用于散点数据插值的径向基函数归一化分解方法：综述

《Mathematics and Computers in Simulation》：Radial basis function partition of unity methods for scattered data interpolation: A review

　　罗伯托·卡沃雷托|亚历山德拉·德·罗西

摘要：径向基函数方法是最灵活、最精确的无网格工具之一，可用于散点数据近似以及偏微分方程的数值求解。全局径向基函数插值的主要缺点在于，当数据集较大或核函数接近平坦时，可能会产生密集且条件数不佳的线性系统。因此，人们开发了局部化变体，以在保持高精度的同时提升可扩展性。在此背景下，径向基函数单位分解方法作为一种极为有效的策略应运而生——它通过将计算域划分为相互重叠的子域或块，每个块上构建局部径向基函数近似值，再利用紧支集权重函数将这些近似值进行融合，从而形成整体近似函数。本综述主要聚焦于用于散点数据的径向基函数单位分解插值方法。首先回顾全局径向基函数插值及传统单位分解方法的基本理论，接着介绍径向基函数单位分解插值框架，包括规则覆盖结构的构建、权重函数设计、局部近似值的生成以及整体插值函数的组合。文中还探讨了收敛速率、稳定性、条件数以及形状参数和块半径等理论特性。综述的很大一部分内容涉及算法层面问题，如节点集与覆盖结构的生成、快速邻居搜索、稳定评估技术及预处理方法，以及参数选择与自适应策略。以偏微分方程为应用对象的径向基函数单位分解方法，包括配置法、最小二乘法和直接法，也被视为同一局部化原理的重要扩展与应用。最后，本文总结了近期的一些发展趋势，如自适应和各向异性径向基函数单位分解算法、数据驱动与贝叶斯参数调优、数值积分方法、基于图与流形的方法扩展、非线性和有理型单位分解公式，并指出了若干尚未解决的问题及未来的研究方向。

引言：从散点数据样本重建多变量函数的问题广泛应用于地球科学、计算机图形学、工程设计、图像处理、计算物理学、机器学习以及人工智能等领域。基于多项式或样条的传统近似方法通常依赖于结构化网格或张量积网格，而在复杂几何形状、存在移动边界或不断变化的界面情况下，这类网格难以构建或维护。无网格方法则通过直接处理节点集来克服这些难题，无需显式的连接关系，相关文献可见[1][2]。在各类无网格方法中，径向基函数方法起着核心作用。自哈代提出多二次插值理论[3]以及谢泼德提出逆距离加权方案[4]以来，径向基函数插值已发展为一套完善的理论体系，也成为用于散点数据近似及偏微分方程数值求解的强大数值技术，相关文献可见[5][6][7][8][9][10][11]。在全局径向基函数框架下，插值函数表现为以所有数据点（或节点）为中心的径向核函数之和。通常这种情况下会形成密集的线性系统，其计算成本会随着节点数的增加而呈二次或三次方增长，且当节点密度增大或无限平滑核函数的形状参数趋近于零时，系统的条件数也会恶化。对于规模较小到中等的 数据集，这种做法尚可接受，但许多现代应用需要数十万甚至上百万个节点，此时全局方法已不再实用，相关文献可见[12][13][14]。为应对这些挑战，人们开发了多种局部化无网格方法。重要的例子包括局部和多步径向基函数插值、由径向基函数生成的有限差分方法、移动最小二乘法以及基于径向基函数的单位分解方法，相关文献可见[1][15][16][17][18][19]。这些方法的核心思想都是用多个小型局部近似问题替代一个大型全局近似问题，但它们在输出结果及适用范围上存在差异。当需要局部模板或稀疏微分矩阵时，尤其是用于偏微分方程离散化时，局部径向基函数方法和径向基函数有限差分方法尤为有效。移动最小二乘法类方法则提供了灵活的局部多项式或准多项式拟合机制，在数据平滑、几何处理以及需要对含噪声或不平滑数据具有强鲁棒性的应用场景中很有优势。相比之下，径向基函数单位分解方法通过将计算域划分为相互重叠的块，在每个块上构建局部径向基函数近似值，再利用单位分解函数将各局部近似值进行融合，从而构建出全局定义的近似函数。这使得径向基函数单位分解方法特别适用于大规模数据集的散点数据插值和代理建模，因为它在保留全局插值结构的同时，降低了计算成本，且相比全局径向基函数插值具有更好的条件数，相关文献可见[1]。径向基函数单位分解插值最初是从近似理论角度发展起来的，与快速计算径向基函数及紧支集核函数有关[19]，同时也从数值计算角度被发展为一种适用于二维和三维大规模散点数据集的可扩展工具[20][21]。在过去十年中，关于径向基函数单位分解方法的设计、分析及实现的文献日益增多[22][23][24][25]，同时也有大量研究致力于其在欧几里得空间及流形上求解偏微分方程的应用[16][26][27][28]。本综述旨在对日益丰富的径向基函数单位分解方法相关文献进行系统梳理与整理，从理论基础、算法发展、实现问题以及最新应用等方面提供统一的视角。早期的专著和入门书籍对径向基函数近似、基于核函数的近似方法以及无网格方法进行了全面阐述[1][2][8][29][30]，而一些综述文章则探讨了快速计算径向基函数、径向基函数近似的计算特性、局部径向基函数方法、径向基函数有限差分方法或形状参数选择等相关主题[14][17][19][31]。与这些文献不同，本综述专门聚焦于径向基函数单位分解插值及其密切相关的径向基函数单位分解方法形式，将理论、条件数与稳定性问题、参数选择策略、实现细节、文献中的基准测试结果、偏微分方程相关公式以及近期的发展成果，如自适应、各向异性、贝叶斯/数据驱动、非线性、有理型、基于图与流形的单位分解方法扩展等，整合在一个框架之下。因此，本综述既可作为新研究人员的入门指南，也可为从事散点数据近似、无网格方法及偏微分方程数值计算领域的专家提供参考。尽管本文主要关注径向基函数单位分解插值，但由于偏微分方程方法同样依赖于单位分解局部化原理来构建试验空间、稀疏配置或最小二乘系统以及直接的局部微分公式，因此也将其作为该插值框架的重要扩展和应用加以讨论。具体而言，我们的目标如下：•介绍全局径向基函数插值和单位分解方法的基本概念，重点阐述与径向基函数单位分解方法最为相关的方面；•以统一的方式呈现径向基函数单位分解插值的公式体系，包括覆盖结构与权重函数的构建、核函数的选择及局部多项式补充，以及整体插值函数的组合；•总结目前关于径向基函数单位分解方法收敛性与稳定性的已知理论结果，重点分析覆盖结构的规则性、节点分布及核函数参数的影响；•探讨算法与实现方面的问题，包括邻居搜索的数据结构、基于块或单元的分区方式、形状参数选择、稳定评估策略以及自适应细化方法；•作为插值框架的扩展，综述用于偏微分方程的径向基函数单位分解方法形式，包括配置法、最小二乘法和直接法，并结合文献中的典型应用及数值计算结果进行说明；•总结近期的发展动态与尚未解决的问题，包括自适应和各向异性单位分解方案、贝叶斯与数据驱动的参数调优方法、数值积分规则、基于图与流形的单位分解方法扩展，以及非线性和有理型单位分解公式。本文的结构如下：第2节回顾全局径向基函数插值的基本背景；第3节简要介绍数值分析中的单位分解方法；第4节阐述径向基函数单位分解插值框架及其常见的算法变体；第5节讨论其理论基础；第6节探讨插值方法的算法问题及实际实现要点；第7节则讨论作为同一单位分解框架扩展的用于偏微分方程的径向基函数单位分解方法形式，包括在欧几里得空间和曲面上的配置法、最小二乘法及直接法；第8节介绍近期的发展趋势与应用案例；第9节最后总结并展望未来研究方向。

章节摘录：

全局径向基函数插值：本节简要回顾全局径向基函数插值的经典理论，更全面的论述可见[1][8][29][30]。

单位分解方法：单位分解方法是一种从局部构建模块出发来构造全局近似值的通用方法。这一理念源自分析学与微分几何中的单位分解思想，在数值方法中被广泛应用，其中最著名的便是单位分解有限元方法[43]。

径向基函数单位分解插值：公式与变体：我们现在描述如何在Ω?Rd空间中对散点数据构建径向基函数单位分解插值函数。虽然我们主要讨论插值问题，但这些方法的大部分要素也可应用于偏微分方程的近似与配置问题。

径向基函数单位分解插值的理论特性：本节总结了一些关于径向基函数单位分解插值在收敛性、近似稳定性、条件数以及误差估计方面的重要理论结果。详细的证明及其他结果可参考[19][22][23][30]。

算法层面与实现问题：高效且可靠的实现是径向基函数单位分解方法得以成功应用的关键。本节总结了相关的核心算法组件及设计考量。

用于偏微分方程的径向基函数单位分解方法：除了纯粹的插值应用外，径向基函数单位分解方法也被成功应用于偏微分方程的数值求解。在这一应用场景中，根据微分算子的表示方式以及离散方程的约束方式，可分为三种概念上相近但有所差异的公式形式。•在配置型径向基函数单位分解方法中，首先构建形式如(5)所示的可微全局单位分解试验函数，然后将该函数代入强形式微分算子中。关于偏微分方程……

近期发展与应用：本节介绍了径向基函数单位分解方法研究领域的若干最新趋势与应用案例。

结论与未来展望：径向基函数单位分解方法为散点数据插值提供了一种强大且灵活的工具，正如第7节所论述的，它还可用于偏微分方程相关的应用领域。通过结合径向基函数的近似能力与单位分解方法的局部性及可扩展性，这类方法有效缓解了全局径向基函数插值在处理大规模数据集及复杂几何形状时的诸多局限性。不过，这些优势并非自然而然就能获得，需要在对覆盖结构设计、局部近似空间等进行精心权衡的基础上才能实现。