追踪方指向躲避方的。视线坐标系是通过对ECI坐标系进行两次连续旋转得到的。

状态跟踪控制律
当不考虑躲避方可能的反制措施时，追踪方对躲避方的近距离观测就退化为一个跟踪问题，此时目标函数(22)的形式可简化为：
Jtk=12∫0∞[(χ?χds)TQP(χ?χds)+uPTRPuP]dt
通过SDRE方法，可以得到非线性反馈控制律[21]：
uP,tk*=?RP?1BPT[PP(χ)χ+gP(χ)]
其中，对称矩阵PP(χ)是以下代数Riccati方程（ARE）的解：
PP(χ)ASDC+ASDCTPP(χ)?PP

仿真
观测博弈的场景设置如下：博弈的初始时间为UTC 2025-04-01 00:00:00.0。参考卫星的初始开普勒轨道要素为[42166km,0,0°,0°,0°,30°]T。躲避方的初始轨道与参考卫星相同。博弈持续时间为20,000秒。其余参数列于表1中，权重矩阵的设定参考了[12]和[17]。动力学方程通过数值积分方法进行处理。

结论
本文研究了航天器观测博弈问题。在视线框架下以状态空间形式描述了相对动力学，推导出了SDC矩阵，并构建了二次成本函数。在假设躲避方不进行机动的情况下，通过SDRE方法得到了状态跟踪控制律。此外，对于追踪方和躲避方都会进行机动的一般博弈，推导出了非线性微分博弈策略，同时给出了线性微分博弈策略。

作者贡献声明
戴立：概念构思、研究设计、方法论、软件应用、初稿撰写、审稿与编辑。丛一琴：数据整理、形式分析、可视化。程伟：监督指导、结果验证。刘天希：概念构思、结果验证。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。