Ori-DID：一种用于折纸结构的直接逆向设计方法

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Ori-DID: a Direct Inverse Design Method for Origami Structures

　　王天舒|苏志涛|刘文利|马嘉尧|陈岩 天津大学机械工程学院，中国天津雅关路135号，邮编300350

摘要
折纸结构在工程领域中被广泛用作可展开结构及超材料。传统设计方法多为基于经验的正向设计或基于迭代的逆向设计，这使得在更复杂的设计目标和约束条件下实现结构合成变得十分困难。本文提出了一种用于折纸结构的直接逆向设计方法。通过采用动态松弛方法，并通过杆长耦合保持折纸结构的等距性约束，实现了无需优化器的形状寻优，从而无需迭代计算即可生成折纸图案。在动态松弛过程中，复杂的表面拟合目标被转化为外部表面法向力，同时还开发了一种能够覆盖所有可能的面板碰撞场景的接触力建模方案，以施加面板干涉约束。通过将目标和约束表示为力，并利用隐式欧拉算法求解动态松弛问题，可以以最低的计算成本捕捉高度非线性的行为，从而实现折纸结构的尺寸与构型同步合成。利用该方法，已成功合成了具有多种目标构型的示例结构。这项工作为折纸结构的直接逆向设计提供了一种新工具。

引言
折纸结构已在众多领域得到广泛应用，包括航空航天[[1], [2], [3], [4]]、建筑[5,6]、医疗保健[7,8]、机器人技术[[9], [10], [11]]等，因此对其分析和设计成为一个重要课题。折纸结构种类繁多，包括刚性可折叠结构[[12], [13], [14]]、非刚性结构[[15], [16], [17]]以及曲面折痕结构[[18], [19], [20]]，这些结构可被视为机械装置、可变形结构或两者的结合体，因而也有相应的分析和设计方法。随着计算工具的不断发展，那些原本无法通过手工计算解决的问题如今已能得以解决，从而带来了新的发现和设计成果。然而，逆向设计仍需对各个设计问题进行深入分析，并依赖数值优化进行大量迭代计算，因此至今仍缺乏一种高效且适用于广泛场景的直接逆向设计方法。

目前用于折纸结构计算的设计方法主要包括基于规则的方法以及优化方法。基于规则的方法[[21], [22], [23]]主要是将折纸设计中已知的规则抽象出来，通过算法以系统化、自动化的方式生成所需的图案。Origamizer软件[24]就大量运用了规则来生成复杂形状，而在工程应用方面，则有考虑闪片折纸图案厚度变化的案例[1,4,25]。另一方面，基于梯度下降或牛顿求解器的优化器则能够在满足可展开性和可平展性约束的前提下设计自由形态的形状[[26], [27], [28]]，同时对于三浦折纸图案的表面拟合也已有大量研究[[29], [30], [31], [32]]。此外，还包括贝叶斯优化[33,34]、遗传算法[[35], [36], [37]]以及粒子群优化[38,39]等全局优化方法，也被用于各种设计中。不过如图1a所示，基于优化的方法需要额外的优化过程，其迭代性质大大降低了计算效率。

另一种用于折纸结构直接逆向设计的新方法是动态松弛法。该方法的起源可追溯到20世纪60年代[[40], [41], [42]]，其基本思路是将优化问题，尤其是形状寻优问题，转化为结构动力学问题。通过引入虚拟质量和阻尼，构建出一个伪动力学系统。随后建立显式时间积分方程，利用动能阻尼在速度峰值处耗散能量，使结构在给定的载荷和边界条件作用下沿着虚拟轨迹走向能量最小的平衡状态，从而形成所需的结构形态。这种方法适用于壳体结构[43,44]、张拉整体结构[45]、张拉整体与壳体相结合的结构[46]以及网格反射器[47]的设计，且具有较高的计算效率[48]。不过上述案例仅考虑了单一状态，而折纸设计则需要考虑多个相互关联的状态，至少包括展开状态和折叠状态。具体而言，不同状态之间必须保持面板的等距性，但折叠角度则可以有所不同。为此，有研究通过施加等式约束，实现了对折纸壳体反射器应变能最小化的处理[49]，表明可以同时考虑多种状态[50]。为了更高效地设计一般的折纸结构，本文将复杂的设目标标和约束转化为等效的力，并采用耦合杆长方案。这样可以避免计算成本较高的等式约束，同时利用动力学模型捕捉高度非线性的形状寻优过程，不仅能调整单个面板的形状，还能调整整个折纸图案的整体折叠构型，从而同时实现尺寸合成和构型合成。如图1b所示，这是一个单一的正向过程，计算效率要高得多。

在开发折纸结构的设计方法时，一个重大挑战在于如何分析和处理刚性可折叠结构与非刚性折纸结构。目前大多数方法都是针对某一类型的折纸结构设计的。刚性可折叠折纸结构可以通过机械理论方法进行分析，例如使用Denavit-Hartenberg（DH）表示法[[51], [52], [53]]以及螺旋系统[54,55]。还有些方法围绕旋转矩阵[56]和四元数[57]，专门研究了折痕旋转问题，其他方法则包括直接描述受顶点重合约束的刚体运动[33,34]，或利用奇异值分解来确定瞬时自由度及运动方向[58]。而非刚性折纸结构[59,60]，包括曲面折痕结构[18,61]，除了折痕旋转外还需要面板的变形，因此不能将其视为机械装置来分析。可行的分析方法包括基于几何原理的专用模型[62]，以及更为常用的有限元方法[63,64]，后者将折纸视为具有特定面板和折痕刚度特性的壳体结构。

在过去十年中，杆铰模型已成为统一分析刚性可折叠结构与非刚性折纸结构的主流方法[65,66]。通过将面板三角化，并将折痕视为轴向弹簧和扭转弹簧，就可以对这两种类型的折纸结构进行描述。如果杆的刚度足够高，就能准确模拟刚性可折叠结构；而如果将面板适当细分，就能很好地描述非刚性结构和曲面折痕结构的变形情况。常见的实现方案包括MERLIN模型[67,68]，它采用弧长方案来解决准静态问题；还有Origami Simulator[69]，它使用显式欧拉方法来解决动力学问题。杆铰模型已被应用于多种复杂问题，如多自由度刚性可折叠折纸结构[70]、曲面折痕结构[71]、多层折纸结构[72]以及更一般的壳体结构[73]。将杆铰模型用于直接逆向设计，为刚性可折叠结构和非刚性折纸结构的动态松弛形状寻优提供了必要基础。

不过，目前的杆铰模型有一个重要的缺陷，那就是缺乏接触建模功能。大多数实现方案只是允许面板相互穿过。在MERLIN代码中，折叠角度是通过应用于扭转弹簧的非线性本构模型来限制的[67]，但这并未解决非相邻面板之间的接触问题。对于碰撞检测，已有研究将点云方法应用于有一定厚度的面板[33,34]。这种方法适用于复杂形状，但无法提供接触力信息。在薄面板模拟中，接触问题可简化为三角形与三角形之间的碰撞[74]，这一方法已被应用[75]，并且也能计算出接触力，但由于存在多种三角形与三角形碰撞的场景，某些场景仍然无法得到妥善处理。为了确保生成的图案不存在干涉，有必要开发一种能够涵盖所有碰撞场景的模型，以便用于直接逆向设计方法。

本文提出了一种适用于刚性可折叠结构和非刚性折纸结构的直接逆向设计方法。如图1所示，该方法基于包含完整接触建模功能的杆铰模型，并通过动态松弛来实现，能够覆盖所有可能的碰撞场景。设计目标与约束被转化为等效的力，而等距性约束则通过耦合杆长方案来建模，这样就可以直接获得解决方案，无需额外的优化过程或等式约束。整个模型以独立软件包的形式在MATLAB中实现，典型的设计任务在个人计算机上几分钟内即可完成。第2节介绍了此处所使用的杆铰模型，包括如何在杆铰框架内对接触情况进行建模，以涵盖所有可能的情况。第3节提出了结合耦合杆长方案的动态松弛方法，其中设计目标被转化为外部力。通过几个示例设计，展示了折纸结构的尺寸合成与构型合成，其中包括具有多种构型的变形折纸结构。最后，第4节给出了结论性的论述。

章节节选
具备完整接触仿真的杆铰模型
本节介绍了杆铰模型的实现方式，这是后续直接逆向设计的基础。首先介绍了折纸结构的图形表示方法，为设计提供框架。接着介绍了杆铰模型及其对应的动力学仿真方案。最后，提出了一种新的接触建模方案，能够高效地识别并建模所有可能的三角形与三角形碰撞场景。

利用动态松弛进行逆向设计
有了完善的杆铰模型和完整的接触建模功能，就有了进行动态松弛计算的基础，进而可以开发出直接的逆向设计方法。折纸结构的逆向设计意味着需要调整其折痕图案和折叠方式，以满足设计目标，而这些目标通常是指明折叠状态或部分折叠状态下的几何形状。设计方法必须能够满足这些目标，同时遵守等距性和碰撞约束，并且尽可能提高效率。

结论
本文提出了一种针对折纸结构的直接逆向设计方法，可有效应对复杂设计目标与约束带来的挑战。通过将动态松弛方法与通过杆长耦合实现的等距性约束相结合，并将设计目标与约束转化为等效的外部力，该方法无需进行迭代优化或显式地施加等式约束，从而实现了高效的形状寻优。

作者贡献说明
王天舒：概念构思、方法设计、研究实施、初稿撰写、软件开发、形式分析。苏志涛：研究实施、验证工作。刘文利：研究实施、验证工作。马嘉尧：概念构思、方法设计、指导监督、审稿与编辑、资金筹措。陈岩：概念构思、方法设计、指导监督、审稿与编辑、资金筹措。

数据可用性
数据将应要求提供。

作者贡献说明
王天舒：初稿撰写、软件开发、方法设计、研究实施、形式分析、概念构思。苏志涛：验证工作、研究实施。刘文利：验证工作、研究实施。马嘉尧：审稿与编辑、指导监督、方法设计、资金筹措、概念构思。陈岩：审稿与编辑、指导监督、方法设计、资金筹措、概念构思。