具有Neimark-Sacker分岔特性的分数阶双环交叉忆阻神经网络的动力学行为与应用：同步与图像加密

《Neural Networks》：Dynamical Behavior and Applications of Fractional-Order Bicyclic Crossed Memristive Neural Networks with Neimark-Sacker Bifurcation: Synchronization and Image Encryption

　　冯斌帅|刘泽宇|冯景轩|陈国华

摘要：本研究提出了一种分数阶NbOx忆阻器模型，并以此为基础构建了一种新型的分数阶双环交叉忆阻神经网络。分析了该神经网络的动态行为与放电模式，重点研究了由分数阶参数引发的Neimark-Sacker分叉现象：研究表明，通过保持系统参数不变仅改变分数阶值，即可引发Neimark-Sacker分叉。该网络的混沌特性与分叉现象被用于一种新的图像加密算法中，该算法通过了多种安全性测试。此外，还设计了一种同步控制器，用于调控其他神经网络生成特定的混沌序列，以此逼近所提神经网络产生的混沌序列。

引言：5G等通信技术以及计算机网络的快速发展，推动了包括音频、视频和图像在内的多媒体数据传输量的激增（Liu等人，2025）。然而，如此大量的信息流带来了严重的隐私和安全挑战。因此，确保数据传输的安全已成为研究的重要领域（Zhou等人，2025）。混沌系统因其内在的不可预测性、对初始条件的极度敏感性以及有界的随机行为，被广泛视为加密算法中生成加密密钥流的理想平台。近年来，已有许多基于混沌系统的图像加密方案被提出（El-khanchouli, Joudar, Sayyouri, 2025; Feng, Liu, 2025; Gao, Zhang, 2024; Wu, Tian, Chen, 2026; Yu, Yin, Shi, Hu, 2025）。相应地，密码分析领域也对分析和破解这些加密方案表现出越来越大的兴趣（Amiri, Zaied, 2025; Singh, Thingbaijam, Patgiri, Singh, 2024; Wen, Lin, Yang, Chen, 2024; Zhou, Yu, 2025）。

神经元电化学（Dorsett等人，1973）及突触动力学方面的进展，推动了各种计算模型的发展，用以模拟神经动态（FitzHugh，1961；Hodgkin, Huxley，1952；Hopfield，1982）。这种方法已成为模拟生物行为的有效策略。这些神经元模型能够产生多种放电模式，如稀疏脉冲爆发、持续放电以及混沌放电模式（Liu, Mou, Zhang, Cao, 2024；Tavanaei, Ghodrati, Kheradpisheh, Masquelier, Maida, 2019；Zhou, Sun, Wang, Yao, 2024）。近期，关于分数阶神经网络的稳定性分析与分叉行为的研究也不断涌现（Achouri, Aouiti, 2025；Aouiti, Jallouli, 2022；Zhang, Xiao, Cao, Zheng, 2022b）。Aouiti等人（Aouiti等人，2026）研究了具有不连续激活函数的忆阻分数阶模糊神经网络的耗散性与准投影同步问题。Wu等人（Wu等人，2025）则研究了分数阶神经网络中与分数阶相关的Neimark-Sacker分叉现象。实际上，以往的研究多分析的是由神经网络系统参数引发的N-S分叉，而非分数阶带来的分叉。与分数阶相关的N-S分叉研究仍相对较少，这为本研究提供了重要动力，促使我们在基于分数阶的神经网络中发现了此类分叉现象。

环状拓扑结构在自然界和工程领域普遍存在，比如在蛋白酶（Rohrwild等人，1997）、环状RNA（Misir等人，2022）、石墨烯（Sethi等人，2021）以及超材料吸波材料（Qin等人，2025）中都有体现。近年来，神经科学研究中也发现了环状结构，它们与多种生物机制相关（Buhl, Kottler, Hodge, Hirth, 2021；Herranz, Pardos, Boyle, 2013；Kno¨ll等人，2006）。与仅通过单个神经元相连的拓扑结构相比，共享多个神经元的双环交叉结构具有更高的信息传输效率（Gao, Chen, Xie, Chang, Cohen, Zhang, 2018；Wedeen, Rosene, Wang, Dai, Mortazavi, Hagmann, Kaas, Tseng, 2012）。从生物学角度看，神经网络之间的突触交叉耦合表现为网络电路中的相互连接（Minati，2018；Sharma, Tiarks, Haight, Bassuk，2021）。双环交叉神经网络作为最简单的多环交叉结构之一，具有重要的研究价值。

忆阻器这一概念最初由Chua提出（Chua，1971），随后也被成功制造出来（Dmitri B. Strukov和Williams，2008）。Chua进一步发展了识别忆阻器的方法（Adhikari等人，2013）并分析了它们的特性（Chua，2015）。将具有固有非线性特性的忆阻器融入混沌系统，可产生更为复杂的非线性动态行为（Itoh, Chua，2008；Zhang, Li, Zheng, Wang, Zeng, Peng，2022a）。同样，忆阻器也可有效地整合到神经网络中。事实上，这一方法已在学术研究中得到应用。局部被动忆阻器能够模拟神经元间的突触特性，而局部主动忆阻器则可再现神经元的主动脉冲功能（Chua，2013）。Duan等人（Duan等人，2020）开发了一种忆阻器神经元模型，相较于简单的点型神经元模型，它具备更复杂的神经元功能，包括XOR运算以及不同树突输入间的乘性增益调节功能。Yao等人（Yao等人，2023）证实忆阻器可以模拟化学突触的动态行为。Zhang等人（Zhang等人，2025）利用忆阻器来模拟神经突触和外部电磁辐射，构建了一个忆阻神经网络。当调节忆阻器参数或外部电流时，该系统会在脉冲爆发模式与脉冲放电模式之间切换。Lin等人（Lin等人，2025）将两个忆阻器结合到一个神经元模型中，从而产生了复杂的多蝴蝶混沌吸引子。通过调整参数可灵活控制吸引子中的蝴蝶数量，而改变初始条件则能产生共存的吸引子。Lu等人（Lu等人，2026）基于猫脑拓扑结构，利用忆阻神经元模型构建了一个猫脑神经网络。研究结果表明，调节忆阻突触参数可提升网络同步性，而且同步程度与能量消耗之间存在显著的负相关关系。

分数阶微积分由于其固有的记忆效应和非局部特性，非常适合用来描述生物神经网络中的长期记忆和遗传现象。这一特点推动了人们将分数阶微积分引入神经网络模型，以更真实地模拟大脑活动，并为实际应用寻找解决方案（Du, Xiao, Qiu, Lu, Cao, 2025；Guo, Yin, Hu, Ren, 2020；Teka, Marinov, Santamaria, Fidel, 2014）。将分数阶算子引入神经网络，有助于更好地描述癌细胞转分化过程中的动态过程（Karaca，2023）。在离散神经网络中，则采用离散分数阶微积分。Abdeljawad等人（Abdeljawad，2011；Abdeljawad, Baleanu，2011；Mohammed, Abdeljawad, Hamasalh，2021）对离散Riemann-Liouville和Caputo分数阶微积分算子进行了深入研究。对于离散混沌系统，通常通过计算雅可比矩阵来获得李雅普诺夫指数。但在分数阶情况下，对数或指数函数已不再具有记忆特性。雅可比矩阵算法已被扩展到分数阶领域（Wu和Baleanu，2015），这使得能够计算分数阶混沌映射的李雅普诺夫指数。对于离散分数阶系统，已有众多研究提出了各种同步控制方法，包括线性方法（Mozyrska和Wyrwas，2015）和非线性方法（Chen和Liu，2012）。针对Delta R-L方程，Abu-Saris和Al-Mdallal给出了线性稳定性条件（Abu-Saris和Al-Mdallal，2013）。对于Delta Caputo方程，（?ermák等人，2015）确定了所需的线性控制稳定性条件。此外，Wyrwas等人（Wyrwas等人，2013）还推导出了适用于nabla Caputo方程的非线性控制稳定性条件。

在本研究中，我们提出了将Nbox忆阻器扩展到分数阶的形式，并研究了所得到的分数阶NbOx忆阻器的特性。基于该分数阶NbOx忆阻器，我们构建了一种分数阶双环交叉忆阻神经网络，随后将其应用于混沌同步和图像加密等领域。本研究的创新点与贡献如下：首先，我们提出了分数阶NbOx忆阻器，并证明其在分数阶条件下仍具有局部活性，进而用于神经元模拟；其次，我们设计了这种新型的分数阶双环交叉忆阻神经网络，观察到其中存在的超混沌现象、不同的神经元放电模式，以及与突触权重和分数阶相关的N-S分叉现象；再次，我们提出了一种混沌同步方法，使得其他神经网络能够生成与所提神经网络相似的混沌信号；最后，我们基于该神经网络设计了一种新的图像加密方案，该方案具备较强的抗攻击能力且密钥空间较大。需要指出的是，我们所提出的分数阶双环交叉忆阻神经网络具有与分数阶相关的N-S分叉现象，这一特性在大多数已报道的分数阶神经网络中并不存在。这一特性使得只需调整分数阶值，而无需修改系统参数，就能实现完全不同的动态行为。此外，还使用了分数阶NbOx忆阻器来模拟神经元，从而引入了更为丰富的非线性动态行为。本文结构如下：第二部分分析分数阶NbOx忆阻器的特性，并给出分数阶双环交叉忆阻神经网络的数学模型及数值迭代方法；第三部分探讨该神经网络的动态行为，包括平衡点分析、混沌现象、N-S分叉以及神经元放电模式；第四部分介绍该神经网络的应用，包括同步控制和图像加密；第五部分总结本文的主要研究成果，并探讨未来研究方向。

基础理论：在本节开头，我们通过公式（1）定义时间尺度（Goodrich和Peterson，2015）。Nb^d^:={b^,b^+1,b^+2,?,d^}，其中b^,d^∈R。

定义1（前向差分）（Goodrich和Peterson，2015）。对于μ? :Nb^→R，我们通过公式（2）定义前向差分算子Δ：Δμ?(τ^):=μ?(τ^+1)?μ?(τ^)，其中τ^∈Nb^。

定义2（R-L求和）（Goodrich和Peterson，2015）。给定μ? :Nb^→R以及0 <ξ^，ξ^阶r-l求和可通过以下公式（3）定义：δb^?ξ^μ?(τ^):=∑t=δτ^?ξ^hξ^?1(τ^,σ^(t))μ?(t)

分数阶双环交叉忆阻神经网络的动态行为与分析：后续所有讨论均基于以下初始值和参数：(x1(0), x2(0), x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),?(0))=(a,2a,5a,3a,4a, 2a, a)，(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8)=(?1.8,1.6, h,1.2,1.6,2,?1.6,?1)，m=0.05，n=1，β=1，k1=?2，k2=?0.01，i1=?0.005，i2=4。激活函数fi(i=1,2,?,6)为tanh函数，所有模拟均在matlab 2025b平台上进行。

混沌同步：在本节中，我们首先考虑一个六维全连接分数阶神经网络，其表达式为公式（20）。cδb^ξ^ya(t))=ag(ya(t?))?ya(t?)，其中a∈r6×6，ya=(y1,y2,y3,y4,y5,y6)，g=[gij]6×6，gij(i,j=1,2,?,6)为激活函数。公式（15）可改写为公式（21）：cδb^ξ^xb(t))=bf(xb(t?))?xb(t?)，其中b∈r6×6，xb=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)，f=[fij]6×6，fij(i,j=1,2,?,6)为激活函数。设e(t?)=ya(t?)?xb(t?)，然后...

结论：本文提出了一种分数阶nbox忆阻器，并验证了它在分数阶域内的局部活性。通过将bcnn与忆阻器模型相结合，提出了分数阶双环交叉忆阻神经网络。研究了该网络的动态行为，包括平衡点处的特征值、超混沌现象、与突触权重和分数阶相关的n-s分叉现象，以及由忆阻器引发的各类神经元放电模式。这些研究为...

credit作者贡献说明：冯斌帅：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，软件使用，资源获取，项目管理，方法设计，形式分析，数据整理，概念构思。刘泽宇：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，资源获取，方法设计，资金获取，概念构思。冯景轩：写作——审稿与编辑，监督指导，方法设计，形式分析。陈国华：写作——审稿与编辑，监督指导，方法设计，形式分析。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了中国陕西省自然科学基金的支持，项目编号分别为2021jq-131、2023-jc-qn-0062、2022jm-013。 分数阶双环交叉忆阻神经网络的动态行为与分析：后续所有讨论均基于以下初始值和参数：(x1(0), x2(0), x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),?(0))=(a,2a,5a,3a,4a, 2a, a)，(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8)=(?1.8,1.6, h,1.2,1.6,2,?1.6,?1)，m=0.05，n=1，β=1，k1=?2，k2=?0.01，I1=?0.005，I2=4。激活函数fi(i=1,2,?,6)为tanh函数，所有模拟均在MATLAB 2025b平台上进行。 混沌同步：在本节中，我们首先考虑一个六维全连接分数阶神经网络，其表达式为公式（20）。cδb^ξ^ya(t))=AG(yA(t?))?yA(t?)，其中A∈R6×6，yA=(y1,y2,y3,y4,y5,y6)，G=[gij]6×6，gij(i,j=1,2,?,6)为激活函数。公式（15）可改写为公式（21）：CΔb^ξ^xB(t))=BF(xB(t?))?xB(t?)，其中B∈R6×6，xB=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)，F=[fij]6×6，fij(i,j=1,2,?,6)为激活函数。设e(t?)=yA(t?)?xB(t?)，然后... 结论：本文提出了一种分数阶nbox忆阻器，并验证了它在分数阶域内的局部活性。通过将bcnn与忆阻器模型相结合，提出了分数阶双环交叉忆阻神经网络。研究了该网络的动态行为，包括平衡点处的特征值、超混沌现象、与突触权重和分数阶相关的n-s分叉现象，以及由忆阻器引发的各类神经元放电模式。这些研究为... credit作者贡献说明：冯斌帅：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，软件使用，资源获取，项目管理，方法设计，形式分析，数据整理，概念构思。刘泽宇：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，资源获取，方法设计，资金获取，概念构思。冯景轩：写作——审稿与编辑，监督指导，方法设计，形式分析。陈国华：写作——审稿与编辑，监督指导，方法设计，形式分析。 利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。>
分数阶双环交叉忆阻神经网络的动态行为与分析：后续所有讨论均基于以下初始值和参数：(x1(0), x2(0), x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),?(0))=(a,2a,5a,3a,4a, 2a, a)，(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8)=(?1.8,1.6, h,1.2,1.6,2,?1.6,?1)，m=0.05，n=1，β=1，k1=?2，k2=?0.01，i1=?0.005，i2=4。激活函数fi(i=1,2,?,6)为tanh函数，所有模拟均在matlab 2025b平台上进行。

混沌同步：在本节中，我们首先考虑一个六维全连接分数阶神经网络，其表达式为公式（20）。cδb^ξ^ya(t))=ag(ya(t?))?ya(t?)，其中a∈r6×6，ya=(y1,y2,y3,y4,y5,y6)，g=[gij]6×6，gij(i,j=1,2,?,6)为激活函数。公式（15）可改写为公式（21）：cδb^ξ^xb(t))=bf(xb(t?))?xb(t?)，其中b∈r6×6，xb=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)，f=[fij]6×6，fij(i,j=1,2,?,6)为激活函数。设e(t?)=ya(t?)?xb(t?)，然后...

结论：本文提出了一种分数阶nbox忆阻器，并验证了它在分数阶域内的局部活性。通过将bcnn与忆阻器模型相结合，提出了分数阶双环交叉忆阻神经网络。研究了该网络的动态行为，包括平衡点处的特征值、超混沌现象、与突触权重和分数阶相关的n-s分叉现象，以及由忆阻器引发的各类神经元放电模式。这些研究为...

credit作者贡献说明：冯斌帅：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，软件使用，资源获取，项目管理，方法设计，形式分析，数据整理，概念构思。刘泽宇：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，资源获取，方法设计，资金获取，概念构思。冯景轩：写作——审稿与编辑，监督指导，方法设计，形式分析。陈国华：写作——审稿与编辑，监督指导，方法设计，形式分析。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了中国陕西省自然科学基金的支持，项目编号分别为2021jq-131、2023-jc-qn-0062、2022jm-013。>