一类二阶指标1描述子系统（second-order index-1 descriptor systems）近似化的结构保持扩展平衡截断技术

《Franklin Open》：Structure-preserving extended balanced truncation techniques for approximation of a class of second-order index-1 descriptor systems

　　

本研究提出基于扩展平衡截断（Balanced Truncation, BT）的技术，以有效近似二阶指标1描述子系统，同时保持其基本结构，从而提高近似精度并减少计算时间。在所提出的扩展方法中，引入优势的双低秩Cholesky因子交替方向隐式（dual Low-Rank Cholesky-Factor Alternative Direction Implicit, LRCF-ADI）技术以减少计算时间，并将其重构为二阶指标1形式。研究人员引入了一种基于奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）的新移位参数选择过程，通过构建具有可行维度的适当降阶模型（Reduced-Order Model, ROM）来提高目标模型的近似精度。获取投影矩阵的常规截断SVD方法保持不变，从而实现期望的ROM。该项工作最重要的方面是，研究人员无需利用所谓的二阶指标1形式的一阶表示。研究人员采用源自自适应主轴支撑系统的实用模型作为实验模型，通过MATLAB数值计算评估所提出技术的有效性和效率。该项工作主要关注近似精度、ROM稳定性和计算时间优化。研究人员将所提出的技术与当代方法进行比较，使用必要的图表来验证其成就。

描述子系统（descriptor systems）是一类先进的数学模型，用于表示同时包含微分方程和代数方程的物理过程，在约束机械系统建模等领域有重要应用。二阶指标1描述子系统（second-order index-1 descriptor systems）是这类系统的特殊子类，显式包含二阶导数项，能够自然地将状态变量表示为加速度、速度或动量形式，在多体动力学、机电系统、结构振动分析等领域具有广泛应用。然而，这类系统通常规模庞大，包含代数约束，给数值仿真和分析带来巨大挑战。模型降阶（Model-Order Reduction, MOR）技术成为应对这一复杂性的关键工具，其核心目标是构造既能精确近似原始模型又具有紧凑形式的降阶模型。

当前MOR技术多样，各有优劣。平衡截断（Balanced Truncation, BT）方法依赖LRCF-ADI技术，但传统方法需要两次运行LRCF-ADI循环分别计算可控性格兰矩阵（controllability Gramian）和可观性格兰矩阵（observability Gramian），导致计算量大、移位参数估计不统一。迭代有理Krylov算法（Iterative Rational Krylov Algorithm, IRKA）无法保证降阶模型稳定性且无误差界。迭代SVD-Krylov算法（Iterative SVD-Krylov Algorithm, ISKA）虽结合了BT和IRKA的优点，但对大规模描述子系统可能无法保证稀疏性保持。有理Krylov子空间方法（Rational Krylov Subspace Method, RKSM）对参数选择敏感且可能数值不稳定。针对这些问题，研究人员开展了基于双LRCF-ADI技术的计算高效框架研究，用于大规模稀疏二阶指标1描述子系统的 model-order reduction。

该研究的核心贡献包括四个方面：（i）在双LRCF-ADI技术的所有计算阶段保持二阶结构；（ii）在迭代线性系统求解过程中保持系统稀疏模式；（iii）开发基于SVD的移位选择策略以提高近似精度；（iv）在保证结构不变性的同时优化计算效率。该工作发表于《Franklin Open》。

研究采用自适应主轴支撑模型（Adaptive Spindle Support Model, ASSM）作为实验模型，该模型通过有限元离散化从压电致动器自适应主轴导出。研究团队使用MATLAB R2021a在配备AMD Ryzen-7 6800HS CPU（主频3.20 GHz）和40 GB内存的Windows机器上进行数值计算。

研究中用到的主要关键技术方法包括：双LRCF-ADI技术、基于SVD的自迭代移位参数选择、结构保持投影矩阵构造，以及位置-位置（Position-Position）投影模式。具体而言，研究人员在结构保持形式下重新推导了双LRCF-ADI算法的各个步骤，包括可控性/可观性因子的迭代计算、残差因子更新等；引入基于SVD的自迭代移位参数选择过程，通过内嵌平衡截断获取临时降阶模型、提取特征值并通过Min-Max优化问题转化为移位参数；构造了四种投影矩阵模式（速度-速度、速度-位置、位置-速度、位置-位置），并采用表现最优的位置-位置模式进行数值验证。

研究结果部分，研究人员从以下几个方面展开：

在"目标模型描述"部分，研究人员详细介绍了ASSM的结构参数：总维度n=2901，n₁=3728（此处原文可能有误，实际应为n₁2=699，输入数m=7，输出数p=4，直接馈通矩阵行数n₃=994。

在"传递函数的对比分析"部分，研究人员通过图形比较验证了所提技术的近似精度。为简化表述，将经典LRCF-ADI（C-ADI）基于的BT、双LRCF-ADI（D-ADI）基于的BT和扩展双LRCF-ADI（Ex-D-ADI）基于的BT分别简记为C-BT、D-BT和Ex-D-BT。通过50、100、150和200次迭代获得的50维降阶模型的Sigma图（传递函数）及其绝对误差和相对误差比较表明，在所有迭代次数下，所提出的扩展平衡截断技术均优于经典平衡截断技术；通过新的移位选择过程扩展双LRCF-ADI显著提高了近似过程的精度。

在"降阶模型稳定性保持的验证"部分，研究人员通过降阶模型的特征值分布证明了稳定性保持能力。图5展示了通过双LRCF-ADI和扩展双LRCF-ADI技术获得的50维降阶模型的特征值，所有特征值均位于负复半平面，表明降阶模型保持了稳定性。为进一步验证，研究人员还考察了部分输入-输出关系的阶跃响应。图6展示了100次和150次迭代获得的50维降阶模型的阶跃响应，所有阶跃响应均在1秒内达到固定幅值，进一步证实了降阶模型的稳定性保持能力。

在"计算时间对比分析"部分，研究人员比较了Gramian因子的计算时间。由于经典BT技术及其扩展在迭代计算部分耗时相同，仅比较Gramian因子的计算时间。表格数据显示，双LRCF-ADI和扩展双LRCF-ADI技术的计算时间相近，但两者均显著优于经典LRCF-ADI技术。以200次迭代为例，C-ADI耗时1.46×10⁴秒，而D-ADI和Ex-D-ADI分别耗时1.43×10⁴秒和1.44×10⁴秒。

结论部分，研究人员指出：所提出的基于双LRCF-ADI技术的扩展平衡截断技术，能够在不破坏二阶指标1系统原始结构的前提下有效近似该类系统。降阶模型的二阶结构以稀疏保持形式得到保证。基于SVD的自迭代移位参数选择过程提高了近似精度。数值实验通过自适应主轴支撑模型验证，所提技术在近似精度和计算时间方面均优于经典平衡截断技术，同时保持了降阶模型的稳定性。未来工作将应用于更多实际工程模型，并考虑将频率受限模型降阶融入双LRCF-ADI-based BT技术中。