概率样本（PS）与非概率样本（NPS）的贝叶斯整合方法

《Stats》：Bayesian Integration of Probability and Non-Probability Samples

　　

研究人员提出了一种在超总体模型框架下整合概率样本与非概率样本的贝叶斯方法。该方法将潜在调查权重与缺失的概率样本结局同时视为未知量，在单一层次的贝叶斯模型中对其进行联合建模，并通过Gibbs采样算法实现后验推断。与朴素贝叶斯自助法估计量及加权回归估计量相比，所提方法能够有效降低估计偏倚，并将潜在权重与缺失结局的不确定性直接纳入后验分布中。该方法应用于BMI数据分析，并通过模拟研究验证了其有效性。

本研究聚焦于调查研究中概率样本与非概率样本整合这一重要统计学问题，探讨了贝叶斯方法在有限总体推断中的应用。随着传统概率调查面临成本上升与应答率下降的双重挑战，非概率样本因其成本低廉且常包含研究结局变量而得到广泛应用。然而，该类样本存在选择偏倚，且缺乏调查权重，导致有限总体推断困难。相对而言，概率样本在已知抽样设计下可提供调查权重，但往往缺乏研究结局变量。单独使用任一数据源均难以实现有效的有限总体推断，这促使研究人员探索将两类样本进行整合的新方法。

现有方法多依赖于两阶段程序：首先在第一阶段估计调查权重或缺失结局，随后在第二阶段将这些估计值视为已知量进行推断。这种处理方式未能充分传播中间估计量中的不确定性。针对这一问题，研究人员开展了一项贝叶斯整合研究，构建了单一框架内同时处理潜在调查权重与缺失概率样本结局的层次贝叶斯模型，并以BMI数据应用及模拟研究验证了方法的有效性，论文发表在《Stats》期刊。

在技术方法层面，研究人员主要采用了以下关键技术路径：基于超总体模型的线性回归框架；针对非概率样本的加权似然与潜在调查权重建模；利用概率样本权重信息通过矩匹配近似确定权重先验分布；对缺失概率样本结局采用先验预测分布处理；以及Gibbs采样算法进行后验计算，并对回归系数和方差参数实施联合分块更新。样本数据来源于包含1867个观测单位的BMI数据集，经划分处理后构成非概率样本（保留BMI、移除权重）与概率样本（保留权重、缺失BMI）。

研究与方法部分

模型设定与比较基准

研究假设结局变量服从线性超总体回归模型，以此链接概率样本与非概率样本。对于非概率样本，研究人员基于潜在调查权重构建加权似然，并通过有效样本量对权重进行调整。具体来说，设w_1i^*为非概率样本第i个单位的原始未观测调查权重，调整后权重定义为w?_1i = (n_1,eff/Σw_1j^*)·w_1i^*，其中有效样本量n_1,eff = (Σw_1i^*)²/Σ(w_1i^*)²。当权重同质时，有效样本量等于实际样本量；权重变异增大时，有效样本量减小，反映不等权重造成的信息损失。对于概率样本，其调整后权重w?_2i = (n_2,eff/Σw_2j^*)·w_2i^*因原始权重可观测而视为固定值。

在权重先验设定方面，研究人员采用对数变换处理：对概率样本的规范化调整后权重取对数，建立与辅助协变量的标准正态线性模型，再通过矩匹配将所得对数正态分布近似为Gamma分布。该近似保持正性，且在Gibbs采样中产生闭式全条件分布，简化计算。非概率样本权重假设具有相似的协变量结构关系。同时，对缺失的概率样本结局，利用从非概率样本估计的超总体模型构建先验预测分布，但不同于直接替换，而是通过联合后验分布综合两类信息。

研究同时设立了两个比较基准：朴素贝叶斯自助估计量（Naive）与加权回归估计量（REG）。朴素估计量直接合并两类样本的观测结局，忽略抽样机制与调查权重；REG估计量仅基于非概率样本进行加权回归，将调整后权重视为固定值，不纳入概率样本信息。

后验推断与计算

研究推导了所有未知量的全条件后验分布，形成了系统的Gibbs采样方案。具体而言，回归系数β的全条件分布为多元正态分布；方差参数σ²的全条件分布为逆Gamma分布；每个缺失概率样本结局y_2i的全条件分布为正态分布，其均值综合了模型预测与当前参数信息；每个调整后非概率样本权重w?_1i在无约束时为Gamma分布，采样后需通过归一化满足校准约束Σw?_1i = n_1,eff。在实施中，β与σ²采用联合分块更新策略：先从边际条件分布采样σ²，再在其条件下采样β。

有限总体均值估计

在超总体模型下，有限总体均值μ_y = N^-1ΣY_i具有条件正态分布。由于无法观测全部总体协变量，研究人员利用概率样本调查权重估计总体协变量均值x?_pop，进而获得μ_y的后验推断。所提贝叶斯方法与REG方法均沿用此框架，差异在于参数获取方式：前者通过Gibbs采样，后者基于非概率样本的闭式后验分布。

BMI数据应用

该部分通过BMI数据应用展示所提框架。数据集包含1867个样本单位，变量包括县（County）、样本类型标识（NPS_PS）、观测序号（Obs）、年龄（Age）、种族（Race）、性别（Sex）、BMI及调查权重。研究人员将完整数据划分为非概率样本（移除权重）和概率样本（缺失BMI），以模拟实际数据整合情境。

通过三种方法的应用比较发现：朴素估计量因未考虑抽样机制而高估总体均值；REG估计量部分校正了偏倚；所提贝叶斯方法通过显式建模潜在权重和缺失结局的不确定性，产生了更低的估计值，表明其对选择偏倚的更强校正能力。MCMC诊断显示Gibbs采样器收敛良好，主要参数的有效样本量均不低于1000，Geweke诊断p值均大于0.05。

模拟研究

模拟设计参考Nandram和Rao（2021）的研究，生成规模为10000的有限总体。三个协变量中，x₁服从标准正态分布，x₂和x₃为具有不同概率参数的Bernoulli变量。结局变量来自混合正态模型，通过调节参数δ控制BMI与协变量的相关性强度，考虑δ = 0.1, 0.3, 0.5三种情形。

非概率样本通过Poisson抽样生成，样本量考虑约800（场景1）和400（场景2）两种情况；概率样本采用随机系统PPS抽样，样本量分别为200和100。估计性能通过绝对相对偏倚（ARB）、后验均方根误差（PRMSE）、经验覆盖概率（Cov）及平均区间宽度（Wid）评估。

模拟结果显示：朴素估计量在所有设置下均存在最大偏倚和PRMSE，覆盖概率接近零；REG和所提贝叶斯方法显著改善了点估计和区间估计性能。所提贝叶斯方法通常具有更小的ARB和PRMSE，以及更高的覆盖概率，但区间宽度相应较大。样本量减小时，不确定性指标普遍增大。值得注意的是，由于总体规模N远大于σ²，95%最高后验密度（HPD）区间较窄，且从贝叶斯角度构建的置信区间与频率学派的覆盖概率评价存在范式差异，较低的经验覆盖概率并不必然意味着贝叶斯推断质量差。

讨论与结论部分

研究结论指出，本研究提出了一种整合非概率样本与概率样本的贝叶斯框架，通过层次贝叶斯模型联合建模潜在调查权重和缺失概率样本结局。模拟研究表明，联合建模策略能有效降低非概率信息性抽样导致的偏倚，较仅基于非概率样本的REG方法具有更优的偏倚控制和覆盖性能。BMI数据应用显示，所提方法产生的估计更接近基于完整数据的加权总体汇总统计量，且通过传播不确定性获得了更为审慎的推断结果。

同时，研究也指出了若干局限与未来方向：当前模型假设的正态性可能在结局分布呈现偏态或厚尾时受限，需要更灵活的贝叶斯模型；非概率调查中普遍存在的测量误差问题尚未纳入框架，可借鉴Sen和Lahiri的研究进行扩展；贝叶斯半参数扩展如基于Dirichlet过程的混合模型、stick-breaking先验等也是值得探索的方向；此外，更复杂抽样设计和层次总体结构的扩展亦有待进一步研究。总体而言，该研究为调查统计中多元数据源的贝叶斯整合提供了重要理论基础和实践参考。