2017年，物理学家伦卡·兹德博罗娃在《自然·物理学》上发表了一篇评论文章
a，总结了神经网络在她所在领域的应用情况。该文章引用了9篇参考文献。2019年，她在《现代物理评论》上再次开展类似研究
b，与七位同事共同撰写了一篇包含464篇参考文献的论文。如今，兹德博罗娃表示，这样的评估“会有成千上万的参考文献”，她目前任职于瑞士洛桑联邦理工学院。“那已经不可行了，相关研究发展得极为迅速。”
几十年来，物理学家们一直在研究中高效运用计算机。有限差分法和有限元法等数值算法彻底改变了从流体力学到电磁学等多个领域的发展。尽管取得了这些成就，仍有许多重要问题无法通过传统计算方法解决。
现在，人工智能工具为解决物理学中的长期难题提供了强大的新方法。
纽约市Flatiron研究所计算数学中心的研究员韩杰群表示：“人工智能对物理学的影响巨大。这是一种以数据为中心的新计算方式。”
与此同时，理解人工智能为何能如此高效也带来了新的问题，而物理学或许可以为此提供答案。
一个价值百万美元的问题：纳维-斯托克斯方程中的奇点
偏微分方程在物理学中起着核心作用，它们能够以数学方式描述系统的变化规律。该领域中有很多重要的偏微分方程，其中纳维-斯托克斯方程用于描述粘性流体的三维流动。这一方程最初是在19世纪初期提出的，此后在物理学和数学领域都引发了大量研究。与许多偏微分方程一样，目前还没有通用方法能够为纳维-斯托克斯方程求出精确的封闭形式解。当需要将方程应用于实际场景——比如模拟心脏中的血液流动或预测海洋洋流时，就可以通过计算方法得到高精度的近似解。
虽然人们对纳维-斯托克斯方程已有较多了解，但仍有许多未解之谜，其中包括一个存在数十年の基本问题：其解是否可能出现奇点？也就是说，解是否可能突然失去物理意义，比如预测出流速变为无穷大？在自然界中尚未观测到此类奇点，但目前还不清楚纳维-斯托克斯方程的解中是否会出现这种情况。这个问题是克莱数学研究所设立的千年大奖难题之一，解决它可获得100万美元的奖励。
如今，研究人员似乎正在借助人工智能工具逐步接近答案。这类研究的关键是一种名为PINN的人工智能框架，即“物理信息神经网络”。顾名思义，PINN并非像许多神经网络模型那样以数据集为驱动。“在PINN中，你需要优化的是符合物理定律的方程或方程组，”从事这一领域研究的布朗大学研究员哈维尔·戈麦斯-塞拉诺说道。
偏微分方程的解是一种函数，将其代入原方程后能够恰好满足方程。神经网络中参数的每一组取值都可以被视为一种函数，所有可能的参数组合则构成了一个函数空间。PINN的作用就是在这个函数空间中寻找能够很好地近似解决偏微分方程的函数。在每个迭代过程中，都会利用偏微分方程来衡量误差，从而引导系统朝着最优近似解方向发展。偏微分方程体现了问题的物理本质，“物理规律就体现在这里，”戈麦斯-塞拉诺说。
他和他的合作者们已经能够利用PINN生成可能包含奇点的流体流动方程的候选解。这类奇点很可能是不稳定的，也就是说，解出现奇点需要各种因素达到极其精确的平衡。使用浮点运算的计算机精度不足，无法捕捉到如此短暂的状态。
为了解决这个问题，戈麦斯-塞拉诺运用了自己在区间运算方面的专长。在区间运算中，数字的浮点表示会被替换为一个包含该数字的区间。区间运算可以将不稳定的奇异解限制在某个有界区域内，随后可以通过纸笔分析从数学上证明奇异解确实存在于该区域内。这样得到的结果并非近似值，而是具有完全数学有效性的严格证明。
近年来，多个研究小组一直在使用这类人工智能方法寻找流体流动方程中的奇点。2025年秋季，戈麦斯-塞拉诺与来自多所大学以及谷歌DeepMind的约20位合作者在arXiv上发表了一篇论文
c，证明了欧拉方程中存在不稳定的奇点，欧拉方程是纳维-斯托克斯方程的简化版本。他们的研究显著提升了精度，未来还有进一步改进的可能。
这些方法能否应用于完整的纳维-斯托克斯方程呢？戈麦斯-塞拉诺不愿做出明确断言，但他仍持乐观态度。“这需要大量工作，也需要足够的耐心以及足够的能力来进行纸笔分析，”他说，“但并不需要全新的思路……目前的难点在于找到合适的候选近似解，这也是目前大家还难以很好解决的问题。”
基于第一性原理的分子动力学
纳维-斯托克斯方程描述了水的流动规律，但却无法解释水分子在温度下降时会重新排列形成晶体进而结冰的相变现象。对这类从微观条件中产生宏观行为的现象进行建模，正是“从头算”分子动力学的研究目标。顾名思义，这种方法基于量子力学的第一性原理，而这些原理被封装在薛定谔方程这一偏微分方程中。
Flatiron研究所的韩杰群指出，物理学家和应用数学家已经为处理AIMD这类大规模、多尺度问题开发出了许多强大的计算工具。“最终，阻碍人们进一步研究的障碍，就是所谓的‘维度灾难’，”韩杰群说。
所谓“维度灾难”指的是，描述被研究系统所需的参数数量增加时，计算所需的时间和内存会呈指数级增长（也就是物理系统中总自由度的增加）。这一挑战出现在很多领域，包括AIMD和高维偏微分方程。韩杰群表示：“事实证明，深度学习工具为克服这类场景下的维度灾难提供了一种非常高效的方法。”
AIMD的基本思路是通过为每个分子单独求解薛定谔方程，来模拟作用在单个分子上的力。即便分子数量相对较少，只有几百或几千个，传统计算机也会很快遇到维度灾难的问题。此外，这类计算的成本也非常高昂。
2017年，韩杰群还是普林斯顿大学的博士生时，他与该校的学生张林峰、数学教授E·韦南以及化学教授罗伯托·卡尔一起，开始研发一种名为深度势能分子动力学（DeePMD）的机器学习框架。该框架利用传统AIMD计算得到的数据来训练神经网络，进而近似表示原子间势能函数，从而能够高效计算出原子间的作用力。一旦训练完成，该模型就能实现近乎第一性原理精度的分子动力学模拟，同时无需直接求解底层的量子力学方程。
这种方法的价值在于，它在严格遵循微观物理规律的同时，大幅降低了计算成本，相比传统的AIMD有了显著优势。韩杰群表示，这一理念在AIMD研究中早已存在，只是传统计算机的性能不足以支撑这类任务。“人工智能终于让这一想法变得可行，也让我们在所需精度和计算量之间找到了良好的平衡，”他说道。
2020年，ACM戈登·贝尔奖授予了卡尔、E、张林峰以及另外五位作者的一篇论文，该论文介绍了使用DeePMD从第一性原理出发高效模拟1亿个原子的计算方法
d。这项在橡树岭国家实验室的Summit超级计算机上完成的计算，为开展比以往规模更大的模拟奠定了基础。
自该奖项颁发以来的五年里，研究人员不断改进DeePMD算法，并开发出更多模拟分子动力学的新方法。韩杰群表示：“我认为这是人工智能在物理学领域最成功的应用之一，它充分证明了人工智能正在为这一领域带来新的发展范式。”
人工智能服务于物理学，物理学也为人工智能服务
人工智能方法正在被广泛应用于各个物理学分支。在宏观层面，宇宙学领域利用机器学习对用于调控宇宙的“宇宙学参数”进行超精确估算。在微观层面，弦理论领域中，人工智能正在帮助解决一个存在40年的难题，即理解卡比-丘流形的几何结构——在这种流形中，六个“额外”的空间维度会向内卷曲，超出了人类所能感知的四个维度范围。甚至还有一些具有未来感的尝试，比如所谓的“GoPro式物理学”，即用人工智能工具分析数据集，工具会输出描述数据中物理规律的数学方程。
当物理学家探索人工智能解决领域内问题的潜力时，一个根本性问题出现了：为什么人工智能能表现得如此出色？对此，担任EPFL计算统计物理学实验室负责人的兹德博罗娃认为，她的统计物理学领域或许能够提供一些启示。这一想法并非毫无根据，毕竟统计物理学正是杰弗里·辛顿和约翰·霍普菲尔德因其在神经网络早期研究中所做的贡献而获得2024年诺贝尔物理学奖的基础。
兹德博罗娃将人工智能的兴起比作蒸汽机的出现，蒸汽机为将热能转化为机械能提供了可能，从而推动了工业革命的发展。然而，过了几十年之后，热力学才得以发展，人们才弄清楚蒸汽机工作的原理，也能回答诸如要燃烧多少煤炭才能产生特定功率之类的基本问题。
关于人工智能也存在类似的理论空白。兹德博罗娃表示，人工智能系统需要“海量数据以及大量电能”，但目前还不知道究竟需要多大的数据量和能耗。“从科学角度来看，我们还不清楚目前的人工智能构建方式是否是最优的，或者是否有可能以更高效的方式实现这一目标，”她说，“我们还没有任何定理或科学定律能够给出答案。”
本质上，神经网络是一种通用函数逼近器。如果对大量猫的图片进行训练，神经网络就能学习到一种函数，这种函数输入一张新的猫的图片后，就能以很高的准确率输出“是”或“否”的结果。虽然通过穷举所有可能的参数组合也能找到有效的猫识别函数，但这种搜索方式被认为是不可行的。兹德博罗娃指出，神经网络能够在合理的时间内完成这项任务实在令人惊讶，而且目前还没有理论能够解释其中的原理。
这类谜题早在20世纪60年代就出现在计算学习理论的研究中。该领域发展出的PAC（几乎必然正确）理论、瓦普尼克-切尔沃年科斯理论以及贝叶斯推断等方法，都需要进一步扩展才能应用于当前的人工智能模型。
兹德博罗娃则借助自己在统计物理学方面的专长展开研究。她和她的合作者们设计了一些非常简单的神经网络模型，这些模型在能够解决问题和无法解决问题的参数设置之间存在着明显的临界点
e。目前，他们的研究结果仅适用于一些并不十分现实的数据结构。不过，可解问题和不可解问题之间可能存在相变分隔这一观点还是相当有趣的。“这些问题的答案可能以相变的形式出现，这与物理学有着非常美妙且契合的联系，”兹德博罗娃说道。
正如爱因斯坦解释了引力，麦克斯韦解释了电磁学，香农解释了信息传递的原理，兹德博罗娃相信总有一天也会有解释人工智能的原理出现。“总有一天，会有人能够解释哪些内容可以从数据中高效地被学习出来。”
阿林·杰克逊 是一位专注于数学和科学领域的记者，目前作为访问学者任职于新泽西州普林斯顿市的高等研究院数学系。
