用于弹性与断裂分析的变分型Kolosov–Muskhelishvili神经网络

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：A Variational Kolosov–Muskhelishvili network for elasticity and fracture

　　

物理信息神经网络（PINN）为求解受偏微分方程（PDE）支配的固体力学问题提供了一种无网格（mesh-free）框架。然而，现有大多数线弹性表述仍直接学习位移场，这种方式未能显式利用二维弹性解析结构，并且在断裂问题中会受到限制，因为裂纹面不连续性与裂尖奇异性难以准确表示。此外，现有Kolosov–Muskhelishvili信息神经网络表述仍主要依赖基于残差的损失函数，并包含多个边界项与界面项，而变分概念尚未建立。为解决这些问题，本文提出了一种适用于含裂纹与无裂纹二维线弹性问题的变分型Kolosov–Muskhelishvili信息神经网络框架。该解由两个全纯（holomorphic）Kolosov–Muskhelishvili复势表示，并通过基于最小总势能原理导出的能量型损失函数进行训练。对于裂纹问题，进一步采用不连续应力势表示，将裂纹面条件与裂尖奇异性直接嵌入解的试探形式（ansatz）之中。通过一系列含裂纹与无裂纹基准问题对所提出框架进行了验证。结果表明，该变分型Kolosov–Muskhelishvili信息神经网络能够准确预测应力场、位移场以及应力强度因子（SIFs）。与传统神经网络模型相比，该框架在所考虑算例中具有更高精度以及更统一的损失构造。总体而言，所提出的变分型Kolosov–Muskhelishvili信息神经网络为二维线弹性断裂分析提供了一种有效且物理一致的变分框架。

本文发表于《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》，围绕二维线弹性与断裂问题中的物理信息神经网络建模展开。研究背景在于：传统有限元法（FEM）、虚单元法（VEM）与边界元法（BEM）等网格型数值方法虽然在固体力学中应用成熟，但其计算性能高度依赖离散质量。面对应力集中、几何不连续、裂尖奇异场以及裂纹扩展等问题时，往往需要局部网格加密、重复重构网格与重复求解，导致计算成本和实现复杂度明显增加。近年来，机器学习（ML）特别是物理信息神经网络（PINN）为偏微分方程（PDE）求解提供了无网格新路径，但在线弹性领域，多数方法仍直接以位移为网络输出，再通过本构与运动学关系恢复应力应变，这种表示并未利用二维弹性问题本身的解析结构，在处理裂纹面位移间断、自由裂纹面条件和裂尖奇异性时尤其受限。

在此背景下，研究人员将二维各向同性线弹性中的Kolosov–Muskhelishvili（KM）复势理论与变分法相结合，提出了变分型Kolosov–Muskhelishvili信息神经网络（vKMINN）。KM理论可用两个全纯复势函数精确表示平面应力/应变状态下的应力场与位移场，因此平衡方程与相容条件可通过解析结构“按构造满足”，而不必再显式引入偏微分方程残差项。已有相关方法如PIHNN与KMINN虽然已能直接学习KM复势，但仍主要依赖多项边界/界面残差损失，尚未充分利用线弹性“真实解等价于总势能极小化解”的变分本质。本文工作的核心意义即在于：首次在KM信息神经网络框架下，以最小总势能原理构造统一能量型目标函数，并在裂纹问题中通过不连续应力势显式嵌入裂纹面条件与裂尖奇异性，从而建立一种更统一、更符合物理结构的二维线弹性断裂分析神经网络方法。

研究人员首先系统给出了二维线弹性控制方程、Hooke定律、小应变运动学以及KM复变量表示。通过引入复坐标z=x+iy及两个全纯势φ(z)与ψ(z)，应力分量σ_xx、σ_yy、σ_xy与位移分量u_x、u_y均可由复势直接重构。进而，基于最小总势能原理，将问题转化为总势能泛函Π的极小化，其中内部应变能以应力形式表示，外载功通过Neumann边界上的位移-力乘积积分表示，而Dirichlet边界条件则通过罚项施加。对于裂纹问题，研究人员进一步采用基于几何特征函数ζ(z)的不连续势表示，将裂纹面上的Riemann–Hilbert条件以及r^1/2型裂尖奇异行为直接编码进解的表达式中，避免再为裂纹自由面单独设置损失项。

方法上，研究人员采用复值神经网络（CVNN）近似两个KM复势或裂纹情形下的两个正则全纯函数F₁(z)、F₂(z)。网络使用指数激活函数以保证全纯性，并通过复值版初始化与层间方差缩放抑制指数激活带来的梯度爆炸风险。训练过程不再最小化平衡残差，而是最小化Monte Carlo数值积分离散后的总势能泛函。域内积分通过随机或准均匀采样点计算，边界积分则在解析曲线上按弧长均匀采样实现；裂尖附近为避免奇异能量密度影响，剔除极小核心区并进行局部加密采样。对于裂纹驱动力评价，研究人员采用相互作用积分（interaction integral）方法提取I型与II型应力强度因子（SIFs），并以单位辅助场将积分结果直接转换为K_I与K_II。

主要关键技术方法可概括为以下几类：其一，采用KM复势理论建立二维线弹性的解析表示；其二，构建全纯复值神经网络（CVNN）并用指数激活函数保证网络输出满足Cauchy–Riemann条件；其三，基于最小总势能原理建立能量型损失函数，并通过Monte Carlo积分实现无网格离散；其四，针对裂纹问题引入不连续应力势表示，将裂纹面自由边界条件与裂尖奇异性直接嵌入试探解；其五，利用相互作用积分法评估应力强度因子。本文方法验证主要基于解析解与有限元（FEM）基准算例，不涉及生物样本或实验队列来源。

以下结合论文主体各小节对结果进行凝练总结。

2. Governing equations and complex-variable formulation
该部分建立了全文理论基础。研究人员给出二维各向同性线弹性平衡方程、Hooke定律与小应变定义，并引入KM复势φ(z)、ψ(z)。通过该复变量形式，应力与位移可由两个全纯函数解析重构。随后，研究人员从总势能泛函出发推导变分形式，证明在满足本质边界条件的可容许位移场中，真实解对应总势能极小值。对于裂纹问题，文中进一步讨论了应力强度因子定义与裂尖渐近奇异场，指出应力呈1/r^1/2奇异、位移呈r^1/2量级变化，为后续裂纹嵌入表示提供物理依据。

3. Methodology
该部分提出vKMINN完整框架。研究人员构建两个并行CVNN分别逼近φ(z)与ψ(z)，利用全纯激活函数确保网络输出天然满足KM表示所需解析正则性。对裂纹问题，又引入辅助势ω(z)=ψ(z)+zφ′(z)，并基于Woo全局表示将φ与ω写为ζ(z)F₁(z)+F₂(z)及其共轭变换形式，使裂纹面间断与裂尖奇异性由几何函数ζ(z)显式给出，而F₁、F₂保持有界且全纯。随后，研究人员以总势能泛函加Dirichlet罚项构造统一损失函数，并以Monte Carlo积分完成域积分与边界积分离散。最后，通过Rice J积分及相互作用积分法，从网络预测的平滑场中稳健提取K_I与K_II。

4.1. Crack-free problems
该部分通过三类无裂纹算例验证vKMINN在线弹性问题中的适用性，并与传统PINN、部分算例中的PIHNN进行对比。

4.1.1. Circular tube under pressure loading
研究人员首先考察受内外压作用的圆环管问题，并以解析解作为参考。结果表明，vKMINN能够高精度重建von Mises等效应力σ_vm、水平位移u_x和竖向位移u_y分布；在合理网络深度、宽度及学习率设置下，相对L₂误差普遍较低。与采用相同网络规模的传统PINN相比，vKMINN在应力与位移场上的绝对误差更小，说明基于KM复势与能量训练的方式较直接位移输出更适合该类弹性问题。

4.1.2. Square plate with a hole under tension loading
在经典应力集中问题——带孔方板受拉中，参考解采用有限元结果。研究人员发现，vKMINN在σ_xx、σ_yy、σ_xy及位移分量上的L₂误差均明显低于PINN，量级约为10^?2。沿指定路径提取场变量后，vKMINN对FEM结果的拟合更加接近，特别是在孔边高梯度区和位移u_x预测上，PINN偏差较为明显。决定系数R²显示vKMINN各关键分量均高于0.999，说明该方法在应力集中区域具有较高精度与稳定性。

4.1.3. Non-uniform tension of a plate
在顶部施加正弦位移边界、底部固定的非均匀拉伸板问题中，研究人员进一步引入PIHNN比较，以区分“全纯表示”与“变分训练”各自贡献。结果显示，PIHNN在纯位移边界条件下具有更快训练收敛和更短稳定时间，体现了基于边界拟合的高效率；但vKMINN在最终精度上更优，无论是σ_yy还是u_y的L₂误差均显著小于PIHNN和PINN。沿指定竖向路径比较也表明，三种方法对位移场都可给出较好预测，但在应力σ_yy上，vKMINN明显更接近FEM。该结果说明，本文方法的优势主要体现在更准确、更统一的求解框架，而不一定在所有无裂纹场景下都表现出更快训练速度。

4.2. Crack problems
该部分利用三个裂纹算例验证vKMINN对裂纹面间断、裂尖奇异性与SIF评估的处理能力，并与KMINN及DENN比较。

4.2.1. Single edge notch tension
单边裂纹拉伸（SENT）问题用于检验I型断裂条件下的性能。研究人员首先比较不同网络结构对裂纹口张开位移（COD）的预测误差，确定较优结构；随后分析裂尖附近局部加密采样对结果的影响，发现足够的裂尖分辨率是准确捕捉奇异场的关键。在与采用Williams展开富集的KMINN比较中，vKMINN与KMINN在整体应力、位移场上都与FEM较一致，但在穿越裂尖的σ_yy路径上，vKMINN对尖锐奇异变化的刻画更清晰。进一步就SIF而言，vKMINN在不同裂纹长度下得到的K_I与解析解吻合良好，误差均控制在工程可接受范围内。更重要的是，在不同I积分半径下，vKMINN提取的K_I更稳定，而KMINN受一阶Williams富集截断和有限半径积分影响，表现出更明显的半径敏感性。这说明显式嵌入裂纹间断与奇异性的势表示提高了裂尖场与SIF评估的鲁棒性。

4.2.2. Double edge notch tension
双边裂纹拉伸（DENT）算例用于检验该方法推广到双裂尖情形时的能力。结果显示，vKMINN对σ_xx、σ_yy和σ_xy的全场分布及两个裂尖附近局部场均能与FEM良好一致。进一步提取左右裂尖的K_I和K_II后，vKMINN所得结果与FEM参考值非常接近，说明该方法不仅适用于单裂纹，也可稳定处理多裂尖构型并实现可靠的双裂尖SIF评估。

4.2.3. Non-uniform tension for oblique center crack tension
在斜中心裂纹受非均匀拉伸（OCCT）问题中，裂纹受到混合I/II型载荷，是更具挑战性的基准。研究人员将vKMINN与KMINN和另一类能量型方法DENN比较。结果表明，尽管vKMINN单位时间迭代速度略低，但其达到稳定解所需迭代次数显著少于KMINN，也少于DENN，因此总体壁钟时间低于两者。更关键的是，vKMINN训练全过程中的均方误差（MSE）始终更低。以FEM为参考的SIF比较显示，vKMINN对左右裂尖的K_I与K_II预测精度最佳，优于KMINN和DENN。全场比较还表明，vKMINN在应力预测上与FEM高度一致，在位移场上较KMINN更接近FEM结果，验证了其在混合型断裂问题中的准确性和效率优势。

4.3. Discussion
讨论部分指出，vKMINN的改进来源于其训练目标与线弹性变分结构更一致。由于KM表示已在构造上满足控制方程，训练不必再同时平衡多个方程残差、边界残差与界面残差，而只需在可容许全纯势空间中寻找使总势能最小的解。这一单一全局机械目标减少了多损失项竞争，使优化过程更加连贯。总势能作为积分量，对局部点振荡通常较残差型边界损失更不敏感，因此梯度训练过程在定性上更平滑、更稳定。不过，作者也明确指出，该变分表述并不保证在所有场景中都更快；其主要优势是提高精度、统一损失构造并在所测基准中展现良好收敛行为。

同时，论文也清楚界定了方法边界。当前框架局限于二维各向同性线弹性，因为KM复势理论本质上是二维复变方法，无法直接推广到一般三维弹性；此外，塑性、损伤和大变形等非线性问题也不适用于当前线弹性解析构造。尽管如此，研究人员指出，该框架可望作为非线性有限元增量分析的弹性预测器，或与稀疏位移/应变测量结合用于断裂反问题识别。对于更一般裂纹几何、高阶裂尖富集、各向异性和非线性本构扩展，则被留作未来工作。

论文结论部分可译为：本文提出了一种用于求解含裂纹与无裂纹二维线弹性问题的变分型Kolosov–Muskhelishvili信息神经网络框架。通过将线弹性的复变量表述与最小总势能原理相结合，所提方法把力学问题重构为能量泛函的最小化问题，同时以两个全纯KM复势表示应力场与位移场。对于裂纹问题，进一步采用不连续应力势表示，将裂纹面的间断性与裂尖奇异性直接嵌入解的试探形式。数值结果表明，该框架能够准确预测常规弹性问题与断裂问题中的应力场和位移场。在无裂纹算例中，vKMINN在均匀与非均匀边界条件下均持续优于基准PINN；在裂纹算例中，该框架能够准确给出裂尖场及可靠的应力强度因子预测，并与解析解或FEM参考结果保持良好一致。与KMINN和DENN相比，vKMINN还具有更简单的损失构造以及在所研究算例中更快的收敛表现。总体而言，本文表明，vKMINN为二维线弹性断裂分析提供了一种有效且物理一致的变分方法；全纯KM复势、能量最小化和嵌入式裂纹表示的结合，为提高基于神经网络的固体力学求解器的效率与精度提供了有前景的方向。