MSAF-Net：MQ-RBF插值中形状参数的自适应预测模型

《IEEE Access》：MSAF-Net: An Adaptive Prediction Model for Shape Parameters in MQ-RBF Interpolation

　　

多重二次曲面径向基函数（MQ-RBF）因其高插值精度和广泛适用性，被广泛应用于散点数据插值及其他领域。然而，其插值性能高度依赖于形状参数的选择，而传统方法包括试错法和优化算法往往存在计算复杂度高、鲁棒性有限和适应性差等问题。基于径向基函数（RBF）插值误差理论，本研究探索了目标函数几何特征与形状参数之间的非线性耦合关系，并提出了一种基于深度学习的多尺度双分支融合网络，该网络集成了卷积神经网络（CNN）和注意力机制（MSAF-Net）。该模型提取几何特征，增强其非线性表示，捕获函数的全局形态规律和局部精细尺度信息，并通过特征融合实现形状参数的直接预测。实验结果表明，所提出的MSAF-Net显著优于Stacking、MLP-XGBoost、RF等对比模型，达到了0.8887的决定系数（R²）、0.1422的均方误差（MSE）、0.3771的均方根误差（RMSE）、0.1400的平均绝对误差（MAE）以及2.997的相对预测偏差（RPD），具有优异的预测精度和插值稳定性。该方法克服了传统参数选择策略的局限性，为一维MQ-RBF形状参数的自适应选择提供了新方案，并为类似径向基函数的参数优化提供了有价值的参考。

径向基函数（RBF)因其优异的逼近能力、实现灵活性和无网格特性，已被广泛应用于散点数据插值、函数逼近及偏微分方程数值求解等科学与工程领域。Franke在对29种插值方法进行系统比较后指出，多重二次曲面径向基函数(MQ-RBF)在插值精度方面表现优异，已在机械曲面重建、地理空间数据拟合、水文地质场模拟及气动外形逼近等实际工程场景中得到广泛应用。然而，MQ-RBF的插值性能关键依赖于形状参数的选择。传统的形状参数选择策略如试错法和交叉验证法虽在特定应用中取得了一定成效，但其对参数设置的敏感性和较差的稳定性限制了其在复杂任务中的适用性。因此，探索科学可靠的MQ-RBF形状参数选择策略具有重要的理论意义，能够显著提升MQ-RBF在大规模数据和高精度场景中的插值性能。

近年来，国内外学者围绕RBF形状参数确定问题开展了广泛研究，提出了包括试错法、交叉验证法和智能优化算法等多种选择策略。这些方法推进了形状参数的确定，但大多数仍依赖迭代搜索和误差评估，存在计算成本高、参数敏感和稳定性有限的问题。在涉及复杂函数或高精度要求的场景中，传统方法容易产生参数选择错误和插值结果波动，从而限制了MQ-RBF方法的更广泛应用。

根据RBF插值误差理论，插值误差不仅受插值节点分布的影响，还与目标函数本身的内在特征密切相关。函数的特征可直接通过其图像的几何特征反映，不同的几何特征对应不同的函数形态，这种差异对MQ-RBF形状参数的选择产生直接影响。RBF插值误差的上界可表示为‖f-s_f‖_L∞(Ω)≤Ch^s_∞/2‖f‖_Φ，其中f表示原函数，s_f为插值函数，h为插值点密度，C为与f等因素无关的常数，s_∞/2为函数Φ(x)傅里叶变换在无穷远处的衰减率，‖f‖_Φ为原空间中的范数。由此可得出函数几何特征与MQ-RBF形状参数之间存在内在关联，深入探索这两方面的耦合规律可为构建高性能形状参数选择策略提供核心理论基础。

随着数据规模增加、任务复杂度提升以及机器学习技术的进步，研究人员越来越多地将数据驱动方法应用于RBF形状参数选择以增强适应性和建模能力。相关研究表明，结合几何特征挖掘与深度学习能够有效解决参数预测中的适应性和鲁棒性挑战。与传统优化方法需要对每个新函数进行重复迭代搜索不同，深度学习模型具有强大的非线性映射和特征学习能力，能够从函数几何特征与对应最优形状参数之间的关系中挖掘潜在模式。训练完成后，这些模型可直接根据函数的几何特征输出最优形状参数。然而，针对目标函数几何特征与其形状参数之间相关性的研究仍然较少。

为应对这些挑战，研究人员首先采用鲸鱼优化算法(WOA)通过最小化插值误差获取每个函数的最优形状参数，同时提取每个函数的对应几何特征以构建完整的训练数据集。基于此数据集，提出了利用目标函数几何特征并通过卷积神经网络和注意力机制进行形状参数预测的模型，即多尺度CNN-注意力融合网络(MSAF-Net)。该模型采用双分支特征提取架构：第一分支从目标函数中提取31维结构化几何统计特征，包括曲率、轮廓长度和拐点数量等，并通过非线性 nonlinear transformation增强特征表示；第二分支采用多尺度CNN-注意力网络从函数曲线中自适应提取非结构化序列特征，包括曲率变化和局部形态变化。随后，双分支特征在特征层面进行融合，并通过全连接回归头预测最优形状参数。该架构有效捕获了几何特征与形状参数之间的非线性关系，从而实现了形状参数的自适应选择。

MSAF-Net模型包含三个核心模块：结构化几何统计特征分支(SFB)、多尺度CNN-注意力分支和特征融合回归头(FRH)。结构化特征分支处理人工构建的几何统计量，确保模型的稳定性和可解释性；多尺度CNN-注意力分支能够自适应提取全局趋势、局部波动和细微形态变化。这种双分支融合结构消除了单尺度和单路径特征提取的缺陷，通过相互补充充分捕获全局模式和局部细节。

在结构化几何特征处理方面，研究人员引入非线性增强模块，通过构建二次项、交互项和对数变换来加强特征表示。具体而言，对面积和轮廓长度特征应用二次变换，对方差、标准差和均方根特征采用对数变换，并在面积与平均曲率、方差与均方根之间构建乘积交互项，以捕获不同几何属性之间的潜在关系。验证表明，引入非线性增强后，模型的决定系数(R²)显著提升，而均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)和平均绝对百分比误差(MAPE)均明显降低。

多尺度特征提取模块(MCFEM)采用并行三分支架构，分别配备核大小k=3、k=5和k=7的一维卷积层。k=3专注于拐点和极值等细粒度细节，k=5捕获局部峰值变化等中等尺度模式，k=7用于捕获交叉点趋势变化和整体形态模式等粗粒度关联。每个卷积分支的输出依次经过批归一化和Dropout处理，随后引入注意力机制沿时间维度进行加权聚合，自动聚焦于对形状参数预测更关键的局部片段，同时抑制冗余局部信息。消融研究表明，多尺度组合在验证集上达到最高的决定系数、最低的RMSE和MAE，且收敛更快，最终训练和验证损失最低。注意力机制加权聚合策略在所有单尺度和基线多尺度融合方法中表现最优。

在双分支融合方面，结构化分支输出的全局表示z_g∈R^B×64与曲线分支输出的多尺度形态信息z_ms∈R^B×192沿通道维度拼接为融合特征z_m∈R^B×256，通过两层非线性映射的回归头逐步变换为与目标形状参数一致的表示，最终得到归一化预测值c?_norm，再经反归一化获得最终预测形状参数c?。

模型采用Adam优化器，初始学习率为0.001，批大小为16，最大训练轮数为100。为防止过拟合并确保稳定收敛，应用基于验证集R²分数的早停策略，耐心值为10，并自动恢复最优权重；同时采用学习率衰减策略，连续5个轮次性能不改善时学习率减半，最小学习率设为1×10^-7；L₂正则化系数设为0.0005。

在实验验证方面，MSAF-Net与随机森林(RF)、Stacking、MLP-XGBoost、Fusion、MLP-CNN-Dense等模型进行对比。数据集按8:2随机分为训练集和测试集，另用其他类型函数作为独立验证集检验泛化能力。结果表明，MSAF-Net的散点分布最集中于1:1参考线附近，残差无明显系统偏差，R²达0.8887，MAE为0.1400，RMSE为0.3771，MAPE为0.1615，在所有模型中综合表现最优。训练时间271.59秒，预测时间0.9969秒，GFLOPs为0.0087，显存占用0.33 MB，推理速度38.8246 ms，在预测性能与计算开销间达到最优平衡。

数值实验选取特定测试函数，在区间[-5,5]上采样400个点进行MQ-RBF插值。结果显示，MSAF-Net预测的形状参数在所有测试函数上的插值误差均显著低于其他对比方法，验证了其在捕获函数内在模式和准确预测形状参数方面的性能优势，以及在复杂函数插值场景中的可靠性和实用性。

研究讨论与结论部分指出，针对MQ-RBF形状参数选择依赖迭代搜索和缺乏通用方法的问题，基于RBF插值误差理论，利用函数几何特征与形状参数之间的非线性关系，提出了MSAF-Net多尺度CNN-注意力双分支融合模型，实现形状参数的自适应准确预测。研究揭示函数几何特征与最优形状参数之间不存在简单线性对应关系，而是通过复杂非线性耦合关系相联系，单一类型几何特征不足以充分描述其映射规律。MSAF-Net通过双分支结构整合两类特征，能够同时捕获函数的全局趋势和局部几何信息，克服传统单分支模型特征表示不完整和拟合性能不佳的缺陷。实验结果证实MSAF-Net显著优于RF、Stacking和MLP-XGBoost等基线模型，在测试集上R²达0.8887，各项误差指标(MAE和RMSE)最优，同时具有良好的泛化能力、预测稳定性和计算效率。

该方法克服了传统MQ-RBF形状参数选择依赖人工经验或迭代搜索的局限，建立了一维函数自适应形状参数确定的新框架，为几何特征与深度学习技术在数值插值应用中的融合奠定了基础。研究也存在一定局限性：仅使用一维函数数据，方法仅在一维情况下验证分析，多元函数的更复杂几何特征虽可能适用但性能和稳定性需进一步验证；主要针对MQ-RBF，对其他类型径向基函数和非径向基函数的适用性尚未研究。未来工作将拓展至其他常用RBF类型的单变量情形，开发多元MQ-RBF插值的形状参数选择模型，并发展高可解释性的形状参数选择模型。