用于不可压缩超弹性层均匀压缩的欧拉简化PINN方法

《Mechanics of Materials》：Eulerian-reduced PINN for uniform compression of incompressible hyperelastic layers

　　李金然|周庆华|杨莉|常成|史志奇|张寅|安晓涛
中国四川成都610065，四川大学，航空航天学院，先进空间机构与智能航天器重点实验室（教育部），四川省机器人卫星重点实验室

摘要
对于全场神经网络而言，精确恢复不可压缩超弹性层中的局部应力是一项挑战，因为微小的体积误差可能会被放大为静水压力和各向应力误差。本研究针对不可压缩超弹性层的平面应变均匀压缩问题，提出了一种欧拉降维物理信息神经网络——ER-PINN。通过欧拉逆映射降维，原始二维问题可表示为一维几何场q(s)和一个标量闭合参数z。神经网络从降维后的物理约束中学习几何结构，而逆映射、严格的不可压缩性条件以及柯西应力分量则在当前配置下通过解析方法重建。针对新胡克材料和穆尼-里夫林材料的分析参考测试表明，该降维几何结构、逆映射及局部应力都能被精确恢复，在所研究的基准案例中应力误差处于10??至10??水平。通过与基于惩罚能量的PINN的共享中心带对比，进一步说明了表示对齐对局部应力精度的影响。研究结果表明，当存在明确的降维应力生成结构时，学习降维后的欧拉变量可为局部应力重建提供一种高效的保持不可压缩性的方法。

引言
对不可压缩及近不可压缩超弹性层的大变形分析非常重要，因为在许多软体系统中，是局部应力而非可见位移决定了系统的失效行为。软体机器人组件会将有限变形作为其功能的一部分（Caasenbrood等人，2023年）。工程化水凝胶及其他柔顺材料也被设计为能在较大可逆变形条件下工作（Xu等人，2025年）。类软骨组织中存在层状压缩现象，此时本构非线性和约束效应共同作用（Istiak等人，2025年）。类似地，橡胶密封件和粘合层也在较大压缩作用下工作（Zheng等人，2021年）。在这些应用中，局部应力集中与粘附力丧失、裂纹萌生、疲劳及耐久性密切相关（Sales等人，2023年；Creton和Lakrout，2000年）。因此，一种实用的计算方法不仅要能够生成合理的变形场，还需充分保持不可压缩性，以确保重建的局部应力场具有可靠性。图1总结了这一以应力为核心的应用动机。近不可压缩超弹性层的压缩过程中，大应变、侧向约束及局部应力集中相互关联，这使得该问题成为评估应力恢复效果而非仅位移恢复效果的良好试验平台。

超弹性的本构理论十分经典。Mooney和Rivlin提出了基于不变量的大弹性变形描述方法（Mooney，1940年；Rivlin，1948年）。Ogden型模型后来拓展了实际中可表征的非线性响应范围（Ogden，1972年）。近期综述指出，一旦涉及有限应变和近不可压缩性，本构建模与数值实现就会紧密关联在一起（Melly等人，2021年）。标准的有限变形连续介质公式为这类问题提供了理论基础（Bonet和Wood，1997年）。因此，主要的计算难点并非缺乏本构模型，而是如何在非线性边界值问题中准确实现不可压缩性维持与应力恢复。

解析和半解析压缩解仍然不可或缺，因为它们能提供可控的力学参考。对受约束超弹性体的经典有限变形分析揭示了几何结构、不可压缩性及应力传递之间的相互作用机制（Rivlin和Thomas，1951年）。粘合层分析则为压缩弹性层提供了另一重要基准（Qiao和Lu，2015年）。针对不可压缩橡胶类材料的压入与接触研究进一步阐明了有限变形如何影响局部应力场（Giannakopoulos和Triantafyllou，2007年）。后续的接触修正方法将这些结果扩展到了更现实的有限接触场景中（Guo等人，2020年；Wang等人，2022年）。最近，欧拉降维方法为揭示超弹性层中的有限压缩结构提供了另一种途径（Yang等人，2025年）。但对于本文所关注的工程应用而言，这些解析参考方法的局限性并不仅在于其几何结构过于理想化。实际上，当引入温度依赖性响应、热膨胀、粘附力演变、材料不均匀性或热机械耦合效应时，控制结构往往会发生变化，因而需要重新推导相关公式。因此，解析基准方法虽有助于理解和验证，但作为多因素耦合研究中的可重复使用求解组件则不够便捷。

对于一般的边界值问题，有限元分析仍是非线性固体力学领域的标准计算工具（Zienkiewicz等人，2005年）。目前已有成熟的大变形及接触问题处理方法（Wriggers，2008年）。尽管如此，近不可压缩性依然使得应力恢复变得极为复杂。关于锁定的相关综述表明，体积锁定、膜锁定和剪切锁定等问题在各类有限元方法中依然普遍存在（Bombarde等人，2024年）。因此，针对近不可压缩及完全不可压缩弹性的稳健有限元处理方法持续受到关注（Karabelas等人，2022年）。基于惩罚的方法被广泛使用，但其性能很大程度上取决于不可压缩性约束的正则化处理方式（Valverde-González等人，2023年）。简而言之，即便位移场尚未出现明显错误，微小的体积缺陷也早已可能污染应力场。

物理信息神经网络为这一问题提供了另一种解决方案，因为可将物理约束嵌入到训练目标函数中。Raissi等人首次提出了用于求解由非线性偏微分方程控制的正问题与反问题的PINN框架（Raissi等人，2019年）。Karniadakis等人随后将PINN纳入更广泛的物理信息机器学习发展体系之中（Karniadakis等人，2021年）。在固体力学领域，Haghighat等人开发了用于反演与替代建模的PINN工作流程（Haghighat等人，2021年）。Bai等人则从实现角度探讨了计算固体力学中的PINN应用（Bai等人，2023a年）。Abueidda等人提出了一种用于三维固体力学的无网格物理信息深度学习方法（Abueidda等人，2021年）。此后，通过改进损失函数的形式，提升了PINN在二维及三维固体力学中的性能（Bai等人，2023b年）。误差界限分析及弱形式训练进一步表明，目标函数本身也是核心设计要素之一（Guo和Haghighat，2022年）。变分PINN框架则通过将弱形式或变分形式嵌入学习过程，明确了这一点（Kharazmi等人，2021年）。

超弹性特性还推动了超越传统强形式PINN的其他发展。Samaniego等人提出了在存在变分原理时可用于计算力学的能量基神经网络形式（Samaniego等人，2020年）。Nguyen-Thanh等人开发了用于有限变形超弹性问题的深度能量方法，降低了训练过程中所需的导数阶数（Nguyen-Thanh等人，2020年）。Abueidda等人还将深度能量方法扩展到了超弹性及粘弹性响应的研究中（Abueidda等人，2022年）。后来又提出了改进型的超弹性PINN，旨在提升其在非线性本构行为下的稳健性及场恢复能力（Abueidda等人，2023年）。最近的研究还将能量基PINN应用于大变形接触问题（Bai等人，2025年）。此外，还开发了考虑几何结构的深度能量公式，以便适用于多种不同几何形态的域，而不仅仅是固定的单一几何结构（Nguyen等人，2025年）。同时，多载荷研究及深度能量失效机制分析表明，即便存在能量结构，实现稳健训练依然是一项艰巨任务（Le和Nguyen，2026年；Wang等人，2026年）。关于高阶超弹性本构模型的最新研究进一步体现了求解侧超弹性PINN领域的快速发展（Pratap等人，2025年）。

另一项平行研究方向则是着眼于改变所学变量，而不仅仅是调整损失函数。Rezaei等人提出了混合PINN形式，通过学习辅助变量来提升在复杂几何结构中的稳健性（Rezaei等人，2022年）。Fuhg和Bouklas开发了混合深度能量方法，用以更好地捕捉有限变形超弹性问题中的浓度特征（Fuhg和Bouklas，2022年）。Harandi等人将混合PINN理念扩展到了热机械耦合系统中（Harandi等人，2024年）。Rezaei等人还利用PINN学习了基于热力学的非线性本构材料模型的解（Rezaei等人，2024年）。互补能量学习则是另一个示例，它通过采用不同的力学表示方式来改变近似问题的结构（Wang等人，2024年）。这些研究表明，未知量的选择与优化器、架构或惩罚权重的重要性相当。

相关研究结果也来自神经本构建模领域。Linden等人展示了如何通过设计超弹性神经势函数，使其天然满足力学约束条件（Linden等人，2023年）。Klein等人进一步为超弹性神经模型引入了单调容许性约束（Klein等人，2026年）。Moon等人则利用物理信息神经网络，从少量数据中挖掘出超弹性本构定律（Moon等人，2025年）。关于固体数据驱动本构定律的综述也强调，表示方式、容许性及力学结构都是首要的设计考量因素（Fuhg等人，2025年）。在本研究中，这一更宏观的观点被具体应用到求解层面：当已知某种降维应力生成结构时，所学变量应与该结构相匹配。

尽管取得了诸多进展，但在不可压缩超弹性PINN中实现应力恢复依然面临困难。许多求解侧公式首先会学习完整场的运动学描述，之后再通过微分运算及本构评估来重建应力。而对于不可压缩或近不可压缩材料而言，这种处理顺序存在问题，因为通常最容易出错的量往往是在最后才被重建的。即使位移场看似合理，J=1处的微小残差误差也可能会被放大为静水压力或各向应力误差。有限几何编码技术表明，更好的表示方式能够提升固体力学PINN的性能（Li等人，2025年）。基于分解的训练方法也从另一角度得出了类似结论（Dick等人，2025年）。总体而言，PINN中的梯度异常问题及失效模式现已有较多研究报道（Wang等人，2021年；Krishnapriyan等人，2021年）。因此，本文要解决的具体问题是：当某个不可压缩压缩问题存在降维应力生成结构时，PINN是否可以直接学习该结构，而无需依赖通用的全场位移替代模型？

本研究以不可压缩超弹性层的平面应变均匀压缩问题为研究对象。这种均匀压缩场景提供了一个清晰的应力敏感型基准，便于分别检验位移恢复、不可压缩性保持以及局部应力重建的效果。欧拉逆映射视角为该问题提供了合适的降维描述方式（Kamrin等人，2012年；Rycroft等人，2020年）。在Yang等人（2025年）的欧拉降维基础上，该问题的精确压缩形式可表示为一维结构函数q(s)和一个闭合参数z。在此基础上，本文针对该均匀压缩基准问题，开发了一种欧拉降维物理信息神经网络——ER-PINN。该网络无需依赖解析解的逐点监督，即可从降维后的物理约束中学习降维几何结构q(s)及一个可训练的闭合标量z。随后，再从同一降维几何结构中重建逆映射、不可压缩性场及柯西应力分量。本研究明确了q(s)和z如何生成局部应力场，通过解析参考结果验证了重建结果的准确性，并量化分析了表示方式选择对局部应力精度的影响。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍均匀压缩问题、欧拉逆映射表述方式以及解析降维方法；第3节阐述ER-PINN的构建方法；第4节说明数值设置、评估指标及比较方案；第5节报告数值计算结果；第6节和第7节分别给出讨论与结论。相应地，本节依次回答三个问题：简化后的欧拉方程组是否得到正确求解，所学习的简化表示是否保持了不可压缩性及局部应力精度，以及所提出的方法为何能在基准测试中表现出良好性能。因此，研究结果首先通过对简化变量和重构场的解析参考验证展开，继而进行本构关系分析，并与完整的场模型进行对比分析。

本节从应力重构、表示方法选择及研究范围等方面对数值结果进行解读。讨论重点在于为何仅依靠位移层面的一致性不足以评估该问题的解的质量，为何选择欧拉简化变量能提升局部应力精度，以及这些结论的适用范围应如何界定。

本研究针对不可压缩超弹性层的均匀压缩问题，开发了一种专用的欧拉简化PINN方法。该方法利用问题的解析欧拉逆映射简化思路，学习简化后的应力生成变量q(s)和z，进而重构出逆映射、不可压缩性条件及局部柯西应力。解析验证表明，对于新胡克模型，简化后的几何结构及局部应力能够被准确恢复。

**CRediT作者贡献声明**
李金然：撰写——初稿，概念设计。周庆华：撰写——审阅与编辑，指导，资金获取，概念设计。杨立：可视化，软件，方法论。常成：可视化，软件，数据整理。石志奇：验证，方法论，数据整理。张寅：验证，数据整理。安晓涛：撰写——审阅与编辑，资源提供。

**关于手稿准备过程中生成式AI及AI辅助技术的声明**
在撰写本论文期间，作者使用了ChatGPT（OpenAI）对文本进行语言编辑和风格优化。在使用该工具后，作者对所有内容进行了仔细审查、修改和验证，并对最终文章的准确性、原创性和完整性承担全部责任。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

**致谢**
作者感谢中国四川省自然科学基金（项目编号2026NSFSC1262）、2026年度四川省归国留学人员科技活动择优资助计划（项目编号(2026) 282-8）、中国自然科学基金（项目编号52275205、U22B2080、52405030）以及太行实验室（项目编号A2063）的支持。