一种用于模拟近不可压缩软材料的热-粘弹性与损伤耦合现象的混合方法

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：A hybrid approach to simulate the coupled thermo-viscoelasticity and damage of near-incompressible soft materials

　　王金成|刘振|沈志斌|邓光伟|龙飞|张学阳|李先芳中国湖南省长沙市410075，中南大学土木工程学院摘要本文提出了一种混合力学驱动的变分框架，用于模拟固体推进剂等几乎不可压缩材料的高非线性热粘弹性行为、损伤演化以及温度效应。该框架利用基于高斯随机应变路径生成的综合数据集训练得到的本构替代模型，这种数据生成策略使得替代模型能够近似材料的固有本构关系，从而确保在多种运动学工况下的稳健泛化能力。该替代模型的架构是通过时间依赖的模量与损伤变量的直接状态参数化来构建的。通过采用解耦训练策略，该框架能够有效捕捉粘弹性松弛与损伤积累这两种不同的非线性演化模式。此外，研究还将该本构替代模型整合到预处理变分能量框架中。通过在混合求解器中采用解耦的体积-偏应力表述方式，该框架有效避免了在几乎不可压缩工况（ν≈0.499）下常见的体积锁定现象。该框架还利用旋转不变量，并在训练损失函数中加入最小热力学单调性约束，以确保物理一致性并准确描述多轴效应。通过对数字图像相关实验数据的验证，表明该框架能够准确预测二维应力与应变场。数值测试结果显示，与简单的耦合公式相比，该框架在高度非线性、几乎不可压缩且存在损伤演化的工况下具有更好的数值稳定性与计算效率。引言与弹性固体相比，热粘弹性材料还存在额外的耗散机制。具有粘弹性行为的材料包括橡胶类材料、聚合物、地质材料、软组织以及高温下的金属（Xia等人，2024；Zhang等人，2022）。实际上，大多数材料都存在不同程度的粘弹性行为（Doghri等人，2026b；Xu等人，2021）。这种行为既与时间有关，也与加载速率有关，这意味着在恒定边界条件作用下，材料的响应不仅会随时间发生变化（如应力松弛或蠕变），还会对加载速率敏感（Xia等人，2022b）。这种双重依赖性使得粘弹性的本构建模比弹性建模更为复杂，因此受到了材料设计与工程领域的广泛关注（Peng等人，2025）。此外，复合材料的使用日益增多，也推动了人们在更复杂的条件下，如含有夹杂物的情况以及多物理场场景下，对这种非线性行为的深入研究（Guan等人，2024；Ma等人，2022；Doghri等人，2026a）。因此，对于具有复杂边界条件的粘弹性特性进行准确建模，对于评估结构与设备的可靠性至关重要（Meyer和Mohr，2025；Li等人，2025）。通常有两种方法可用于获得粘弹性固体的本构关系。第一种方法是利用熵不等式，该方法已被广泛应用于大变形、多场问题以及非线性粘弹性材料的研究中（Ostadrahimi等人，2026；Bonatti和Mohr，2019；Bonatti和Mohr，2017）。熵不等式通常通过偏微分方程来表述。尽管这种方法具有坚实的物理基础，但使用时仍存在以下挑战：1. 数学复杂性高：复杂的张量运算（如Green–Naghdi速率）以及非线性特征值方程会给数值求解带来困难。此外，还需要对材料内部变量与自由能函数的形式做出先验假设（Ren等人，2025）。2. 参数标定困难：热力学框架中的耗散势函数与自由能参数必须通过成本高昂的多场耦合实验来确定（如热力实验）（Deng等人，2025；Pogorelko等人，2024）。而且，实际材料可能偏离理想的热力学假设，比如局部平衡态假设。3. 计算成本高：在解决强非线性问题，如大变形粘弹性问题时，常常会出现收敛性差且计算耗时的情况（Deng等人，2023）。另一种方法是基于观察到的现象建立数学模型，即现象学模型。这种方法直接从可测量的机械响应中推导出本构关系，从而避免了张量运算带来的高数学复杂性（对应挑战1），同时也无需通过成本高昂的多场耦合实验来进行参数标定（对应挑战2）。虽然这类模型不得违反基本的物理定律，但不必直接引入熵不等式。传统的现象学本构模型，如弹簧-阻尼器模型，是一种通过实验数据标定参数的数学关系，用于模拟粘弹性系统的响应（Ostadrahimi等人，2025；As’ad和Farhat，2023）。许多研究致力于对各种材料的本构行为进行建模（Abueidda等人，2025；Lei等人，2020；Xiang等人，2020）。例如，Zhang和Mohr（Zhang和Mohr，2020）针对包含非比例加载与卸载的复杂加载路径，开发了J2塑性神经网络模型。其他研究，如Eghtesad等人（2023）、Li等人（2022b）以及Garzon-Hernandez等人（2020）则分别研究了晶体塑性、微观结构特征以及多晶金属、热塑性聚合物和纤维增强复合材料的宏观变形行为。最近，Guan等人（2023b）提出了一种基于网络的材料单元，可直接从应力-应变数据中学习本构关系。Li等人（2023）则利用代表体元模拟方法，预测了高温下PEEK基复合材料的松弛行为。然而，含有夹杂物的多物理场材料的粘弹性特性具有高维性与非线性特征，这给那些依赖于线性或简单阻尼函数（如弹簧-阻尼器模型）的传统建模方法带来了巨大挑战（Heidenreich和Mohr，2025；Chen等人，2026）。为了准确捕捉这些复杂行为，需要更先进的建模方法（Abueidda和Mobasher，2024）。计算能力的提升推动了机器学习的快速发展，如今它已被广泛应用于材料科学与工程等领域（Xu等人，2021；S. Lin等人，2025；Jordan等人，2023）。特别是深度学习为求解偏微分方程提供了新的有力手段，并且在从数据中学习本构关系方面展现出良好效果（Xu等人，2023；S. Lin等人，2025；Samaniego等人，2020）。在这种数据驱动的建模过程中，一个关键步骤是从观测数据中识别本构关系或参数，这实际上属于一个反问题（Guan等人，2023b；Lin等人，2026；Wang等人，2025）。解决这一反问题需要采用受偏微分方程约束的优化方法，此时解决方案必须满足控制方程、边界条件以及守恒定律（Yu等人，2026；Rezaei等人，2022；Su等人，2024）。最终模型的准确性是通过最小化一个目标函数（或损失函数）来实现的，该函数用于衡量预测结果与观测值之间的差异，其原理类似于有限元方法中的加权残差最小化。例如，在材料建模领域，Abueidda等人（2021）使用了TCN和GRU模型来预测热粘塑性响应。Krasnikov等人（2025）开发了一种神经网络，用于将纳米晶铝的原子尺度模拟与连续介质尺度模拟相衔接。Meyer和Mohr（2025）则运用概率神经网络来预测输入不确定时的应变场。Xia等人（2022a）提出了基于TTSP的双重热力学框架，用于模拟温度依赖的蠕变行为。Eghtesad等人（2024）开发了输入凸型、基于物理原理的神经网络，用于模拟复杂的粘弹性-塑性机械响应。Pistenon等人（2025）提出了一种名为Mech-TANN的热力学约束模型，该模型用机械状态变量替代RNN记忆机制，从而提升了模型的泛化性能。Jordan和Mohr（2025）则利用大数据训练方法确定了热粘弹性聚丙烯的物理模型参数。在本研究中，我们以固体推进剂作为典型工程案例，重点研究含有夹杂物的几乎不可压缩多物理场粘弹性材料的机械响应。主要挑战在于如何在保持预测精度与计算效率的前提下，准确建模符合热力学规律且存在损伤耦合效应的粘弹性行为。尽管已有研究将神经网络应用于粘弹性研究，但针对复杂、几乎不可压缩系统的、能够整合这些原理的稳健方法仍然有待发展。为弥补这一不足，我们提出了一种专为非线性边值问题设计的力学驱动循环神经网络框架。在框架构建方面，该框架将直接状态参数化与物理时间归一化相结合，从而避免了直接时间映射所带来的误差累积与外推困难。在训练策略方面，该框架采用了模量模块与损伤模块的分离架构，并加入了热力学单调性约束，以此确保物理一致性并加快收敛速度。在验证与实现层面，该框架将解耦的体积-偏应力表述方式整合到了变分能量最小化求解器中。特别是在几乎不可压缩的极限条件下，这种方法不仅能避免体积锁定现象，还能通过允许使用比传统显式积分方案更大的时间步长，从而提升数值计算效率。本文的其余部分将介绍该理论方法、涉及高斯随机路径生成的数值实现方法，以及从材料点试验到基准孔板模拟的一系列验证结果。基本方程与符号说明本节简要介绍了大变形连续介质力学中的核心运动学参数。配置梯度F的定义为F =?x?X，其中x表示当前配置下粒子的位置，X则表示同一粒子在初始配置下的位置。拉格朗日（有限）应变张量E的定义为E =12(FTF?I)，其中I为单位张量，且E为对称矩阵。拉格朗日应变与位移之间的关系为数值实现本节详细阐述了所提出的基于神经网络的框架在模拟非线性热粘弹性行为以及由损伤引起的软化效应方面的数值实现方法。在神经网络训练策略方面，计算力学中常用的方法大致可分为两类：监督学习与无监督学习。无监督学习方法完全基于物理原理或能量泛函来构建损失函数，无需明确的应力或能量标签，类似地……结果与讨论本节全面评估了所提出的力学驱动循环神经网络的表现，重点考察其捕捉高度非线性粘弹性行为与损伤演化能力。验证工作按照从材料点尺度到结构尺度的顺序展开：•材料点尺度：在不同的加载速率与温度条件下，对材料在单调单轴拉伸以及卸载-再加载循环过程中的本构响应进行了评估。MI-RNN模型的预测结果为……结论在本研究中，我们开发了一种混合力学驱动循环神经网络框架，旨在捕捉固体推进剂的高非线性热粘弹性行为、损伤演化以及有限变形响应。通过将监督式的本构替代模型与无监督的变分能量最小化求解器相结合，该框架将严格的物理定律融入到了深度学习之中。本研究的主要结论与贡献如下：•CRediT作者贡献声明王金成：撰写——初稿、软件、方法论、概念构思。刘振：撰写——审阅与编辑、可视化。沈志斌：监督、资源提供、数据整理。邓光伟：撰写——审阅与编辑、数据整理。龙飞：可视化、软件。张学阳：撰写——审阅与编辑、软件。李先芳：撰写——审阅与编辑、监督、研究调查、资金获取。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。致谢本研究得到了国家自然科学基金（项目编号12372086）的资助。刘振还获得了中德（CSC-DAAD）博士后奖学金计划（项目编号202406010516）的资助。王金成感谢中南大学中央高校基本科研业务费的支持（项目编号2026ZZTS0311）。此外，本研究还得到了中南大学高性能计算中心的部分支持。我们对此表示感谢。