综述：偏微分方程积分稳定性问题的统一李雅普诺夫方法：关于为抛物线型与双曲型方程构建广义李雅普诺夫泛函的教程

《Annual Reviews in Control》：A unified Lyapunov method for ISS of PDEs: A tutorial on constructing generalized Lyapunov functionals for parabolic and hyperbolic equations

　　郑军|朱古川 中国四川成都西南交通大学数学学院，邮编611756

摘要
本教程介绍了用于分析偏微分方程输入到状态稳定性的一般化李雅普诺夫方法。首先回顾了经典的李雅普诺夫方法及标准的输入到状态稳定性-李雅普诺夫定理，并指出了其在处理具有复杂边界扰动的系统时的局限性。相比之下，基于依赖于外部输入的一般化李雅普诺夫泛函概念的一般化李雅普诺夫方法具有更大的灵活性和效率，尤其适用于存在狄利克雷型边界扰动的偏微分方程。本教程的主要目的是展示如何系统地构造一般化李雅普诺夫泛函，从而为不同偏微分方程在任意q∈[2,∞]的Lq范数下建立输入到状态稳定性估计。具体而言，我们研究了三类具有代表性的偏微分方程：（i）具有混合非线性边界扰动的N维非线性抛物型方程；（ii）具有边界扰动的一阶非线性双曲型方程；（iii）具有边界阻尼和扰动的二阶线性双曲型方程，即波动方程。对于每一种情况，我们都给出了构建合适一般化李雅普诺夫泛函的逐步方法，并推导出明确的输入到状态稳定性估计，以此说明一般化李雅普诺夫方法的普遍适用性。最后，我们讨论了当前存在的挑战以及未来的研究方向，包括为更多类型的偏微分方程系统地构造一般化李雅普诺夫泛函，以及其在控制器设计中的应用。

引言
在扰动存在的情况下表征控制系统鲁棒性的一个基本工具是输入到状态稳定性概念，这一概念最早由Sontag及其合作者在20世纪80年代末为用常微分方程描述的有限维非线性系统提出（Sontag, 1989, Sontag, 1990）。将输入到状态稳定性理论扩展到无限维场景，尤其是由偏微分方程描述的系统的研究始于2000年代末和2010年代初；相关文献可见Argomedo等人2013年的工作，以及Dashkovskiy和Mironchenko在2010年、2013a年的研究，Jayawardhana等人2008年的工作，Mazenc和Prieur在2011年、2012年的研究等。

输入到状态稳定性概念能够体现系统在存在非线性共振情况下的敏感性，同时还能在外部输入能量有限时对系统的超调行为进行定性描述。因此，它为偏微分方程提供了一个坚实的理论框架，统一了诸如有界输入有界输出稳定性、扰动作用下小输入小误差行为以及无扰动情况下的渐近稳定性等性质。值得注意的是，输入到状态稳定性概念以与经典李雅普诺夫稳定性理论完全兼容的方式纳入了初始状态的影响，同时还为有限增益稳定性和上确界范数有限增益稳定性提供了非线性推广。这为偏微分方程的各种分析及设计工具奠定了基础，包括小增益定理以及各类输入到状态稳定性性质的描述方法。这些工具的实际应用在近期关于由齐次和非齐次偏微分方程描述的非合作博弈中寻求纳什均衡的研究中得到了进一步体现（Oliveira等人，2026年），在这些研究中，输入到状态稳定性概念和小增益分析起着核心作用。

在过去的十年中，人们付出了大量努力为抽象的无限维系统提供输入到状态稳定性分析方法（Damak, 2021, Damak, 2022, Dashkovskiy和Mironchenko, 2013a, Dashkovskiy和Mironchenko, 2013b, Jacob等人，2020年，Jacob、Schwenninger和Zwart，2018年，Jayawardhana等人，2008年，Karafyllis和Jiang，2011年，Mironchenko，2016年，Mironchenko和Ito，2015年、2016年，Mironchenko和Wirth，2018a年、2018b年），并且为受到不同类型扰动的特定偏微分方程建立了多种输入到状态稳定性估计方法（Ahmadi等人，2016年，Argomedo等人，2013年、2012年，Auriol和Di Meglio，2020年，Dashkovskiy和Mironchenko，2010年、2013a年、2013b年，Jacob等人，2016年，Jacob、Nabiullin等人，2018年，Karafyllis和Krsti?，2018年，Lamare等人，2018年，Logemann，2013年，Mazenc和Prieur，2011年，Mironchenko，2016年，Mironchenko和Ito，2015年、2016年，Mironchenko和Wirth，2018a年，Pisano和Orlov，2017年，Prieur和Mazenc，2012年，Tanwani等人，2017年，Teel，1998年，Zheng等人，2018年）。对于偏微分方程而言，外部扰动通常出现在系统域内部或域的边界上。众所周知，对于存在分布式域内扰动的偏微分方程，可以通过直接扩展为有限维系统开发的方法，如李雅普诺夫方法，来建立输入到状态稳定性（Mironchenko & Prieur, 2020年）。相比之下，对于存在边界扰动的偏微分方程，研究输入到状态稳定性则要困难得多（Karafyllis和Krsti?，2018年，Mironchenko和Prieur，2020年）。这是因为这类系统在其抽象表述中涉及无界输入算子，给输入到状态稳定性分析带来了极大阻碍；相关研究可见Argomedo等人2013年的工作，Damak在2021年、2022年的研究，Karafyllis和Krsti?在2016b年、2017年、2018年的研究，Mironchenko和Prieur在2020年的研究，Mironchenko和Schwenninger在2025年的研究，Mironchenko和Wirth在2018a年的研究，Orlov在2020年的研究，Schwenninger在2020年的研究。

为了解决存在边界扰动的偏微分方程的输入到状态稳定性问题，近年来人们提出了多种方法，包括：（i）有限差分方案和解的特征函数展开法，可用于为受斯特姆-刘维尔算子控制的偏微分方程建立输入到状态稳定性（Karafyllis和Krsti?，2014年，2016a年，2016b年，2017年）；（ii）半群法和容许性方法，可用于为受线性微分算子控制且输入满足容许条件的偏微分方程建立输入到状态稳定性（Jacob等人，2016年，Jacob、Nabiullin等人，2018年，Jacob、Schwenninger和Zwart，2018年，Schwenninger，2020年）；（iii）基于索伯列夫嵌入不等式变体的经典李雅普诺夫方法，可通过构造强制性的李雅普诺夫泛函，为具有罗宾边界条件或诺伊曼边界条件的偏微分方程建立输入到状态稳定性（Zheng和Zhu，2018a年、2018b年、2018c年）；该方法最初被应用于具有边界扰动的抛物型偏微分方程的输入到状态稳定性分析；（iv）单调性方法，可用于为具有狄利克雷边界条件的单调系统，如抛物型偏微分方程，建立输入到状态稳定性（Mironchenko等人，2019年）；（v）德·乔尔吉迭代法，可用于为具有狄利克雷边界条件或罗宾边界条件的抛物型偏微分方程建立输入到状态稳定性（Zheng和Zhu，2018b年，2019a年，Zheng等人，2022年）；（vi）里兹谱方法，可用于为受里兹谱算子控制的偏微分方程建立输入到状态稳定性（Lhachemi等人，2020年，Lhachemi和Shorten，2019年）；（vii）基于最大值原理的方法，可用于为具有不同类型边界条件的抛物型偏微分方程建立输入到状态稳定性（Karafyllis和Krsti?，2021年，Zheng和Zhu，2019b年，2020a年、2020b年）；（viii）非强制性李雅普诺夫方法，它放宽了经典强制性李雅普诺夫泛函的对下界的要求，已被应用于某些具有狄利克雷边界条件的线性系统（Jacob、Mironchenko等人，2018年，Jacob等人，2020年，Mironchenko和Prieur，2020年，Mironchenko和Schwenninger，2025年）；（ix）近似李雅普诺夫方法，可用于为具有各种类型边界条件的抛物型偏微分方程，在不同的范数下，尤其是L1范数下，建立输入到状态稳定性或积分输入到状态稳定性（Zheng和Zhu，2021a年、2021b年）。

需要指出的是，依赖于线性算子理论、特征函数展开、谱分析或输入的容许性条件的方法，即第（i）、（ii）、（vi）和（viii）类方法，特别适用于一维线性偏微分方程，而其他方法则可应用于非线性偏微分方程或定义在更高维域上的偏微分方程。第（ix）、（iii）类方法在不存在狄利克雷边界扰动的情况下，可用于为偏微分方程建立全局输入到状态稳定性，但它们难以直接扩展到存在狄利克雷边界扰动的偏微分方程。此外，将第（iv）、（v）和（vii）类方法扩展到抛物型方程之外的偏微分方程也极具挑战性。总体而言，由于偏微分方程的复杂性和多样性，每种方法都有其自身的优缺点。特别是，第（i）、（ii）以及（iv）–（vii）类中的非李雅普诺夫方法的适用性在很大程度上取决于所研究的偏微分方程的结构。因此，开发一种可适用于广泛类别偏微分方程的统一输入到状态稳定性分析框架仍然是一项重大挑战。

鉴于李雅普诺夫方法在控制系统稳定性分析中的核心地位，过去几年中，作者们一直致力于在李雅普诺夫框架内为偏微分方程的输入到状态稳定性分析开发统一的分析工具。这一努力促使人们提出了广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函的概念（Zheng & Zhu, 2024年）。这一方法已被成功应用于为具有狄利克雷边界扰动的伯格斯方程建立全局输入到状态稳定性（Zheng & Zhu, 2024年），从而为Mironchenko和Prieur在2020年提出的开放性问题5.12给出了肯定答案。此外，利用所提出的方法，人们为抽象控制系统建立了广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫定理，并在Zheng和Zhu 2025年的研究中，为一类具有狄利克雷边界扰动的抛物型偏微分方程明确构造出了广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函。这种方法的核心思想在于构造一个半正定的李雅普诺夫候选函数，该函数能够明确包含外部扰动，从而为在偏微分方程的输入到状态稳定性分析中处理非齐次的狄利克雷边界项提供了新的思路。

值得强调的是，广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函的一个优势在于，它能够同时兼顾狄利克雷边界扰动以及其他类型的扰动，而且使得偏微分方程的输入到状态稳定性分析能够以与经典李雅普诺夫方法类似的方式进行。特别是，这种一般化李雅普诺夫方法可以通过仅使用分部积分（对于更高维偏微分方程则可使用格林公式）以及阿格蒙不等式、庞加莱不等式、詹森不等式、杨氏不等式和格龙沃尔不等式等基本微分不等式，以系统化的方式开展分析，从而无需验证第（ii）和（viii）类方法中针对输入算子所要求的容许性条件。此外，它还避免了通常在第（i）、（vi）类方法中所需的谱分析或其他复杂的分析工具，因此为特定偏微分方程的输入到状态稳定性分析带来了便利。不过，目前一般化李雅普诺夫方法的适用范围主要限于抛物型偏微分方程，尤其是那些定义在一维域上且具有线性边界条件的方程（参见Bi等人2025a年、2025b年的研究，Zheng等人2025年的研究，Zheng和Zhu 2024年的研究），而将其扩展到其他类型的偏微分方程的研究目前尚未见报道。另外，最近的逆向输入到状态稳定性-李雅普诺夫结果（Mironchenko & Schwenninger, 2025年）揭示了经典强制性李雅普诺夫泛函在处理存在边界扰动的偏微分方程时的根本局限性，这进一步推动了一般化李雅普诺夫方法的发展。

本教程旨在说明如何运用一般化李雅普诺夫方法——尽管也可能有其他替代方法适用——为更广泛的偏微分方程建立输入到状态稳定性，尤其是那些最具代表性的方程，包括在一般边界条件下的高维抛物型偏微分方程、一维一阶非线性双曲型偏微分方程，以及一维二阶线性双曲型偏微分方程，即波动方程。在本文的其余部分，我们首先介绍本文中使用的一些基本符号。第2节将在抽象系统框架下重新阐述经典的输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函及其对应的输入到状态稳定性-李雅普诺夫定理，从而说明这类泛函在分析存在边界扰动的偏微分方程时的有效性及其局限性。随后，我们会回顾广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函及其相关的输入到状态稳定性-李雅普诺夫定理，并提出一种特别适用于特定偏微分方程的命题。为了展示一般化李雅普诺夫方法在偏微分方程输入到状态稳定性分析中的应用，我们将研究三种不同类型的偏微分方程：•在第3节中，对于一类定义在更高维域上且具有混合非线性边界扰动的非线性抛物型偏微分方程，我们将展示如何构造广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函，并为任意q∈[2,∞]的Lq范数建立输入到状态稳定性估计；•在第4节中，对于一类存在边界扰动的一维一阶双曲型方程，我们将展示如何构造广义输入到状态稳定性-李雅普诺夫泛函，并为任意q∈[2,∞]的Lq范数建立局部和全局的输入到状态稳定性估计；•在第5节中，对于一类具有边界阻尼和扰动的波动方程，我们将展示如何运用一般化李雅普诺夫方法为任意q∈[2,∞]的Lq范数建立输入到状态稳定性估计。第6节我们将给出一些总结性意见，随后是附录，其中包含了两个引理以及本文中多次用到的截断函数若干性质的证明。

设?R?(?∞,+∞)，?R≥0?[0,+∞)，?R>0?(0,+∞)，?R≤0?(?∞,0]。对于p∈[1,∞)以及开的有界域Ω?RN（N≥1），函数g∈Lp(Ω)和L∞(Ω)的范数分别定义为?‖g‖Lp(Ω)?∫Ω|g(y)|pdy1p和?‖g‖L∞(Ω)?ess supy∈Ω|g(y)|。设C(R≥0;R≥0)（或C(R≥0×R≥0;R≥0)）为从R≥0（或R≥0×R≥0）到R≥0的连续函数构成的集合。对于一个线性赋范空间Y，设PC(R≥0;Y)为所有从R≥0到Y的逐段右连续函数f的集合，这些函数满足?‖f‖PC(R≥0;Y)?supt∈R≥0‖f(t)‖Y<∞。用f°g表示函数f与g的复合，即?f°g(?)?f(g(?))。定义?P?{γ∈C(R≥0;R≥0)|γ(0)=0,γ(s)>0,?s∈R>0}，?K?{γ∈P|γ严格递增}，?K∞?{γ∈K|lims→+∞γ(s)=+∞}，?L?{γ∈C(R≥0;R≥0)|γ严格递减且lims→+∞γ(s)=0}，?KL?{β∈C(R≥0×R≥0;R≥0)|β(?,t)∈K,?t∈R≥0;β(s,?)∈L,?s∈R>0}。

CLM与GLM概述
在本节中，我们以抽象形式回顾了控制系统中的GISS-LF以及相关的ISS-李雅普诺夫定理。为了便于进行有意义的比较，我们首先简要回顾控制系统中的CLM基本概念，以及用于偏微分方程的（经典）ISS-李雅普诺夫泛函（ISS-LFs）的构造方法。

通过GLM对N维抛物型方程进行ISS分析
在本节中，我们为具有不同扰动且在非线性边界条件下的高维抛物型偏微分方程构建GISS-LF。设N≥1，Ω为RN中的一个开有界区域，其边界（当N>1时为光滑边界）记为?Ω。在?Ω上的每一点y处，单位外法向向量记为ν(y)。对于在Ω上定义的可微函数h，?h表示h的梯度。符号dS表示?Ω的面积元素。符号?N(Ω)（或?N?1(Γ)）表示通过GLM对1维一阶双曲方程进行的N-ISS分析。

通过GLM对1维波动方程进行ISS分析
在本节中，我们利用GLM为以下1维波动方程建立ISS估计：ρt(y,t)+λ(W(t))ρ(y,t)y=0,(y,t)∈(0,1)×R>0,ρ(0,t)?kρ(1,t)=d(t),t∈R>0,ρ(y,0)=ρ0(y),y∈(0,1)，其中λ∈C1(R;R>0)，k∈(?1,1)为常数，d、ρ0为光滑函数，而?W(t)?∫01ρ(y,t)dy。方程(29)常被用于模拟半导体制造系统；参见例如Armbruster等人2006年的研究、Herty等人2007年的研究以及Marca等人2010年的研究。该偏微分方程的关键特征在于速度项。

结论
在本文中，我们在抽象控制系统的框架下，重新审视了（经典）ISS-LF、（经典）ISS-李雅普诺夫定理，以及GISS-LF和GISS-李雅普诺夫定理的概念。GISS-LF的一个显著特点是其依赖于外部输入，这一特性拓展了经典ISS-LF的功能，为特定偏微分方程的ISS分析提供了更大的灵活性。尤其是在存在狄利克雷边界扰动的情况下，GISS-LF展现出更强的适用性。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。