基于二阶自洽均匀化方法并考虑晶内场波动的多晶变形与再结晶多尺度建模

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：Multiscale modeling of deformation and recrystallization in polycrystals using second-order self-consistent homogenization considering intragranular field fluctuations

　　Iftekhar A. Riyad|Marko Knezevic 新罕布什尔大学机械工程系，美国新罕布什尔州达勒姆市03824摘要最近开发的晶内场波动粘塑性自洽（FF-VPSC）晶体塑性模型，能够基于应力场的二阶矩以及随后的晶内取向差异，计算晶粒内部的更高阶统计信息，包括晶格旋转速率的二阶矩。本研究将FF-VPSC模型与基于晶粒级线性化方案的二阶自洽均匀化公式相结合，该公式同样考虑了晶内的场波动。具体而言，二阶均匀化方法明确使用了多晶中局部场波动的协方差矩阵，其性质是通过适当设计的变分原理确定的。FF-VPSC模型中取向差异信息的存在，使得可以构建晶粒破碎模型，从而更准确地预测变形织构的演化，同时还能构建再结晶模型以预测再结晶织构的演变。为保证模型的完整性，FF-VPSC模型还保留了与温度相关的位错密度基硬化定律，以及用于描述晶粒级初级和次级孪生的高级复合晶粒模型。经过二阶均匀化处理的新型FF-VPSC模型，即FF-VPSC-SO，可用来模拟多晶金属在塑性变形过程中伴随晶粒破碎以及静态和动态再结晶时的热机械响应和织构演化。该模型成功模拟了纯铜在大应变滚动后经过静态再结晶的过程。此外，该模型还用于模拟AZ31镁合金在25°C至200°C温度范围内、准静态应变速率下的变形及动态再结晶过程中的机械响应和织构演化。针对铜和AZ31合金的预测结果都与文献中的实验数据进行了对比。研究表明，通过在均匀化过程中引入场波动，并采用二阶方法，该模型能更准确地预测立方晶系和六方晶系多晶在变形和再结晶过程中的机械响应及织构演化。引言粘塑性自洽（VPSC）模型是一种广泛使用的材料建模工具，可用于预测和理解多晶金属在塑性变形过程中的机械响应和织构演化（Lebensohn和Tomé，1993；Molinari等人，1987a；Zecevic等人，2021）。在VPSC模型中，每个具有特定晶体取向和椭球形几何结构的晶粒都被视为嵌入在均匀有效介质中的夹杂物。均匀有效介质代表了具有各组成晶粒平均性质的多晶体，而这些平均性质则是通过自洽均匀化方案得到的（Eshelby，1957；Hershey，1954）。VPSC模型的标准版本采用了多种一阶自洽近似方法，包括割线法（Hill，1965；Hutchinson，1976）、切线法（Lebensohn和Tomé，1993；Molinari等人，1987b）以及仿射法（Masson等人，2000）。不过，这些基于局部的线性化方案依赖于应力和应变的场平均值，即第一阶矩，来进行均匀化处理。相比那些计算成本更高但精度更高的全场模型，这类平均场线性化方案在精度和计算效率之间取得了较好的平衡（Barrett等人，2018；Feather等人，2021a；Jahedi等人，2015；Knezevic等人，2014a；Lebensohn等人，2012b；Roters等人，2019；Weiss和Knezevic，2024；Weiss等人，2024；Weiss等人，2023）。然而，这类方案在模拟具有高度各向异性或因相邻晶粒性质差异而产生强烈变形梯度的多相多晶时，往往不够准确（Lebensohn等人，2007b）。当塑性应变较大时，由于组成晶粒内部的取向梯度逐渐增大，标准版本的VPSC模型也会变得越来越不准确（Jahedi等人，2018；Lebensohn等人，2004b）。在大塑性应变下预测的变形织构通常比实际测量的强度更高，这主要是因为模型没有考虑晶粒内部的取向梯度以及晶粒破碎现象（Jahedi等人，2018；Knezevic等人，2013；Knezevic等人，2014b）。最近的研究表明，通过计算更高阶的微观力学场，并考虑晶内的取向差异和晶粒破碎现象，可以减少这些误差，显著提升VPSC模型的预测能力（Lebensohn等人，2007b；Zecevic等人，2018b）。通过引入基于高阶统计矩的晶内场波动，VPSC模型的预测精度得到了提升。为此，首先根据应力的二阶矩，计算出晶粒内晶格旋转速率的波动。随着塑性应变的增加，进一步计算出了晶粒内的取向差异（Lebensohn等人，2016；Zecevic等人，2017b）。VPSC模型中取向差异信息的存在为模型的扩展提供了可能。因此，近期有研究在VPSC模型基础上，利用晶内取向差异的计算结果，构建了晶粒破碎模型和再结晶模型。晶粒破碎模型的应用提升了变形织构演化的预测精度，而再结晶模型则有助于预测再结晶织构的演化。通过模拟得到的取向差异可形成过渡带或晶界凸起，从而为再结晶的形核动力学提供理论基础（Dillamore和Katoh，1974；Doherty，1974；Doherty等人，1997b）。由于均匀有效介质与新生晶粒之间的储存能量存在差异，这些新生晶粒便可以开始生长（Wenk等人，1997）。目前已有不少基于局部力学场平均值的晶粒破碎模型和再结晶模型被提出（Butler和McDowell，1998；Tóth等人，2010；Jahedi等人，2017；Lebensohn等人，1998；Tam等人，2021；Wenk和Tomé，1999；Wenk等人，1997）。而本研究更为先进，因为它基于晶粒量平均值周围的场波动，并采用了晶粒破碎模型和再结晶模型。此外，基于晶粒级线性化方案的二阶自洽均匀化公式也能提升VPSC模型的预测精度，该公式同样考虑了晶内场波动的二阶矩。二阶均匀化方法明确使用了多晶中局部场波动的协方差矩阵，其性质也是通过适当的变分原理确定的。这种公式最初是在复合材料研究中提出的（Ponte Casta?eda，2002a，b），后来也被应用于多晶体研究（Bornert等人，2001；Das和Ponte Casta?eda，2021；Liu和Ponte Casta?eda，2004；Song和Ponte Casta?eda，2018）。基于局部场波动协方差矩阵的二阶变分公式所得出的预测结果，已与快速傅里叶变换等数值全场解进行了比较（Lebensohn等人，2004a；Liu和Casta?eda，2004）。通过对不同自洽均匀化方法得到的有效性质和织构演化结果的比较，发现二阶均匀化公式与全场预测结果以及实验数据的吻合度最高。因此，在VPSC模型中引入二阶均匀化方法，是进一步提升其预测能力的又一重要举措，尤其对于那些局部性质差异较大或含有气孔的多晶金属而言（Lebensohn等人，2012a；Lebensohn等人，2011）。不过，这种方法的数学表达更为复杂，计算成本也更高，但其效率仍远高于全场模型。本研究将最新的晶内场波动公式与二阶均匀化方法相结合，构建了一种全新的二阶均匀化场波动VPSC模型，即FF-VPSC-SO模型，该模型能够模拟多晶金属的热机械响应和织构演化，包括塑性变形过程中的晶粒破碎以及动态/静态再结晶过程。为了展示FF-VPSC-SO模型的性能，该模型被用于模拟立方晶系和六方晶系多晶金属在变形和再结晶过程中的机械响应及织构演化。针对纯铜的模拟采用了四种不同的方式以便进行对比。FF-VPSC-SO模型的预测性能是与标准VPSC模型（Std.-VPSC）相比较的，后者并未考虑力学场的二阶矩。标准VPSC模型也在二阶均匀化条件下进行了测试（Std.-VPSC-SO），最后，还有一种模型在考虑力学场二阶矩的同时采用了第一阶均匀化方法（FF-VPSC）。在调整了这四种纯铜模型的硬化参数后，使用这四种模型模拟了大塑性应变条件下的织构演化。预测结果中还对晶粒内部取向差异的发展及其导致的晶粒破碎现象进行了分析，晶粒破碎现象解释了织构形成速率的差异。接下来，该模型还被用于模拟通过FF-VPSC和FF-VPSC-SO模型预测的滚动织构的静态再结晶过程，以此体现考虑二阶矩在模拟再结晶过程织构演化中的重要性。当用这些模型模拟再结晶过程时，它们被分别命名为Rex.-FF-VPSC和Rex.-FF-VPSC-SO。再结晶晶核通常会在结构中由变形引起的非均匀区域形成，比如高储存能量取向梯度带或延伸至相邻晶粒的晶界凸起（Beck和Sperry，1950；Dillamore等人，1972；Hjelen等人，1991；Humphreys和Hatherly，2004a；Kestens和Pirgazi，2016；Ridha和Hutchinson，1982；Sidor等人，2011），也就是说，再结晶的动力学过程取决于金属的变形状态。再结晶模型的预测性能取决于变形模型的精度。与文献中许多再结晶模型随机设定晶核的晶体取向不同（Bunge和K?hler，1992；Engler，1999；Park等人，2022），本研究是根据金属的变形状态来模拟晶核形成的。为此，FF-VPSC和FF-VPSC-SO变形模型所预测的晶粒内部取向梯度被用于再结晶模型中的概率性晶界和过渡带形核机制。为进一步展示FF-VPSC-SO和Rex.-FF-VPSC-SO模型的性能，该模型被用于模拟AZ31镁合金在四个不同温度下的沿法向的拉伸过程中的热机械响应和织构演化，这些温度包括了动态再结晶发生的范围：25°C、100°C、150°C和200°C。这些模型被调整为在三种不同均匀化条件下模拟机械响应：不考虑力学场二阶矩的第一阶均匀化条件（Rex.-VPSC-affine）和二阶均匀化条件（Rex.-VPSC-SO），以及考虑力学场二阶矩的第一阶均匀化条件（Rex.-FF-VPSC-affine）和二阶均匀化条件（Rex.-FF-VPSC-SO）。通过这些对比，研究了多重滑移和孪生机制以及动态再结晶对AZ31合金机械响应和织构演化的影响。铜和AZ31合金的预测结果都与文献中的实验数据进行了对比。文中介绍了模型构建方法、模拟结果、对比分析以及从结果中得出的结论，这些内容都体现了考虑晶粒内部的高阶统计信息以及采用二阶均匀化方法在准确预测多晶金属在变形和再结晶过程中的机械响应及织构演化方面的优势。模型框架以下是对相关内容的介绍。首先概述了标准的VPSC模型及其仿射线性化处理方法（Lebensohn和Tomé，1993），接着介绍了二阶线性化处理的细节（Lebensohn等人，2007b），随后描述了场波动模型，以及基于该模型发展的晶粒破碎和再结晶模型（Lebensohn等人，2016；Zecevic等人，2019；Zecevic等人，2017a）。结果首先评估了FF-VPSC-SO模型在预测应力-应变响应和织构演化方面的性能，对比对象是标准VPSC模型（Std.-VPSC-affine），后者未考虑力学场的二阶矩。标准VPSC模型也在二阶均匀化条件下进行了测试（Std.-VPSC-SO），最后，还有另一种模型在考虑力学场二阶矩的同时采用了第一阶均匀化方法（FF-VPSC-affine）。讨论本研究的目的是开发一种计算效率较高的本构模型，该模型能够考虑晶粒内部的高阶统计信息并采用二阶均匀化方法，从而准确预测多晶材料在变形和再结晶过程中的粘塑性响应及织构演化。所开发的模型名为FF-VPSC-SO，可用于模拟多晶金属在塑性变形过程中的热机械响应及织构演变。该模型结合了能够计算晶粒内部高阶统计信息的FF-VPSC晶体塑性模型，以及基于晶粒级线性化方案的SO自洽均匀化公式，同时还考虑了晶粒内的场波动。此外，FF-VPSC-SO模型还包含晶粒破碎模型，以提升对变形织构演变的预测精度，同时设有再结晶模型用于相关预测。

作者声明
Iftekhar Riyad：软件应用、模型验证、形式分析、研究工作、写作——审稿与编辑、可视化处理
Marko Knezevic：概念设计、方法论、软件应用、研究工作、资源协调、写作——初稿撰写、指导监督、项目管理、资金筹措

未引用的参考文献
Ponte Casta?eda, 2002b

CRediT作者贡献说明
Iftekhar A. Riyad：写作——审稿与编辑、可视化处理、模型验证、软件应用、研究工作、形式分析。
Marko Knezevic：写作——初稿撰写、指导监督、软件应用、资源协调、项目管理、方法论、研究工作、资金筹措、概念设计。