《Artificial Intelligence in Geosciences》：Deep learning preconditioned methods for frequency-domain acoustic wave equation with their wavefield simulations
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为克服频域声波波场模拟效率低下的问题，本文提出了一类基于深度神经网络充分训练以构建高效预条件子的深度学习（Deep Learning, DL）预条件方法。该方法可加速用于求解波动方程离散化后形成的线性系统的稳定双共轭梯度法（BiCGSTAB）。这些求解器的主要
为克服频域声波波场模拟效率低下的问题，本文提出了一类基于深度神经网络充分训练以构建高效预条件子的深度学习（Deep Learning, DL）预条件方法。该方法可加速用于求解波动方程离散化后形成的线性系统的稳定双共轭梯度法（BiCGSTAB）。这些求解器的主要创新点体现在将网络的强大表征能力与经典预条件技术相结合，以处理阻抗矩阵的不利特性。与传统方法相比，深度学习预条件迭代的预条件过程通过网络预测进行，能够以更少的迭代步数和更低成本收敛到真实解。通过对几种典型介质进行数值算例以检验所提方法的有效性。结果表明，该方法在加速波场模拟方面展现出优越性，并有助于提升频域建模在地震勘探中的可行性与实用性。
**论文解读：基于深度学习的频域声波方程预条件方法研究**
**一、研究背景与意义**
亥姆霍兹（Helmholtz）方程是表征频率域地震波传播规律的常用数学模型，广泛应用于频域正演模拟、全波形反演和逆时偏移等地球物理领域。高效求解亥姆霍兹方程的关键在于处理离散化后形成的大规模线性系统。然而，该线性系统对应的系数矩阵（常称为“阻抗矩阵”）在特定高频下是病态的，其特征值在复平面上分布于虚轴两侧，部分甚至接近零点，导致矩阵具有不定性、非对称性和非厄米性。这些不利的数学特性使得阻抗矩阵在某些常见频率下趋于奇异，给线性系统的快速稳定求解带来巨大挑战，从而限制了频域建模的效率。
为了利用阻抗矩阵的稀疏结构并节省计算成本，迭代法因其计算复杂度低、内存需求少而备受关注。其中，Krylov子空间方法，特别是稳定双共轭梯度法（BiCGSTAB），因其能高效处理大规模稀疏线性系统且适用于非厄米不定系数矩阵而被广泛应用。然而，受限于阻抗矩阵的严重病态条件，直接采用BiCGSTAB等方法求解线性系统可能收敛缓慢，甚至异常中断而无法获得可靠的高精度解。
预条件技术常被用来改善迭代过程的收敛性和鲁棒性，从而加速大规模稀疏线性系统的求解。有效的预条件子与迭代方法结合，可以从数学上缓解线性系统的病态特性并减少迭代步数。目前，已有一些预条件子（如复位移算子M0、不完全LU分解ILU、不精确旋转块三角IRBT预条件子）被用于频域波场模拟。然而，由于阻抗矩阵的不良数学特性，这些传统预条件子难以有效捕捉其逆特征，预条件效果往往不足。因此，开发一种能以相对较低成本尽可能包含阻抗矩阵逆特征的新型预条件子，对于提高频域建模效率至关重要。
深度学习作为机器学习的一个专门分支，通过训练多层神经网络从数据中提取高级抽象特征和进行外推，近年来为解决波动方程问题提供了新的潜力。本研究进一步扩展了深度学习算法的适用性，将其强大的表达能力用于开发有效的预条件迭代方法，以加速频域声波波场模拟。具体而言，研究人员旨在利用深度学习捕捉阻抗矩阵的逆特征来构建有效的预条件子。该研究的主要创新在于将深度学习与经典预条件迭代相结合，这种结合具有一定的优势：首先，通过将训练良好的网络中所包含的阻抗矩阵逆特征融入迭代，可以显著提高BiCGSTAB的稳定性和收敛性，这是传统预条件子因阻抗矩阵严重病态而难以充分实现的；其次，与一些在训练阶段缺乏严格波场结果误差控制的现有基于学习的方法相比，深度学习预条件方法的精度可以通过迭代停止准则得到数学保证。因此，该策略能迫使BiCGSTAB迭代更快、更稳定地收敛到满足精度要求的真实解，从而增强频域波场模拟的实用性。本论文发表在《Artificial Intelligence in Geosciences》期刊上。
**二、关键技术方法概述**
研究人员开展了一项结合深度学习与经典数值迭代以加速频域声波方程求解的研究。核心是构建一个数据驱动的预条件子。首先，采用四阶差分格式对含完美匹配层（Perfectly Matched Layer, PML）吸收边界条件的频域声波方程进行离散，得到大规模稀疏线性系统及其阻抗矩阵。随后，选择并修改了UNet这一卷积神经网络架构作为学习工具，通过扩大卷积核、使用双曲正切激活函数、以卷积代替池化进行下采样、使用插值进行上采样以及引入跳跃连接等方式增强其性能。训练数据集的构建是关键，它结合了迭代过程中产生的残差向量和随机噪声，以反映阻抗矩阵的逆行为，并确保数据的多样性和鲁棒性。数据集生成利用了稀疏矩阵-向量乘法，成本可控。网络训练采用监督学习方式，以均方误差（Mean Squared Error, MSE）作为损失函数，使用自适应矩估计（Adam）优化器进行参数优化，并采用了阶梯式学习率调度策略。训练好的网络模型被嵌入到预条件的BiCGSTAB迭代算法中，替代传统求解广义残差方程的过程，直接通过前向传播预测预条件步骤所需的向量，从而形成了深度学习预条件的BiCGSTAB（UNet-BiCGSTAB）方法。
**三、研究结果**
研究人员通过多个数值算例验证了所提UNet-BiCGSTAB方法的有效性，并与无预条件的BiCGSTAB（None-BiCGSTAB）、M0预条件的BiCGSTAB（M0-BiCGSTAB）以及ILU预条件的BiCGSTAB（ILU-BiCGSTAB）进行了比较。评估指标包括迭代步数、计算时间和内存使用量。
**3.1. 超参数选择分析**
在波场模拟之前，研究人员探讨了影响深度学习预条件子性能的关键超参数——数据规模和训练周期数。实验表明，随着训练数据规模的增加，UNet捕获的逆特征更充分，预条件效果逐步提升，收敛速度加快。同时，训练周期数的增加也显著增强了网络模型的学习能力，降低了所需迭代步数。当训练周期达到300时，损失函数趋于稳定，表明训练已充分。
**3.2. 均匀介质模型**
对于均匀介质问题，UNet-BiCGSTAB在所有测试频率下均表现出最优的收敛性能，其迭代步数和计算时间均远少于其他对比方法。生成的单频波场快照和通过逆离散傅里叶变换合成的时域波场快照均符合物理规律，且无明显的数值频散。与解析解的波形对比进一步证实了该方法的准确性。在多源问题中，虽然网络训练是一次性开销，但随着源数量的增加，其分摊到每个源的平均成本迅速下降，整体计算效率优于传统方法。网络的特征图可视化显示，UNet模型很好地刻画了阻抗矩阵的逆特征。
**3.3. 两层介质模型**
对于两层介质模型，UNet-BiCGSTAB同样展现出明显的优势，具有最少的迭代步数和计算时间。收敛曲线明确显示了该求解器优异的收敛性和稳定性。生成的波场快照正确反映了界面处的波传播现象。
**3.4. Marmousi模型**
在更为复杂的Marmousi速度模型中，UNet-BiCGSTAB依然保持了最高的效率。生成的波场结果准确，与高精度近解析离散方法（Nearly Analytic Discrete, NAD）的基准解对比，波形高度吻合，验证了该方法在复杂介质中表征波场细节的能力和可靠性。
**3.5. BP2004模型**
在更复杂、更真实的BP2004模型中，UNet-BiCGSTAB方法仍然有效且准确，其迭代步数和计算时间均显著少于其他方法。生成的波场快照表明该方法能够有效刻画复杂的波场信息，进一步证实了其可行性和实用性。
**四、讨论与结论**
**4.1 讨论**
与传统方法相比，由深度神经网络生成的预条件子更容易摆脱阻抗矩阵的不利特性，缓解频域正演过程中线性系统的病态条件。同时，深度学习算法与经典预条件原理的结合使得神经网络训练任务相对轻量，易于避免过拟合。这两点构成了构建有效求解器的有利条件，从而提高了频域波场模拟的效率。
对于深度学习预条件迭代方法，网络架构和超参数的选择至关重要。本研究尝试了多种架构，最终UNet在众多卷积神经网络中脱颖而出，适用于学习大规模矩阵的映射特征。在超参数选择方面，除了数据规模和训练周期数，合理的学习率设置也至关重要。研究人员采用了动态调整策略，最终确定初始学习率为4e-5，并每100个训练周期减半。
值得注意的是，近年来出现了一系列基于深度学习求解偏微分方程的方法，如物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）、深度算子网络（DeepONet）和傅里叶神经算子（Fourier Neural Operators, FNOs）。这些方法通常采用端到端的学习框架来直接逼近偏微分方程的解或算子映射。而本研究侧重于构建数据驱动的预条件子以加速大规模频域线性系统的迭代求解。由于两类方法在研究目标、求解范式和评估标准上存在差异，在统一的实验设置下直接比较可能无法完全反映各自的特点和优势。尽管如此，本研究提出的方法与上述端到端神经偏微分方程求解器是互补的。该方法可以作为预条件模块融入迭代求解框架，而无需改变底层的物理建模或数值离散过程，从而在保持传统数值方法可解释性和数值稳定性的同时，提高大规模问题的计算效率，尤其是在高精度迭代求解场景中。
未来工作将利用阻抗矩阵的元素分布特征来降低整体训练成本，同时考虑对相似的学习任务（如相邻频率或波速情况）进行分类，并采用迁移学习等更复杂的策略来减少完整训练过程的次数。此外，还将进一步优化训练数据以提高网络模型的性能，并持续探索更高效、更合适的网络架构，以使深度学习预条件方法能够适用于更复杂的介质和地震勘探问题。
**4.2 结论**
本文提出了一类用于频域声波波场模拟的深度学习预条件BiCGSTAB方法。研究人员采用一系列卷积核对阻抗矩阵的逆进行特征提取，然后通过训练良好的网络形成有效的预条件子，以加速求解波动方程离散化后的线性系统。由于网络模型中包含了充分的逆特征，预测可以在预条件过程中持续提供一系列有利的“正确”方向，从而使相应的迭代展现出优异的收敛性和鲁棒性。值得一提的是，本研究中的训练原理依赖于波动方程的物理信息，这为网络训练实现可靠的预测结果提供了积极的约束。此外，这项研究可被视为一种启发式的范式，表明预条件子的构建方式不仅限于矩阵，UNet的参数化也提供了一种可行的替代方案。多个代表性介质的数值算例表明，UNet-BiCGSTAB与其他经典方法相比，性能明显提升。因此，这类基于深度学习的方法在充分提高频域建模效率方面具有充足的潜力。
