柔性Stewart平台正逆运动学建模与分析

《PLOS One》：Modeling and analysis of forward and inverse kinematics for a flexible Stewart platform

　　

Stewart平台凭借其高精度、高动态响应及全六自由度空间运动等优势，被广泛应用于飞行模拟器、精密加工等领域。然而，传统刚性Stewart平台受限于伸缩杆结构及运动学求解精度不足等因素，其定位精度难以进一步提高。为解决这一技术难题，本研究提出一种柔性Stewart平台（FSP），并对其正逆运动学求解进行建模与分析。首先，通过引入压电陶瓷（Piezoelectric Ceramics）计算伸缩杆克服动平台及负载惯性所产生的位移损失，基于几何分析与运动学理论建立了精确的逆运动学数学模型。其次，针对牛顿-拉夫森（Newton-Raphson）法及传统反向传播（Back Propagation, BP）神经网络在求解正运动学时存在的效率低、精度差等问题，创新性地提出了一种基于Levenberg-Marquardt（L-M）算法的改进BP神经网络方法。通过构建多层前馈神经网络模型，并利用逆运动学公式生成训练数据集，实现了从杆长到平台位姿的非线性映射，有效避免了传统求解过程的复杂性。最后，MATLAB仿真结果表明：在逆运动学方面，计算得到的压电陶瓷位移补偿范围覆盖27.9 nm至47.4 nm；在正运动学方面，所提改进算法在全域内的位姿预测相对误差控制在0.5%以内，热图中的绝对误差控制在0.02 mm左右。本文针对高精度定位柔性Stewart平台提出的正逆运动学求解方法，在摩擦位移补偿范围及位姿预测精度方面均显著优于传统方法。这项工作不仅为高精度定位技术提供了创新性解决方案，也为工业机器人及精密测量等领域的应用奠定了重要理论基础。

**研究背景与意义**
作为经典的并联机构，Stewart平台自1965年由D. Stewart提出以来，凭借其高刚度质量比、强承载能力、快速动态响应及优异的定位精度等核心优势，已广泛应用于运动模拟、精密制造、航天对接及医疗设备等领域。然而，随着现代工业对定位精度的要求日益提高，传统刚性Stewart平台面临严峻挑战。其结构特性限制了正逆运动学的求解过程，难以满足精密定位的需求。顺应性机构（Compliant Mechanisms）具有无摩擦、无回程间隙、无磨损及整体制造等特性，在精确定位、微纳操作及生物医学工程中得到了广泛应用。这些机构的静动态建模是性能分析与优化设计的核心基础。目前，该领域已建立了较为完善的理论体系。Ling等人[3]系统综述了在小变形与大变形条件下，伪刚体模型（Pseudo-Rigid-Body Model, PRBM）、柔度矩阵法（Compliance Matrix Method, CMM）、梁约束模型（Beam Constraint Model, BCM）及有限元法（Finite Element Method, FEM）等主流建模方法的基本概念、适用性及固有局限。Howell等人[4]和Lobontiu[5]的经典著作为顺应性机构的设计与建模奠定了理论基础。同时，Yong等人[6]、Wang等人[7]及Awtar等人[8]分别针对柔性铰链的精确建模、恒力机构设计以及并联柔性系统的约束设计等专题进行了全面总结。尽管现有关于小变形线性建模的研究相对成熟，但在平衡Stewart平台定位过程中位移损失的计算效率与精度方面仍存在挑战，需要进一步深入研究。Stewart平台的精确定位严重依赖于其逆运动学。通过求解逆运动学，可以确定各驱动支腿的目标伸长量，为实现动平台期望位姿提供理论依据。然而，逆运动学的传统理论推导通常基于理想几何关系，往往忽略了实际系统中存在的各种非线性因素。特别是平台运动时，伸缩支腿需克服动平台的重力，这使其无法到达理想位置，并显著影响系统的实际输出[9–11]。若不考虑此因素，理论杆长与实际所需杆长之间将存在偏差。这些未补偿的误差在平台的六个支腿上累积，最终会损害动平台的综合定位精度。为实现动平台的高精度定位，精确求解Stewart平台的正运动学以确定其实际位姿至关重要。然而，传统数值方法（如牛顿-拉夫森法）在解决此问题时表现出显著的局限性。它们高度依赖初始值，初始值的微小波动极易导致迭代过程陷入非奇异矩阵陷阱[12]。相比之下，传统的反向传播（BP）神经网络方法不依赖于初始猜测，可以通过非线性映射直接从驱动杆长估计动平台位姿，从而在一定程度上改善了对初始值的依赖[13]。然而，这些方法也存在自身局限，包括训练阶段需要大量样本数据集、学习过程耗时，以及在实际预测时收敛速度慢、预测误差大等问题。尽管上述研究方法能够有效解决正运动学问题，但在实际应用中仍存在一定局限性。为有效解决传统刚性Stewart平台正逆运动学中存在的问题，本文提出了一种新型高精度柔性Stewart平台（FSP）。该平台将压电陶瓷贴片与伸缩杆集成。在逆运动学方面，将动平台运动过程中克服平台及其负载重力所产生的物理量描述为压电陶瓷的弹性变形，随后通过计算该变形对运动过程中产生的位移损失进行补偿[14,15]。在正运动学方面，本文创新性地提出了一种基于Levenberg-Marquardt（L-M）算法改进的BP神经网络的动平台位姿参数求解方法，旨在解决伸缩杆长与平台位姿之间的高度非线性关系，为FSP的正运动学计算提供更可靠的解决方案。这项研究不仅为高精度Stewart平台的设计与优化提供了新思路，也通过其提出的位移补偿机制和正运动学求解方法，为并联机构的精密控制理论发展奠定了基础，在精密定位与制造等领域具有重要的应用价值。

**关键技术方法概述**
研究人员为开展研究采用了以下主要关键技术方法：首先，针对逆运动学，提出了一种基于压电陶瓷的位移补偿方法。通过将动平台克服重力导致的位移损失建模为压电陶瓷的弹性变形，并利用胡克定律（Hooke's Law）计算补偿位移，建立了精确的逆运动学模型。其次，针对正运动学，创新性地提出了一种结合Levenberg-Marquardt（L-M）算法的改进BP神经网络方法。该方法构建了一个单隐藏层BP神经网络，输入为六根伸缩杆的长度，输出为动平台的六自由度位姿参数。通过使用逆运动学公式生成2000个非重复样本作为训练数据集，并采用L-M算法进行训练，实现了从杆长到位姿的高效非线性映射。所有仿真均在MATLAB环境中进行，利用其深度学习工具箱构建和训练网络。

**研究结果**
**1. 逆运动学仿真分析**
通过输入FSP的初始位姿参数并利用建立的逆运动学模型进行MATLAB仿真，获得了各伸缩杆的伸长量变化，并成功求解了给定负载条件下的压电陶瓷补偿位移Δ_ci。仿真结果表明，所提方法计算的位移损失范围覆盖27.9 nm至47.4 nm，实现了高精度定位。此外，利用Ansys软件对压电陶瓷堆进行的有限元仿真结果与理论计算值的相对误差为3.68%，验证了所提方案的合理性。

**2. 补偿前后平台可操作度分布与可操作度椭球对比分析**
可操作度（Manipulability）是评价并联机构运动与力传递性能的核心指标。仿真结果显示，在动平台高度为270 mm时，可操作度分布呈现明显的中心对称特征，中心位姿附近可操作度最高，整个工作空间内无接近零的可操作度区域，表明平台设计合理，在指定操作范围内无奇异构型。通过比较中心位姿和边缘位姿在理想状态、有载无补偿状态以及压电补偿状态下的可操作度椭球发现，补偿后椭球的体积和形状均恢复至接近理想状态，尤其是在边缘位姿，性能提升更为显著，充分验证了所提补偿方案在改善平台薄弱环节精度方面的有效性。

**3. 扰动条件下的执行器特性与饱和边界分析**
研究人员分析了三种扰动条件：无非扰动的标称条件、施加200 N轴向阶跃负载扰动以及施加振幅150 N、频率1 Hz的正弦波动扰动以模拟动平台运动产生的惯性力波动。仿真结果表明，在标称条件下，压电陶瓷的平均驱动电压为77.1 V，仅为最大驱动电压的51.4%，留有充足的安全裕度。在阶跃扰动和正弦扰动下，驱动电压峰值分别为108.5 V和100.7 V，均远低于150 V的饱和边界。压电陶瓷的平均轴向力和补偿位移也均在其最大限值之内，且补偿位移随扰动幅值线性变化，验证了所建立的静态补偿模型的正确性。

**4. 正运动学仿真分析**
研究人员比较了牛顿-拉夫森法、传统BP神经网络以及基于L-M算法改进的BP神经网络在求解正运动学时的性能。牛顿-拉夫森法高度依赖初始值，易陷入非奇异矩阵陷阱。传统BP神经网络虽然计算效率显著优于牛顿-拉夫森法，但存在收敛速度慢、测试集均方误差（MSE）不理想的问题。改进的BP神经网络方法有效克服了上述局限性。仿真结果显示，当以逆运动学求解得到的杆长作为输入时，改进算法预测的位姿参数与初始位姿参数的相对误差在全域内控制在0.5%以内，最小相对误差低至8.09×10^?4%，热图中的绝对误差控制在0.02 mm左右，满足了精确定位要求。在计算时间方面，改进的BP神经网络方法也表现出显著优势。

**讨论与结论**
**讨论部分总结：**
本研究对柔性Stewart平台（FSP）的正逆运动学求解进行了深入研究。在运动学求解方面，从逆运动学和正运动学两个维度提出了创新性解决方案，并通过理论分析与仿真实验验证了这些方法的有效性。

**研究结论翻译：**
本文对柔性Stewart平台（FSP）的正逆运动学求解进行了深入研究。在运动学求解方面，从逆运动学和正运动学两个维度提出了创新性解决方案，并通过理论分析与仿真实验验证了这些方法的有效性。关于逆运动学，为解决伸缩杆在运动过程中因克服动平台重力而无法达到预期定位效果的干扰问题，提出了一种利用压电陶瓷计算位移损失的新方法。仿真结果表明，压电陶瓷计算得到的位移损失范围覆盖27.9 nm至47.4 nm。关于正运动学，提出了一种基于Levenberg-Marquardt（L-M）算法改进的BP神经网络的创新性求解方法。仿真结果表明，在保持高计算效率的同时，预测位姿参数与初始位姿参数的相对误差在全域内控制在0.5%以内，且热图中的绝对误差控制在0.02 mm左右，显著提高了求解精度。通过采用创新的正运动学方法和压电陶瓷位移范围补偿技术，本研究验证了FSP在高精度定位领域的优越性能。未来，这项研究可以进一步扩展到其他需要精确定位的工业和科学领域。