《Proceedings of the Design Society》：Utilizing form-finding in mechanical engineering design using basic structural FEA
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本研究提出了对经典形态寻优（form-finding）方法的一种扩展，将非设计空间（non-design space）需求直接纳入该过程。这使得薄壁结构构件的数值化重量优化成为可能。研究人员给出了一种具体实现方案，该方案完全依赖标准结构有限元分析（finite
本研究提出了对经典形态寻优（form-finding）方法的一种扩展，将非设计空间（non-design space）需求直接纳入该过程。这使得薄壁结构构件的数值化重量优化成为可能。研究人员给出了一种具体实现方案，该方案完全依赖标准结构有限元分析（finite element analysis, FEA），从而有利于集成到现有工程工作流程之中。该方法通过具有已知最优解的基准问题进行了验证。最后，又通过一个更具现实性的工程案例研究展示了其实际应用价值。
本文发表于《Proceedings of the Design Society》。该研究面向机械工程中的轻量化设计问题，重点关注以薄壁闭合曲面为主的壳体、盖板和罩壳类构件。传统建筑与结构工程中的形态寻优，通常服务于膜、索、桁架及板壳结构，目标是在设计载荷下寻找处于静力平衡且具有“最优”特征的几何形态，常见策略是追求均匀应力分布并尽量避免弯曲应力。然而，机械工程中的常用塑料与合金材料在受弯时往往比建筑领域中的混凝土、索等材料更具鲁棒性，且相关构件细长比通常更低。因此，直接照搬经典形态寻优思路并不完全适合机械设计场景。
研究人员指出，对于许多薄壁闭合曲面构件，其壁厚往往主要由制造工艺决定，如铸造或注塑中的最小壁厚要求，而非由载荷主导。这意味着无论设计如何，材料在很多区域都可能处于机械性能未充分利用的状态。在这种条件下，只要功能允许，在尽可能大的范围内采用最小曲面（minimal surface）就成为一种高效的轻量化策略。与此同时，机械零部件通常还必须包覆内部功能部件、满足装配空间和设计包络限制，因此真实可行的结构形态不能完全自由生成。正是针对这一关键矛盾，本文提出将非设计空间约束直接引入形态寻优流程，以弥补既有相关研究更多依赖间接约束和拓扑控制、而较少直接显式纳入设计空间限制的不足。此外，机械壳体中常包含法兰等“线性”特征，这类结构虽然不是面状薄壁，但会对总质量产生显著贡献，因此也应纳入优化模型统一考虑。基于这些问题，开展本研究具有明确的工程必要性。
研究人员构建了一种基于标准结构有限元分析（finite element analysis, FEA）的迭代形态寻优流程，其理论核心可视为刚度矩阵法（stiffness matrix method）在机械工程轻量化语境下的实现。方法中，将二维壳/膜单元与一维杆/梁类单元分别施加均匀预应变（pre-strain），并在边界条件和接触约束下求解其静力平衡构型。通过反复执行“施加预应变—求解位移—更新几何—再施加预应变”的迭代过程，系统趋向于满足平衡且总弹性势能最小的状态。在适当选取材料参数与应变加载参数的前提下，该总能量最小化过程等价于总体积最小化，因此可以实现面向减重目标的形态优化。更重要的是，研究人员将非设计空间表示为接触体，并通过无摩擦接触（frictionless contact）直接限制优化表面进入禁入区域，从而把空间约束自然整合进标准 FEA 工作流。研究表明，该方法不仅能处理最小曲面问题，也能将法兰等线性特征以杆/桁架单元的形式计入重量目标中。
主要技术方法可概括如下：其一，基于标准结构 FEA 建立壳单元与杆/桁架单元耦合模型，并通过温度场等效施加预应变载荷；其二，采用 Python 对迭代求解流程自动化，实现几何更新与多轮平衡计算；其三，利用接触建模将非设计空间表示为刚性接触体，采用面-面接触约束优化曲面；其四，通过解析可得的悬链面（catenoid）基准问题验证算法精度，并在差速器齿轮壳体设计案例中进行工程演示。工程案例的数据来源为差速齿轮核心功能部件及其装配路径所导出的非设计空间几何。
在结果部分，论文首先保留并分析了“2.3. Application on problems with known analytical solutions: catenoids”。研究人员选择具有解析表达的悬链面作为基准，因为悬链面是典型最小曲面，适于验证形态寻优是否能够收敛到理论最优解。在“2.3.1. Basic analytical problem”中，研究人员设定两圆边界，通过数值方式求得稳定解与不稳定解，并将解析结果作为后续误差评估基准。三维数值试验表明，所提 FEA 迭代过程能够较好逼近稳定悬链面解，说明该方法在最基本最小曲面问题上是成立的。
在“2.3.2. Design space restriction”中，研究人员引入环面（torus）作为非设计空间，以模拟内部部件或装配包络对壳体形态的限制。结果表明，通过接触约束后，优化曲面能够在满足边界条件的同时绕避禁入空间，并形成分段解析上仅为
c1 连续的最优解。这一结果直接证明了该方法能够把设计空间限制显式纳入形态寻优，而非仅依赖间接拓扑设置，是全文方法学上的关键进展之一。
在“2.3.3. ‘Linear’ features contributing to weight”中，研究人员进一步向模型中加入截面积为 20 的环状线性结构，用以模拟法兰或加强圈等线性特征的质量贡献。数值结果显示，加入该环后，壳体几何会出现更明显的径向收缩和局部极小半径，说明线性构件的重量和力学等效作用确实会改变整体最优形态。这一结果表明，壳面与线性特征的联合优化是必要且可行的。
在“2.3.4. Numerical solution in 3D space”中，研究人员给出了基于锥形初始网格、四边形膜/壳单元的三维迭代求解。结果显示，三类问题——基本悬链面、受非设计空间约束问题以及加入环形线性特征的问题——均可得到不同精度水平的近似解，证明方法在统一数值框架下具有较广适用性。
在“2.3.5. Choice of Poisson number”中，研究人员系统考察了泊松比（Poisson number）ν 对收敛性的影响。结果显示，更大的 ν 值在所有考察情形中都带来了更快收敛，并且往往对应更小的最终误差。这与模型在轴向拉伸同时径向收缩的形变特点相一致，表明泊松比选取是影响算法效率和精度的重要数值参数。
在“2.3.6. Element type considerations”中，研究人员比较了膜单元、壳单元、一阶单元和二阶单元以及 h 加密与 p 加密策略。结论是：膜单元与壳单元在部分情形下表现相近，但膜单元更易出现褶皱和稳定性问题，因此更推荐使用具有小弯曲刚度的壳单元；相较于 h 加密，p 加密即采用二阶单元带来的精度和收敛改善更为显著。尤其当模型包含杆/桁架特征或需要对力进行物理解读时，一阶单元会系统性低估双曲壳在双向预应力下产生的力，从而导致颈缩程度估计偏差，而二阶单元则能显著改善这一问题。这一发现对于工程应用中的建模策略选择具有直接指导意义。
在“2.3.7. Contact (i.e. non-design space) model”中，研究人员详细评估了接触模型的表现。结果表明，面-面接触优于基于节点的接触，误差约可降低一半；同时，细化接触网格可将误差进一步降低近一个数量级。值得注意的是，引入接触后模型收敛速度反而提升，多数情形在 16 次迭代后即可视为收敛。研究人员将其解释为接触约束有效地将原问题分解为若干更小的子问题。这说明非设计空间约束并非只是额外负担，合理建模后还可能改善数值求解表现。
在“2.8.3. On the interpretation of forces”中，研究人员讨论了模型中反力的工程解释。虽然这些力值本身不直接对应真实服役载荷，但可与等效杆件截面积联系起来，并可进一步解释为最小化体积对边界平移的灵敏度。对于基本悬链面问题，二阶模型求得的轴向反力与解析模型高度一致，相对误差达到
10-6 数量级，而一阶模型则低估约 15.0%。这一结果再次强化了在涉及 Neumann 型边界或反力解释时必须优先采用二阶单元的结论。
在“3. Towards solving realistic engineering problems: differential gear housing”中，研究人员将方法推广至更接近实际的差速器齿轮壳体设计。于“3.1. Problem definition”中，给定差速齿轮的核心功能部件、轴承、轴系和装配路径，研究目标是形成一个满足装配与包络限制的壳体及盖板设计，要求壁厚为 3，并与内部部件及其装配路径保持至少 5 mm 间隙，盖板通过给定截面的法兰与壳体连接。“3.2. Design space considerations”进一步将这些间隙要求转化为两个非设计空间体，分别对应壳体和盖板侧的禁入区域。“3.3. The initial design”中，研究人员采用 Autodesk Fusion 手工快速构建初始曲面设计，仅由少量基本拉伸与旋转特征组成，并使用 Abaqus CAE 进行网格划分：非设计空间采用 R3D4 刚体四边形网格，优化对象采用三角形网格，总单元数达 82 637，同时以 T3D2 桁架单元表示法兰。“3.4. Optimization runs”中，进行了两组各 256 次迭代的优化：一组固定法兰位置，另一组允许法兰平面沿特定方向移动。结果表明，两组方案均获得体积降低，而允许法兰位置自由调整时可进一步减重，体现了该方法能够为设计者提供非直观的全局改进方向。优化后的曲面除接触区与法兰边界外，基本呈局部平均曲率接近 0 的最小曲面特征。“3.5. Reconstruction and CAD design”则展示了如何将优化网格重建为实际 CAD 几何，说明该流程并非停留于数值层面，而具备向工程设计输出实体模型的可操作性。
讨论部分强调，本文方法以节省重量为目标，将非设计空间通过接触模型并入机械设计语境下的形态寻优，且全过程可依托常见工程软件——Python、Autodesk Fusion 和 Abaqus FEA——实现，因此具备较强的流程兼容性和推广潜力。研究结果表明，该方法的精度已足以支持工程应用，尤其适用于壳体、罩壳、盖板及类似以最小壁厚受制造约束、而非以极限强度控制设计的薄壁结构。与此同时，作者也明确指出了局限性：本文尚未纳入脱模等制造约束；网格到 CAD 的重建仍是限制推广的重要因素；与专用形态寻优算法相比，计算成本较高，单次优化需数小时而非数秒；初始设计仍依赖人工构建，未来可考虑与机器学习（machine learning）方法结合以从约束自动生成初始形态；此外，局部零平均曲率壳结构是否普遍有利于刚度、强度或固有频率等性能，还需进一步研究。
研究结论可译为：本研究提出了一种面向机械设计工程场景、以减重为核心目标的形态寻优工作流。该方法通过接触模型将非设计空间并入已有形态寻优方法之中，并且整个流程仅依赖易于获得的常规工具。研究利用具有解析解的基准问题验证了结果，并通过一个接近真实工程的问题展示了方法的实用性。总体而言，该方法为以壳状结构为主的轻量化工程设计提供了一种可集成于现有 CAD 与 FEA 工作流中的新路径。
