一种基于空间径向基函数（RBF）嵌入与时间初值条件嵌入的增强型物理信息神经网络（PINN）用于Allen–Cahn方程

《Mathematics》：An Enhanced Physics-Informed Neural Network with Spatial RBF Embedding and Temporal Initial Condition Embedding for the Allen–Cahn Equation

　　

本研究建立了定义在一般Banach空间及Rⁿ中外区域上实值函数恒为常数的新的判定准则。主要分析工具为Ekeland变分原理（Ekeland's Variational Principle）的一个补充结果，而基于凸分析（Convex Analysis）的若干辅助引理在将论证推广至外区域的非凸框架中起到了关键作用。所得结果在一般Banach空间及欧氏空间（Euclidean Setting）中，在适当的无穷远增长假设下建立了常数性判定准则。分析的一个关键方面在于区分全空间与外区域框架，表明在后一情形中需要更强的渐近假设。为说明一般框架的适用性，研究人员给出了一个关于满足导数适当对称性假设的可微函数的应用。

本研究围绕函数恒为常数的判定条件展开，属于数学分析中Liouville型定理的推广与拓展。Liouville定理是数学中最著名的常数性结果之一，该定理指出Rⁿ中任何有下界（或有上界）的调和函数必为常数。这一源于复分析与偏微分方程的刚性原理在势论和连续介质力学中有大量应用，并已激发偏微分方程、微分几何和几何分析等领域的深刻推广。近几十年来，众多Liouville型定理被发展出来，将常数函数的 Mare22 刻画推广到更广泛的微分方程解类。

然而，现有Liouville型定理的一个典型特征是其通常针对全空间上的函数建立。众所周知，定义在外区域上且有下界的调和函数未必是常数。例如，取E为Rⁿ中的欧几里得范数，当n≥2时，函数f(x)=?|x|^2?n限制在Rⁿ中某紧凸集K的补集上，即为有下界的非恒定调和函数。这一事实表明，外区域的几何特性允许存在在全空间情形下将被强制为常数的非恒定函数，从而促使研究人员发展适用于外区域框架的新工具与新方法。

研究人员开展此项研究的动机在于：现有文献中的抽象常数性准则主要集中于全空间情形，而关于外区域上函数常数性的系统研究相对匮乏。外区域在非线性椭圆问题、偏微分方程解的渐近性质以及无界介质中问题的数值方法等当代研究领域中具有重要地位。因此，建立适用于一般Banach空间及欧氏空间外区域的统一常数性判定框架，对于拓展Liouville型结果的应用范围、深化对无界区域上函数性质的理解具有重要意义。本论文发表于《Mathematics》期刊。

本研究的主要关键技术方法包括：基于Ekeland变分原理补充结果的分析工具；专为高维情形设计的归纳论证程序，用于建立处理外区域的几何引理；凸分析与拟凸分析（Quasi-Convex Analysis）方法；以及对Gram矩阵（Gramian Matrix）和Hessian矩阵（Hessian Matrix）正半定性分析的技术。

研究取得以下主要结果：

**一般Banach空间中的常数性准则**：研究人员首先建立了定理3，在一般Banach空间框架下给出函数常数性的两类充分条件。一是当梯度范数的下确界为零时，若函数下有界、下半连续且Gateaux可微，同时梯度范数函数拟凸且下半连续，则函数为常数。二是若存在严格单调函数g使得g(‖?f‖)为凸函数，且满足积分条件lim_t→+∞∫₀^t[g^?1(s)]^?1ds=+∞时，函数f为常数。该结果的证明直接依赖于命题2，而后者基于Ekeland变分原理的定理2导出。

**欧氏空间全空间中的Eikonal方程情形**：定理4考虑了Rⁿ中可微且下有界的函数f满足‖?f‖≥c（c>0为常数）的情形。假设梯度范数拟凸且下半连续，且存在严格单调函数g使得g(‖?f‖)凸，则f为常数。证明中利用了定理3得到梯度范数恒等于某常数，进而引用经典结果说明充分正则的Eikonal方程全局解为仿射函数，再结合下有界性强制其为常数。研究人员同时指出，此结果不能推广至外区域情形，并以f(x)=?|x|^2?n为例说明外区域需要更强的增长假设。

**外区域中的常数性准则**：定理5是核心结果之一，针对Rⁿ中外区域Rⁿ\K（K为紧凸集）上的可微函数建立。在梯度范数函数于任意开凸集上限制拟凸且下半连续的假设下，证明了与定理3平行的两类常数性条件。证明的关键在于命题5，而后者依赖于几何引理建立的命题3和命题4。命题3指出：若子集A满足A的凸包为全空间，且对任意凸集C，A∩C凸，则A必为全空间。这一几何结论通过引理1（n=2情形）和引理2（一般n≥2情形的归纳证明）建立，是处理外区域非凸性的核心工具。

**具有对称性导数函数的应用**：定理6给出了具有三阶偏导数、满足特定对称性条件的函数的具体应用。引理3证明了在三种对称性假设下函数F=‖?f‖²的Hessian矩阵正半定：假设(i)要求混合偏导数在指标取最大或最小时为零，且特定三阶偏导组合非负；假设(ii)要求所有三阶偏导数等于同一函数u≥0；假设(iii)为(ii)的退化情形。基于此，定理6证明了满足这些条件且下有界的函数，在相应增长条件下必为常数。例2进一步说明了这些对称性条件的具体函数形式，包括特定变量分离结构和仿射依赖情形。

在讨论部分，研究人员强调了以下几个要点：首先，本研究的结果并非严格意义上的Liouville型定理，而是更广义的抽象常数性准则，因其并不预设函数满足特定微分方程，但可应用于已知满足所需假设的方程解。其次，外区域情形与全空间情形的本质区别得到了充分阐释——外区域允许更多非恒定函数存在，故需更强的渐近假设，这一差异由凸性引理（引理1和引理2）加以处理，而非直接推广文献中的二维论证。第三，假设(i)-(iii)的作用在于提供Hessian矩阵正半定的具体充分条件，而非穷举所有可能情形。最后，研究人员通过具体反例说明了增长假设的必要性：如函数f(x)=x₁²+x₂²或更一般的二次型函数，虽有下界且满足二阶条件，但若增长假设不成立，则函数不必为常数。

研究结论：本研究通过Ekeland变分原理的补充结果及相关凸分析工具，建立了一般Banach空间和欧氏空间外区域中函数常数性的新判定准则。所发展的几何归纳论证使得结果适用于任意维数情形，而具体对称性条件的引入则展示了抽象框架在可微函数类中的实际应用。这些结果为超越经典偏微分方程框架的Liouville型结果提供了可能的途径。