《Journal of Biological Dynamics》：Hepatitis B virus spreading via Beddington–DeAngelis incidence function and feed-forward neural network with optimal control
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本研究旨在利用合适的数学模型考察乙型肝炎病毒(hepatitis B virus, HBV)传播的动力学历程及最优控制策略，采用Beddington–DeAngelis发生率函数，并结合四阶Runge–Kutta方法(fourth-order Runge–Ku
本研究旨在利用合适的数学模型考察乙型肝炎病毒(hepatitis B virus, HBV)传播的动力学历程及最优控制策略，采用Beddington–DeAngelis发生率函数，并结合四阶Runge–Kutta方法(fourth-order Runge–Kutta method, RK4)与前馈神经网络(feed-forward neural network, FFNN)的混合方法，因流行病学模型与神经网络的融合对刻画疾病传播具有重要意义。利用阈值参数得到模型的适定性(well-posedness)、局部及全局稳定性条件，量化若干敏感流行病参数及其相对影响。基于模型局部与全局性质及敏感性分析建立控制问题，通过三种控制措施最小化HBV感染人群并最大化康复人群。最终采用含两个隐藏层的监督FFNN与RK4混合方法有效逼近HBV传播的时间动力学并验证理论结果及控制效果。
研究背景与意义
乙型肝炎病毒(hepatitis B virus, HBV)感染是全球重大公共卫生问题，慢性感染者达3.5~4亿人。传统SIR类传染病模型多采用双线性(bilinear)或单饱和(single saturated)发生率，前者在高易感与感染人群数时高估传播，后者未充分考虑行为改变与预防意识对有效接触率的影响。Beddington–DeAngelis发生率(又称double saturated incidence function) 1+?S+γIξSI同时引入易感者行为防护项?S与感染者病毒载量依赖饱和项γI，更贴合HBV经血液/性/母婴传播且伴隔离与宣教干预的实际场景。此外，含双饱和发生率的模型解析求解困难，将流行病学微分方程与前馈神经网络(feed-forward neural network, FFNN)结合可用数据驱动方式逼近复杂非线性动力学。目前少有文献将Beddington–DeAngelis型HBV模型与FFNN及最优控制结合，本研究旨在填补这一空白。
本文发表于《Journal of Biological Dynamics》。
主要关键技术方法
研究人员建立S(易感)–I(感染)–R(康复)三仓室HBV传播常微分方程组，传染率为Beddington–DeAngelis型 H(S,I)=1+?S(t)+γI(t)ξS(t)I(t)，含新出生/迁入率Λ、自然死亡?0、HBV致亡?1、恢复率ζ及疫苗接种率η。通过Next-Generation Matrix计算基本再生数(basic reproduction number, R01)，进行适定性证明(有界性、Lipschitz连续保证解存在唯一)、平衡点分析(无病平衡点与地方病平衡点)及局部/全局稳定性证明(Lyapunov函数法)。对R01做归一化敏感性指数分析筛选关键参数，引入三类时间依赖控制u1(t)(非药物宣教降传播)、u2(t)(感染者治疗增恢复)、u3(t)(易感者疫苗接种)构建最优控制问题，用Pontryagin极大值原理推导伴随方程(adjoint equations)与最优控制表达式。数值上先用RK4离散生成轨迹数据集，再用含两隐层(各20神经元)、tanh激活函数的监督FFNN以MSE(mean squared error)为损失函数、Levenberg–Marquardt算法训练，对比RK4与FFNN输出误差验证混合框架有效性。
研究结果
2. Mathematical model formulation(数学模型构建)
研究人员将总人群N(t)=S(t)+I(t)+R(t)划分为易感S(t)、HBV感染I(t)、康复/疫苗保护R(t)三类，提出系统：
dtdS=Λ?H(S,I)?(?0+η)S(t)，
dtdI=H(S,I)?(?0+?1+ζ)I(t)，
dtdR=ζI(t)+ηS(t)??0R(t)，
其中H(S,I)=1+?S(t)+γI(t)ξS(t)I(t)。初始值S(0)>0,I(0)≥0,R(0)>0。
3. Well-posedness(适定性分析)
通过对全人群微分方程dtdN=Λ??0N(t)??1I(t)积分得N(t)≤?0Λ(1?e??0t)+N(0)e??0t，故解有界且可行域Θ={(S,I,R)∈R+3:S+I+R≤?0Λ}。通过验证右端函数满足Lipschitz条件证明初值问题解存在且唯一。
4. Dynamical analysis(动力学分析)
无病平衡点(disease-free equilibrium, DFE) Q0=(S0=?0+ηΛ,I0=0,R0=?0(?0+η)ηΛ)。由Next-Generation Matrix得基本再生数 R01=(?0+η)(?0+?1+ζ)(1+?S0)ξΛ。敏感性指数：Sξ=+1，Sη=??0+η+?Λη≈?0.86，Sζ=??0+?1+ζζ≈?0.99，S?1=?(?0+η)(?0+η+?Λ)?1Λ≈?0.00045。表明传播系数ξ正向影响R01，恢复率ζ与接种率η负向影响最显著，是控制的靶参数。地方病平衡点存在当且仅当R01>1。定理4.1：若R01<1，DFE局部及全局渐近稳定；R01>1时为鞍点。定理4.2：若R01>1，地方病平衡点局部渐近稳定（Jacobian矩阵Hurwitz条件：迹负、行列式正），并构造Lyapunov函数证全局稳定。
5. Optimal control problem(最优控制问题)
引入u1(t)∈[0,1](降有效接触率)、u2(t)∈[0,1](提升感染者离组率)、u3(t)∈[0,1](升接种率)，受控系统为：
dtdS=Λ?H(S,I)(1?u1(t))?(?0+u3(t))S(t)，
dtdI=H(S,I)(1?u1(t))?(?0+?1+u2(t))I(t)，
dtdR=u2(t)I(t)+u3(t)S(t)??0R(t)。
目标泛函 J=∫0T{ρ1I+21(ρ2u12(t)+ρ3u22(t)+ρ4u32(t))}dt，求minJ。定理5.1证 admissible控制集U上最优控制存在。由Pontryagin极大值原理得伴随变量α1,α2,α3终值αi(T)=0及反向常微分方程组，最优控制为：
u1?(t)=max{0,min[ρ2(1+?S?+γI?)(α2(t)?α1(t))ξS?I?,1]}，
u2?(t)=max{0,min[ρ3I?(t)(α2(t)?α3(t)),1]}，
u3?(t)=max{0,min[ρ4S?(t)(α1(t)?α3(t)),1]}。
6. Numerical experiments(数值实验)
RK4步长Δt离散原模型与受控模型获轨迹数据集(80%训练、20%测试)。FFNN输入为[S(t),I(t),R(t)]T，输出预测[S(t+Δt),I(t+Δt),R(t+Δt)]T，两隐层各20神经元、tanh激活、线性输出层，Levenberg–Marquardt训练至MSE<10?5。例7.1取R01=0.1682<1，S、I、R三仓室RK4与FFNN曲线几近重合，绝对误差<0.07，最佳验证性能MSE=4.73×10?4(290 epoch)，回归R≈0.99999，验证DFE全局稳定——感染类趋零、易感与康复趋稳态。例7.2取R01=1.3717>1，三仓室收敛至地方病平衡点，FFNN逼近误差相当低(MSE=5.70×10?4，epoch 103，R≈0.99999)，验证地方病平衡点稳定。例7.3受控情形与无控制对比：实施最优控制后感染峰值由≈950降至≈400且更快消亡，易感者在中期维持较高水平后部分回升，康复曲线变化符合预期；控制画像显示u1迅速升至并维持上限，u2逐步升到近上限，u3小幅早期作用后归零，符合非药物宣教+治疗为主、早期接种辅助的策略。
讨论与结论翻译
研究人员构建了带Beddington–DeAngelis发生率的HBV SIR型流行病学模型并结合RK4–FFNN混合框架。详述模型适定性、两平衡点(R01<1无病平衡全局渐近稳定；R01>1唯一地方病平衡全局渐近稳定)及参数敏感性——传播系数ξ最促R01上升，恢复ζ与接种η最抑之，据此引入三种时间依赖最优控制并用Pontryagin原理导出特征。RK4生成数据与两隐层FFNN训练结果表明网络输出与模型解析轨迹高度吻合(低MAE、MSE及近单位回归)，有效逼近HBV时空动力学并验证理论及控制成效。数值仿真证实所联合控制措施可压制HBV感染规模并推升康复，框架适用于HBV传播刻画与干预评估。未来拟扩展更一般发生率(含SI交叉项)并拟合真实HBV监测数据使之成为疫情决策支持工具。
Data availability statement：本研究未使用外部数据集。
