考虑黏性耗散介质平板上磁流体动力学(MHD)层流边界层流动的熵(Entropy)分析——基于多种回归分析方法

《Applied Sciences》：Entropy Analysis of Magnetohydrodynamic Laminar Boundary Layer Flow over a Flat Plate with Viscous Dissipation Medium Using Various Regression Analysis

　　

本研究采用熵分析法考察恒定向横向磁场作用下，具有黏性耗散效应的导电流体在平板上的边界层流动与传热特性。研究人员利用Keller-box法求解非相似边界层方程，计算了磁相互作用参数、黏性耗散（埃克特数(Eckert number, Ec)）及组合参数(group parameter, Ω)对传热、熵产(entropy generation, Ns*)、贝让数(Bejan number, Be)、速度与温度分布的影响。结果表明，减小磁场参数(M)与Ec可增强传热参数；壁面附近因熵产参数较高而成为不可逆性的主要源区。研究获得了局部壁面摩擦系数与局部努塞尔数(Nux)的新关联式，构建了人工神经网络(artificial neural network, ANN)以预测目标输出值，并利用遗传编程(genetic programming, GP)与人工蜂群编程(artificial bee colony programming, ABCP)进行符号回归(symbolic regression)，获得问题的数学表达式。各算法按决定系数(coefficient of determination, R2)与均方根误差(root mean squared error, RMSE)评估性能，其中仅含三种算术算子(+, ?, ×)的ABCP模型最优，R2=0.9762，RMSE=0.0129。

论文解读：考虑黏性耗散介质平板上磁流体动力学(MHD)层流边界层流动的熵分析——基于多种回归分析方法

本研究发表于《Applied Sciences》。磁流体动力学(magnetohydrodynamic, MHD)流动与传热在MHD发电机、泵、高速气动热管理、核反应堆冷却等工程领域有重要应用。以往研究多单独关注MHD边界层流动、熵产(entropy generation)或机器学习预测模型，鲜有将局部非相似性(local non-similarity)数值分析、沿整个板面的熵产评估及多种回归建模方法结合于同一框架的研究。为填补这一空白，研究人员在考虑黏性耗散与横向恒定磁场条件下，对平板MHD层流边界层流动开展数值求解，系统分析磁相互作用参数(M)、埃克特数(Eckert number, Ec)及组合参数(Ω = Br·Re_x²/ΔT，其中Br为布林克曼数(Brinkman number)，Re_x为当地雷诺数，ΔT = T_w?T_∞)对流动、传热及熵产的影响，并进一步建立人工神经网络(artificial neural network, ANN)与符号回归(symbolic regression)模型（基因表达式编程gene expression programming, GEP及人工蜂群编程artificial bee colony programming, ABCP）以预测和显式表达熵产参数(N_s^*)。

主要关键技术方法：

研究人员对稳态不可压缩二维MHD层流边界层引入无量纲变换，导出动量方程与能量方程（含磁阻力项与Ec表示的黏性耗散热项），采用Keller-box法配合牛顿线性化(Newton's linearization)数值求解非相似边界层方程组，验证结果与已有文献吻合。以数值解生成的数据库（输入：M、Pr、Ω、Ec；输出：无量纲熵产率N_s^*）分别训练：(1) 多层感知器ANN（优化隐藏层层数与神经元数，按R²与RMSE评价）；(2) GEP与ABCP符号回归算法（树形结构表达公式，测试不同算子集如{+, ?, ×}、{+, ?, ×, ÷}、{+, ?, ×, square}），最终比较各模型预测性能并获得最优显式解析式。

研究结果：

4. Results and Discussion（结果与讨论）

通过对不同M(0–1)、Ec(0–0.3)、Ω(0.1–0.4)及Pr=0.7的数值计算发现：增大M使速度剖面在近壁区受洛伦兹力(Lorentz force)抑制而总体减速趋势被压力梯度部分抵消，同时热边界层减薄、壁面温度梯度变陡，局部壁面摩擦系数(C_f∝f''(0))与局部努塞尔数(Nu_x∝?θ'(0))均随M增大而升高；Ec增大不改变速度剖面（不直接出现在动量方程中），但因黏性耗散充当内热源使整体流体升温、壁面温差减小，故Nu_x随Ec增大而降低。结论：减小M与Ec有利于增强传热参数；Ec从0增至0.3时板前缘(ξ=η=0)处Nu_x由0.2933降至0.2585；M由0增至1时Nu_x由0.2933升至0.3756（Ec=0）。

5. Entropy Generation Analysis（熵产分析）

局部体积熵产率由导热温差、流体摩擦及焦耳耗散(Joule dissipation)三部分构成，无量纲化为N_s^*= Re_x²·[ (?θ/?η)²/(Ω·ΔT/T_∞) + Br·(?²f/?η²)²+ (M/Re_x)·(?f/?η)²]，贝让数(Bejan number, Be) = 导热熵产项 / 总熵产项，取值范围0–1。结果显示：N_s^*在壁面(η=0)处最大，随η增大迅速衰减；M增大则壁面附近N_s^*升高而Be降低（摩擦与磁效应主导不可逆性）；Ω增大同样使N_s^*升高、Be降低。当Ω由0.1增至0.4时，壁面N_s^*由0.0897升至0.1725，Be由0.8771降至0.6408（M=0.1）；M由0增至0.7时壁面N_s^*由0.0897升至0.1227，Be由0.8771降至0.5757（Ω=0.1）。

5.1. Artificial Neural Network Solutions（人工神经网络解）

以M、Pr、Ω、Ec为输入，N_s^*为输出，80%数据训练、20%测试，其中训练集再分20%作验证。经参数扫描确定最优结构为3个隐藏层、每层15个神经元、100周期(epoch)，此时R²=0.9273，RMSE=0.0214，测试集预测值与数值解吻合良好。

5.2. Symbolic Regression Solutions（符号回归解）

分别以GEP与ABCP构建输入变量(M, Pr, Ω, Ec)到N_s^*的显式函数树。测试不同算子组合后，仅含{+, ?, ×}时两算法均获最佳统计表现：ABCP(R²=0.9762, RMSE=0.0129, 树深10)优于GEP(R²=0.9535, RMSE=0.0187, 树深较浅)。所有成功公式中均保留了全部四个物理参数，证实其对熵产行为的必要性。ABCP所得最长最复杂公式精度最高，GEP公式较简洁可用于工程近似。

5.3. Analysis of Symbolic Regression Results and Physical Interpretation（符号回归结果分析与物理解释）

符号回归中乘法算子大量出现反映了布林克曼效应与普朗特数(Prandtl number, Pr)所表征的热梯度效应间强非线性耦合被模型捕获。GEP引入的经验回归常数可视为边界层厚度与局部摩擦效应的缩放因子。ABCP较深树结构虽精度最高，但存在过拟合风险及计算量偏大；ANN适合快速黑箱预测但无显式物理方程。

5.4. Limitations and Applicability of the Proposed Models（模型局限性与适用性）

ANN在训练参数范围外存在外推误差；ABCP高精度公式依赖特定数据集且树深较大。符号回归公式适用于需显式解析计算熵产的工况，ANN适合实时估算场景。

结论（翻译自原文Conclusions）：

(1) 速度边界层厚度随磁场参数M增大而增加。(2) 热边界层厚度随M增大而减小，随黏性耗散参数Ec增大而增大。(3) M增大及Ec减小使局部传热参数降低；Ec由0增至0.3时板前缘Nu_x由0.2933降至0.2585；M由0增至1时(Ec=0)Nu_x由0.2933升至0.3756。(4) M增大使熵产参数升高、贝让数Be降低；M由0增至0.7时壁面N_s^*由0.0897升至0.1227，Be由0.8771降至0.5757（Ω=0.1）。(5) 组合参数Ω增大使熵产率升高、Be降低；Ω由0.1增至0.4时壁面N_s^*由0.0897升至0.1725，Be由0.8771降至0.6408（M=0.1）。(6) ANN最优模型为3隐层15神经元，R²=0.9273，RMSE=0.0214。(7) 符号回归中ABCP使用{+, ?, ×}算子所得公式最优(R²=0.9762，RMSE=0.0129)；GEP使用相同算子得R²=0.9535，RMSE=0.0187。符号回归的优势在于研究人员可用所得显式方程在不同参数值下直接计算熵产结果。未来可扩展至热辐射、非定常流、纳米流体及更多机器学习方法对比。