综述：分数规划最新方法及未来研究思路的范围综述

《Mathematics》：A Scoping Review of Recent Fractional Programming Approaches and Ideas for Future Research

　　

本论文旨在对分数规划领域近期的科学思想与发展进行综述。本调查设计为前瞻性的，旨在获取关于分数规划当前趋势的结论，并涵盖了文献中报道的理论成果和实际应用。研究人员根据其特性将求解方法组织成若干类别，强调它们之间的异同。同时，还识别出一些需要进一步研究的挑战与研究空白。本研究的主要目标是向致力于推进分数规划在各个相邻领域适用性的研究人员提供一份易于理解的领域综述，从而拓宽学科交叉性。对近期文献的反思以及未来研究方向的建议主要涉及模糊环境下的优化、数据包络分析和具有分数目标函数的多目标优化。

本综述论文的主体部分系统性地回顾了分数规划（Fractional Programming, FP）领域的最新进展，并展望了未来研究方向。内容主要围绕形式化框架、文献综述及未来研究方向展开，结构清晰，层次分明。

**1. 引言**
该部分阐述了撰写综合性综述的挑战，包括研究范围限制、跨学科术语差异以及研究者的主观性等。作者明确了本文的目标：呈现对分数规划领域当前发展的观点，分析未来研究方向，使综述易于理解但非穷尽。分数规划作为研究领域于1960年代被引入，在决策者面临比率优化问题时变得重要。文章引用了该领域的奠基性工作，如Charnes和Cooper将线性分数规划（Linear Fractional Programming, LFP）转化为线性规划（Linear Programming, LP）的方法，以及Martos的开创性研究。此外，还提及了近期的重要文献计量分析，强调了该领域文献的丰富性。本文的主要贡献在于基于近期文献提供分数规划方法的综述，并为未来研究指明方向。

**2. 形式化设置与分析视角**
本节旨在为论文后续部分提供一个可理解的理论框架，介绍了全文使用的术语，并概述了研究范围与概念视角。内容分为清晰（Crisp）单目标与多目标分数规划、数据包络分析（Data Envelopment Analysis, DEA）以及模糊分数规划。

**2.1. 清晰分数规划**
分数规划问题在于可行集上优化两个函数的比率，其最大化形式通常表述为 max f(x)/g(x)，其中 x 属于可行集 X。根据所涉及函数和约束的特性，会产生不同类型的分数规划。当分子、分母和约束左侧均为 x 的线性函数时，即为线性分数规划模型。若至少有一个函数是非线性的，则模型变为非线性分数规划，求解更为复杂。线性分数规划具有保证其目标函数在有限可行集上有唯一最优值的特性（拟凸性）。求解分数规划问题的主要方法包括使用Charnes-Cooper变换的线性化技术、Dinckelbach方法、广义单纯形法以及其他参数化方法。

**2.2. 多目标分数规划**
旨在同一可行集上优化多个分数目标函数，产生了多目标分数规划模型。当所有分子、分母和约束函数均为线性时，即为多目标线性分数规划模型。向量优化问题中的“max”表示所有函数都需被最大化。妥协解本质上依赖于帕累托最优性的定义。求解方法方面，多目标线性分数规划既可通过线性规划处理，又因其复杂性而无法简单类比。经典求解方法包括加权和法与ε-约束法，但加权和法应用于多目标线性分数规划时面临挑战，因为线性分式表达式的和不一定是线性分式表达式。ε-约束法则将问题转化为单目标线性分数规划问题。

**2.3. 数据包络分析**
数据包络分析连续使用线性分数规划模型，基于决策单元观测到的投入与产出信息对其进行排序。经典的CCR模型通过最大化加权产出与加权投入的比率来评估决策单元的效率，且该比率模型可被线性化。然而，更复杂的DEA变体可能需要作为分数规划模型进行分析。

**2.4. 模糊分数规划**
现实系统的复杂性难以用数学模型完全描述。当前挑战之一是在不确定环境下建模并进行优化。模糊分数规划涉及在模型系数中引入模糊量。近期文献中与不确定分数规划相关的研究主要涉及模糊不确定性。模糊集已从经典形式推广到如直觉模糊集、毕达哥拉斯模糊集、中智模糊集、球面模糊集等。在求解方法中，模糊系数常被简化为更简单的模糊集形式。将线性分数规划问题推广至系数为模糊数时，得到模糊线性分数规划模型。模型中的“max”可根据求解方法有不同的解释。基于α-割集构建参数优化模型会产生区间优化模型。完全模糊化优化模型假设其系数和决策变量均为模糊量，其解应根据Zadeh的扩展原理来提供。

**3. 文献综述**
本节对近期分数规划文献进行了全面梳理，旨在突出该领域的主要进展，并开启对未来有价值研究方向的讨论。参考文献按主题分为三组：单目标分数规划、多目标分数规划和数据包络分析。每个类别下都回顾了处理清晰和模糊模型的论文。

**3.1. 方法论与选择标准**
本综述旨在提供对分数规划领域的广泛理解，而非对现有文献的定量分析。检索覆盖了从1960年到2026年的出版物，使用了“分数规划”、“线性分数规划”、“模糊分数规划”等多个关键词。综述范围从理论演变到方法扩展，以及处理模糊不确定性的方法。

**3.2. 单目标分数规划**
该部分回顾了单目标分数规划的近期研究。例如，Upadhyay等人研究了某类不可微、非凸极小极大分数优化问题的对偶性；Huang和Shen提出了求解线性分数规划问题的分支定界约简算法；Dey等人开发了求解随机凸凹分数规划问题的算法；Nadi等人解决了线性分数规划的逆最优值问题；Jiao等人通过提出基于结果空间的分支定界算法解决了最小-最大仿射分数规划问题；Bencheikh和Moulai则专注于在整数二次多目标问题的有效集上求解线性分数问题。

**3.3. 单目标模糊分数规划**
该部分聚焦于模糊环境下的单目标分数规划。Akram等人使用区间值费马模糊集处理分数运输问题；Chauhan等人处理了具有模糊参数和无限制变量的模糊线性分数规划问题；Pokharna和Tripathi提出了求解区间分数规划问题的广义除法方法；Verma和Singh基于模糊目标规划方法解决了具有中智系数的线性分数规划问题。此外，近期研究还展示了单目标分数规划模型在旅游、林业生态恢复、工业园区用水效率、工业生产过程建模以及自主系统控制等实际领域的应用。

**3.4. 多目标分数规划**
该部分涉及多目标分数规划的研究。Kaur和Sharma处理了锥上的高阶不可微对称分数规划问题；Peri?等人强调了其求解多目标线性分数规划问题的新迭代算法的应用效率；Singh等人处理了目标函数仅为E-可微的非线性多目标分数规划问题；Xu等人为热电联产系统的运行管理构建了多目标分数规划模型；Zhang等人将多目标调度问题中的目标对统一为单目标分数规划。

**3.5. 多目标模糊分数规划**
该部分回顾了模糊环境下的多目标分数规划。Stanojevi?等人引入了两个新的清晰线性模型来求解模糊多目标线性分数规划；Maiti等人开发了两种求解模糊多目标线性分数规划的方法；Cao构建了包含图像模糊参数的多准则决策模型用于绿色供应商选择；Yang等人应用模糊多目标线性分数规划模型解决农业种植结构优化问题；Bas和Ozkok以及Arana-Jimenez处理了完全模糊化的多目标分数规划问题。此外，还有研究涉及直觉模糊、中智参数下的多目标线性分数规划问题，以及将分数规划应用于碳减排等实际问题的非确定性方法。

**3.6. 数据包络分析**
该部分总结了数据包络分析的最新发展。近期研究趋势显示，DEA常与多准则决策技术如TOPSIS和AHP结合，形成DEA-TOPSIS、DEA-AHP等方法，应用于林业、太阳能电站选择、零售链效率评估等领域。同时，DEA也在向模糊、概率和公平性框架扩展。例如，有研究提出了公平数据包络分析方法、处理模糊环境的DEA程序验证框架、两阶段网络DEA模型、结合环境约束和前景理论的绿色创新效率评估模型、混合DEA-模糊聚类方法、整合移动监测与逆网络DEA的框架、虚拟差距分析程序以及基于统计检验的变量选择方法。

**3.7. 总结**
该部分对综述的文献进行了总结，通过表格形式按问题类型（线性/非线性、清晰/模糊、单目标/多目标）列出了近期文献。从视觉上看，清晰列与模糊列在引用文献方面呈反向相关，其中“非线性分数规划”最为平衡。模糊元素在“线性分数规划”模型中最常见，而清晰的DEA模型仍在发展中，对纳入模糊参数更为保守。分数规划优化模型的主要应用领域包括能源效率、无线通信、金融投资组合优化、制造工艺选择、医疗资源分配、交通运输物流、环境工程以及机器学习与人工智能系统等。

**4. 未来研究方向**
本节提出了分数规划领域的几个研究方向，这些方向并非全新，但许多已被忽视。例如，对于多目标问题，期望获得帕累托最优解，但许多求解方法得出的解并非帕累托有效的。同样，模糊理论用于处理不确定性，其概念因扩展原理而得以一致地构建，但许多模糊环境下的方法不遵守扩展原理的问题常被忽略。

**4.1. 专门用于求解线性分数规划问题的非线性规划方法**
大多数求解线性分数规划问题的特定算法都是线性规划求解算法的扩展。受Kuk等人研究的启发，我们提出线性分数规划的求解方法可以作为非线性规划求解方法的特化而获得。即使线性分式函数不一定是凸的，但通过适当调整凸优化方法，可以丰富线性分数规划的求解方法。例如，Rosen算法可以有效地应用于求解线性分数规划问题。更广泛地说，大多数凸规划问题的求解方法都可以轻松扩展到求解线性分数规划问题，这适用于单目标和多目标线性分数规划。

**4.2. 寻找多目标线性分数规划问题帕累托前沿的新方法**
随着多目标优化问题求解方法研究的增加，将其应用于多目标分数规划的想法自然产生。基于ε-约束的方法在处理线性分式目标函数时影响更大，因为此类约束可以无损地转化为线性约束。然而，该方法的繁琐性随着目标函数数量的增加而迅速扩大。另一种关键方法涉及目标函数的聚合，这会导致在原可行集上的单目标优化问题，但目标函数是非线性分式的，带来了另一种求解困难。从文献中回顾的新启发式或进化算法能够为多目标问题提供近似的帕累托前沿。当需要精确的帕累托前沿时，近似可以有不同的层次。

**4.3. 帕累托最优性的重新确立**
帕累托效率是多目标优化的核心概念。每当通过启发式和/或其他处理不确定性的工具得出多目标分数规划问题的近似解时，在宣布其为原问题的解之前，应测试其帕累托效率。决策者根据其目标要求妥协解，但如果该解不是帕累托最优的，则值得付出额外努力将其转化为有效解。将Benson方法作为此类方法的最后一步是实现这种改进的一种方式，但找到与目标函数分式特性相关的问题特定方法至少可以在运行时间方面带来额外改进。

**4.4. 转化为分数规划问题的双目标问题**
将双目标规划问题转化为单目标分数规划问题的想法在近期文献中很少使用，尽管当决策者寻求简单的妥协解时它非常有效。已有研究在Web服务选择、大数据姿态识别中的效率与可扩展性权衡、制造调度以及应急事件信息系统中的鲁棒优化等场景中，展示了将多目标（特别是双目标）问题聚合为分数目标进行优化的潜在应用价值。

**4.5. 符合扩展原理的模糊优化**
扩展原理是模糊集理论的基本组成部分，用于处理模糊量上的广义运算。模糊加法和减法遵循扩展原理规则，易于实际应用。然而，模糊乘法和除法在实际应用中已经变得棘手。它们要么在简化一般性的特殊情况下简单工作，要么以其近似形式应用，从而失去效力或产生误导。在模糊优化中，许多方法不遵守扩展原理的问题需要得到更深入的讨论和解决。有研究为扩展原理的近似应用提供了坚实的理论基础，或为在模糊值函数优化中应用扩展原理建立了拓扑背景，将其应用于模糊分数规划问题可以开辟该领域未来发展的广阔前景。

**4.6. 扩展原理中一般T-范数的实用性**
提高模糊优化问题模糊解质量的另一种方法是在扩展原理中考虑不同的t-范数作为“min”算子的推广。已有研究处理完全模糊线性规划问题，并提供了经验解，这些解同时具有比经典基于扩展原理方法得出的更窄的隶属函数形状，并且符合扩展原理。

**5. 结论**
总结本研究，我们重申分数规划在近期文献中被广泛研究，并且自其被引入以来从未停止过研究。通过优化基于比率的目标，分数规划能够对权衡进行具体而现实的建模，从而高度支持决策过程。本研究的主要目标是向致力于推进分数规划在各个相邻领域适用性的研究人员提供一份全面的领域综述，从而拓宽学科交叉性。引用的参考文献是基于其与分数规划理论和应用的相关性、历史意义、方法多样性以及当前相关性而选择的。对近期文献的反思以及未来研究方向的建议，与模糊环境下的优化、数据包络分析和具有分数目标函数的多目标优化相关。在整个综述中，我们的主要目标是推广这样一个理念：当被有效使用时，分数规划可以成为管理者做出可靠且自信决策的有效工具。