一种结合递归本征函数展开（Recursive Eigenfunction Expansion）的对比源反演（CSI）方法，用于任意形状多层圆柱体内嵌目标的高效微波成像

《Sensors》：A CSI Approach Incorporating Recursive Eigenfunction Expansion for Efficient Microwave Imaging of Objects Embedded in Arbitrarily Shaped Multilayer Cylinders

　　

将已知分层结构纳入背景模型能够提高嵌入多层圆柱结构中目标的重建精度，并降低逆问题的复杂度。本研究提出了一种面向具有任意形状层边界的多层圆柱结构中嵌入介质物体的高效成像方法。该方法将对比源反演（contrast source inversion, CSI）与适用于非圆形几何结构的递归本征函数展开（recursive eigenfunction expansion）技术相结合。已知分层介质被视为背景媒介，反演过程被限制于嵌入散射体。通过递归公式，研究人员可在半解析、无需离散化的方式下计算非均匀背景格林函数（Green’s function）及反演中所需的格林函数单元积分。数值结果表明，在不同宿主结构配置下，包括含有完美电导体（perfect electric conductor, PEC）芯的情况，该方法均能获得令人满意的嵌入目标重建结果。与矩量法（method of moments, MoM）参考解的对比验证了正演建模的准确性与反演结果的可靠性，同时表明其计算成本显著降低。

1. 研究背景与研究动机

微波成像通过电磁波与介质的相互作用恢复不可触及目标的位置、形状及本构参数，在生物医学诊断、地下探测与探地雷达、穿墙成像以及工业圆柱构件无损检测等领域具有广泛应用。当目标嵌入已知非均匀宿主（如分层地面、多层墙体、圆柱管道或分层生物组织）时，充分利用该先验信息可改善反演的精度、稳定性与收敛性。现有研究多集中在平面分层或半空间背景，对圆柱分层结构的处理也多限于圆形或椭圆形分层界面；当层界面为任意形状时，常规做法往往只能将已知多层剖面作为初始猜测，并在反演中同时重建宿主与目标，或者依赖有限元法（finite element method, FEM）或矩量法（method of moments, MoM）对整个宿主进行离散化以计算非均匀背景格林函数（Green’s function）。前者容易损失先验信息，后者则计算成本高昂。因此，发展一种将已知多层圆柱宿主直接嵌入背景模型、且无需对整个宿主离散化的高效反演方法具有重要意义。

2. 研究内容、核心结论与意义

针对二维（two-dimensional, 2D）多层圆柱结构任意形状层边界内的介质目标，研究人员提出了一种将对比源反演（contrast source inversion, CSI）与递归非圆表面本征函数展开（eigenfunction expansion for noncircular surfaces, EE-NCS）相结合的高效成像框架。该方法将已知多层圆柱宿主作为背景媒介，仅对嵌入散射体进行反演，并通过半解析递归方式计算背景场及非均匀背景格林函数。数值实验表明，在多种宿主配置下，包括含有完美电导体（perfect electric conductor, PEC）芯的情形，该方法均能有效恢复嵌入目标的位置、形状及电磁参数；与MoM参考解的对比确认了其正演精度与反演可靠性，同时显著降低了计算开销。该论文发表于《Sensors》。

3. 主要关键技术方法

该方法以CSI迭代反演为核心：首先，利用递归EE-NCS在半解析、无需离散化多层宿主的前提下计算背景场与背景格林函数，并新推导递归公式获得格林函数在离散单元上的积分；随后，CSI交替更新对比源与对比度函数，以最小化目标域内“对象方程”和数据域内“数据方程”的残差。正演与反演算法在MATLAB R2025b中实现，MoM结果作为参考。

4. 研究结果

算例一：三层圆柱中的三个圆形目标

研究人员首先在三层圆柱中嵌入三个不同介电常数与电导率的圆形目标。为验证递归EE-NCS计算格林函数与单元积分的精度，将沿穿透各层直线上的格林函数值及其单元积分与MoM结果对比，两者吻合良好。采用全区域反演时，三个目标的位置、大小及相对介电常数 ε_r、电导率 σ 的定量值均被较好地恢复。与之相比，若使用以自由空间为背景的常规CSI并将已知多层剖面作为初始猜测，目标定量值会被严重低估，误差明显增大。此外，若将背景场和格林函数改用MoM计算，成像结果与所提方法几乎相同，但背景场与格林函数的计算时间显著高于递归EE-NCS。

算例二：三层圆柱中的弧形薄目标

在同一三层圆柱中嵌入弧形薄目标。全区域反演能够较好地定位目标并恢复其几何形状，但 ε_r 定量值存在低估，核心层出现轻微伪影。将反演区域限制在中间层后，定量精度提高，伪影显著减少。若将核心替换为PEC，仍可恢复目标位置与整体形状，但重建精度下降，这主要归因于理想导电边界引起的强多次散射与剧烈场变化。

算例三：四层复杂边界圆柱中的两个椭圆形目标

研究人员在3–5 GHz范围内改变工作频率，以考察电尺寸对计算时间的影响。随着频率升高，网格数量与结构电尺寸均增加，递归EE-NCS在背景场与格林函数计算上的优势更加明显。在5 GHz这一最高频率下，目标位置与 ε_r 仍能被较满意地重建，但电导率 σ 重建呈环状分布且定量精度较低；这种现象在CSI类反演中亦属常见。

算例四：空心核心三层圆柱中的负对比度目标（无正性约束）

研究人员将介电常数低于宿主层的弧形目标嵌入具有空心（自由空间）核心的三层圆柱中，此时对比度实部为负。在不施加正性约束的情况下，目标的位置与形状仍被较好地重建，ε_r 仅轻度高估。去除正性约束使反演自由度增加，因而对噪声与模型误差更敏感，但在该算例中仍能获得满意结果。

算例五：存在背景非均匀性失配的情况

真实背景在一、二层介电常数与电导率上叠加了随机空间扰动，而反演仍采用均匀参考层模型。尽管重建形状出现一定畸变，目标位置与电磁参数仍被较准确地恢复。这表明该方法在真实与假设背景存在适度失配时仍具有一定的鲁棒性。

5. 讨论与结论

讨论：方法的局限性

研究人员指出，当前结果均基于MoM生成的合成数据，尚未经实验测量验证；真实数据可能引入模型失配、噪声、校准误差及宿主几何不确定性。方法假设宿主层数、层边界形状以及电磁参数已知且准确，这对工业圆柱构件、管道等受控场景是合理的，但若背景部分未知或存在较大误差，则这些误差会作为未建模对比度影响目标重建。此外，EE-NCS截断项数需随多层结构电尺寸增加而增大，过高阶圆柱函数在双精度计算中可能降低数值稳健性，从而限制该方法对电大尺寸或高度不规则结构的适用范围。

结论

本研究开发了一种结合递归EE-NCS的CSI方法，用于具有任意形状层边界的多层圆柱结构内嵌目标的高效微波成像。该方法的关键在于将已知多层结构直接纳入背景模型，而非同时重建整个构型，从而有效利用先验信息、提高重建精度，并允许将反演区域限制在目标所在区域。虽然相比自由空间CSI需要额外计算背景场与非均匀背景格林函数，但递归EE-NCS显著降低了这一开销。与MoM参考解的对比验证了正演建模的准确性与反演的可靠性。数值结果表明，在多种配置（包括PEC芯）下，该方法均能有效重建目标的位置、形状与电参数，并在电尺寸增大时表现出更明显的计算优势；但当结构电尺寸过大时，精度可能逐步下降。未来工作将侧重于实验测量验证以及向三维构型的扩展。