基于核密度估计(Kernel Density Estimation, KDE)与Copula函数的立式环模生物质压块机主轴转矩随机载荷谱编制方法

《Applied Sciences》：A Method for Compiling the Random Load Spectrum of the Main Shaft Torque of the Vertical Ring-Die Biomass Briquetting Machine Based on Kernel Density Estimation and Copula Function

　　

为解决立式环模生物质压块机(vertical ring-die biomass briquetting machine)主轴转矩载荷强变异性、循环特征复杂及难以表征的问题，研究人员提出一种基于核密度估计(Kernel Density Estimation, KDE)与Copula函数的随机载荷谱生成方法。研究人员对实测转矩时程信号进行小波阈值去噪(wavelet-threshold denoising)与雨流计数法(rainflow counting)处理以提取循环均值(cycle mean)与循环幅值(cycle amplitude)样本；采用KDE估计其边缘分布(marginal distribution)，引入Copula函数构建联合分布模型(joint distribution model)，并基于拟合的联合概率密度函数在二维概率空间内进行概率积分以重构随机载荷谱。结果表明，Frank Copula能最佳描述循环均值与循环幅值之间的依赖结构(dependence structure)；重构载荷谱在边缘频率分布及主峰区间上与实测载荷谱吻合良好，均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)为6.3161，归一化均方根误差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)为6.94%；与KDE独立基线模型相比，所提KDE–Frank Copula模型使RMSE降低12.74%。结果表明该方法可有效表征主轴随机转矩载荷的统计特征，为立式环模生物质压块机载荷谱编制、疲劳寿命预测及可靠性设计提供方法学支撑。

论文解读：基于核密度估计与Copula函数的立式环模生物质压块机主轴转矩随机载荷谱编制方法

《Applied Sciences》刊载的该文针对立式环模生物质压块机工作工况多变导致核心部件承受显著非平稳工作载荷的问题，指出准确掌握实际压块工况下核心部件工作载荷特性及分布规律是精确重构设备服役载荷历程、判定部件失效原因及开展稳定性设计与结构可靠性评估的基础。现有农业机械实测随机转矩载荷研究中，多集中于常规机械振动信号降噪与单变量载荷统计，缺乏对联实测随机转矩载荷的联合建模研究；对循环均值与循环幅值的边缘分布特征及其依赖结构的系统分析不足；生物质物料异质性与压块过程波动使实测主轴转矩呈明显非高斯(non-Gaussian)、非平稳(non-stationary)特征，传统参数化模型难以准确捕捉其复杂统计特性。为此，研究人员以立式环模生物质压块机实测主轴转矩信号为对象，经小波阈值去噪与雨流计数提取循环均值与幅值，引入核密度估计(KDE)与Copula函数建立非参数联合建模框架以表征其边缘分布特征与依赖结构，并通过二维概率积分重构随机载荷谱，验证模型精度与适用性。

研究人员采用的主要关键技术方法为：在立式环模生物质压块机实际压块工况下，使用TQ201J无线转矩传感节点以全桥测量方式采集主轴等效驱动大带轮表面扭转变形获取主轴转矩信号(采样频率100 Hz，采样时长100 s)，剔除启停及异常波动段后保留稳定工况信号；对信号进行异常值消除与小波软阈值去噪(wavelet soft-threshold denoising，三层小波分解)；采用四点雨流计数法(four-point rainflow counting algorithm)提取循环均值与循环幅值样本；以高斯核函数(Gaussian kernel function)进行核密度估计(KDE)拟合两变量边缘概率密度函数与累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)，并对幅值变量做对数变换(log-transform)及雅可比(Jacobian)修正以消除边界偏倚；通过概率积分变换(probability integral transformation)与秩伪观测值(rank-based pseudo-observations)构建Copula模型输入，分别拟合Gaussian、Student's t及Frank Copula，依据赤池信息准则(Akaike Information Criterion, AIC)与贝叶斯信息准则(Bayesian Information Criterion, BIC)遴选最优Copula函数；基于KDE边缘分布与最优Copula联合密度函数在各载荷分级区间进行二维数值积分重构24×18随机载荷谱矩阵，并以RMSE、NRMSE及相对误差(Relative Error, RE)对比KDE独立假设基线模型评估重构精度；同时对循环均值与循环幅值进行卡方独立性检验(chi-square test of independence)。

2. Load Measurement of the Vertical Ring-Die Biomass Briquetting Machine

研究人员介绍了整体建模流程：转矩信号采集筛选→信号预处理(去噪)→雨流计数提取循环均值与幅值→KDE边缘分布估计→Copula依赖结构建模→模型评价(RMSE、NRMSE、相对误差)。试验采用产能约1.5 t/h立式环模生物质压块机原型，以牛粪为原料，因主轴无裸露表面故于与主轴的键连接刚性耦合的大带轮表面贴应变片(全桥测量法)间接测得主轴转矩。经小波阈值去噪后局部高频扰动被有效抑制，主轴转矩围绕约454 N·m波动，确认信号保留了主导载荷变化趋势。雨流计数构建24级均值×18级幅值三维雨流矩阵与二维频率直方图，循环均值单峰集中分布于约455 N·m附近，循环幅值强烈集中于0–1.0 N·m低幅值区，表明正常工作时主轴承受较高近恒定基准挤压转矩，交变载荷幅值较小。

3. Measured Torque Rainflow Statistics and Independence Test

研究人员对4989组有效样本做列联表卡方独立性检验，所得χ²=1357.97远超过显著性水平α=0.05下临界值438.11(p<0.001)，证实循环均值与循环幅值存在统计学显著依赖关系，不可假设二者独立，需用Copula刻画其非线性依赖结构。

4. Kernel Density Estimation and Copula-Based Joint Distribution Modeling

研究人员以高斯核KDE拟合循环均值与幅值的边缘概率密度，带宽按正态参考规则(normal reference rule)取样本标准差与四分位距(interquartile range, IQR)缩放量之较小者。KDE曲线与样本直方图在主峰位置、偏度及尾部行为上高度吻合：循环均值高度聚集于450–462 N·m(峰值约455–458 N·m)，循环幅值聚集于0–1.5 N·m且随幅值增大单调下降(右偏重尾)。对严格正且低幅值集中的幅值变量做Z=ln(S)对数变换并在变换空间做二维KDE，经雅可比修正f_X,S(x,s)=f_X,Z(x,ln s)/s还原至原始(X,S)空间以消除零邻域边界偏倚。Pearson相关系数为?0.1619，Spearman秩相关系数为?0.2328，显示弱全局负关联但仍具显著非线性依赖。KDE拟合的边缘CDF与经验CDF一致性良好。经概率积分变换U?_i=F_X(X_i)、V?_i=F_S(S_i)及秩伪观测值u_i=(R_i)/(n+1)将样本映射至(0,1)开区间作为Copula输入。

5. Modeling the Joint Distribution of Cycle Mean and Amplitude Using Copula Theory and Load Reconstruction

研究人员基于Sklar定理以伪观测值分别拟合Gaussian、Student's t及Frank Copula，Frank Copula对数似然值最大(132.390617)，AIC=?262.781235、BIC=?256.266244均优于另两者，Frank参数α=?1.375521，选定Frank Copula为最优模型。模拟伪观测值与原始伪观测值在散点形态及单调负关联趋势上高度一致，Kendall's τ与Spearman's ρ重现误差分别为0.002964与0.013127，经验Copula面RMSE为0.007246。基于KDE边缘分布与Frank Copula联合密度对各载荷分级区间做二维概率积分得到重构载荷谱，重构谱边缘频率分布与实测谱高度一致，幅值边缘分布吻合尤为突出。KDE–Frank Copula模型RMSE=6.3161，NRMSE=6.94%，相对误差=36.56%；KDE独立基线模型RMSE=7.2387，相对误差=41.53%；KDE–Frank Copula模型较基线模型RMSE降低12.74%，相对误差降低11.97%，证明引入依赖结构提升了重构精度。

讨论与结论翻译：

(1) 实测主轴转矩信号经小波阈值去噪与四点雨流计数提取循环均值与循环幅值特征，循环均值主要集中于约455 N·m，循环幅值主要分布在0–1.0 N·m；独立性检验与相关分析证实循环均值与循环幅值间存在统计学显著依赖关系，不应视为独立随机变量。

(2) 采用核密度估计(KDE)对循环均值与循环幅值的边缘分布进行建模，并建立基于Copula的联合分布模型；模型遴选结果表明Frank Copula能最佳描述两变量间的依赖结构。

(3) 基于KDE边缘分布与拟合的Frank Copula联合密度模型建立了随机载荷谱重构方法；重构谱在循环幅值边缘分布、主导循环均值范围及主峰区间位置上与实测谱吻合良好，RMSE与NRMSE分别为6.3161与6.94%；相比KDE独立基线模型，所提KDE–Frank Copula模型使RMSE降低12.74%，表明依赖结构提高了重构精度。该方法为立式环模生物质压块机载荷谱编制、疲劳寿命预测、可靠性分析及结构优化提供支持，重构载荷谱可作为后续主轴疲劳损伤计算与可靠性导向结构设计的定量载荷输入。