具有时变延迟的基于忆阻器的竞争神经网络预定义时间同步及其在图像加密中的应用

《Neural Networks》：Predefined-Time Synchronization of Memristor-Based Competitive Neural Networks with Time-Varying Delays and Application in Image Encryption

　　颜晨|沙赫诺尔巴努恩·萨赫兰|拉维·钱德伦·穆尼扬迪|蔡作伟

摘要：本文研究了基于时变延迟忆阻器的竞争型神经网络在预定时间内的同步问题。提出了两种新颖且高效的控制策略，以便在用户指定的预定时间内实现同步。这两种控制器都允许灵活选择预定时间，且不受初始状态和系统参数的影响。随后通过两个数值示例验证了理论结果，并展示了所提同步方案的有效性。最后，将所开发的TDMCNNs与PTSy框架应用于图像加密和图像解密任务。数值模拟结果证实了理论结果的正确性以及加密系统的安全性。

引言：竞争型神经网络属于无监督神经架构的重要类别，被广泛用于模式识别、信号处理、优化和控制理论等领域。它们通过神经元之间的兴奋、协调、抑制和竞争来模拟生物神经系统的信息处理过程。1983年，科恩和格罗斯伯格提出了一个CPNN模型，用于模拟神经细胞间的相互抑制现象。在生物神经网络中，当一个神经元被激活时，它会对邻近神经元产生抑制作用，从而形成神经细胞间的竞争关系。CPNNs源自霍普菲尔德网络和细胞神经网络等模型，但更能真实地再现生物神经系统中的侧向抑制现象。在科恩-格罗斯伯格框架的基础上，迈耶-贝塞引入了多时间尺度概念，用以描述CPNNs中的快速和慢速过程，并利用这一模型来模拟大脑皮层认知映射的动态特性。在这种CPNN模型中存在两种不同的状态变化类型：短期记忆用于描述快速的神经活动，而长期记忆则代表缓慢的无监督突触变化，它既描述了神经活动水平的动态变化，也描述了突触变化的动态过程，通过两种时间尺度之间的关系实现相互调节。这些发展推动了关于CPNNs的大量研究，尤其是其动态行为引起了广泛关注，同时同步理论也得到了深入研究。CPNNs在模式识别、优化和控制理论方面具有巨大的潜力和实用价值，值得进一步探索。此外，最近的机器学习研究表明，神经网络、高斯过程回归、图形建模技术以及集成或复合预测方法都是捕捉农业、金融、能源和房地产领域复杂数据中的非线性、不规则和高维依赖关系的有效工具。鉴于这一趋势，本研究从同步控制的视角出发，研究一种动态神经网络模型，利用PTSy来调控复杂的时延忆阻器驱动的竞争型神经网络动态，从而支持安全的图像加密应用。

在生物神经网络中，突触是信息传递的关键部位。通常情况下，突触权重会随着前后神经元兴奋活动的变化而连续变化。然而，传统的人工神经网络往往使用固定的电阻元件来模拟突触，这阻碍了生物真实神经形态系统的构建，也成为脑启发式研究中的一个主要瓶颈。幸运的是，忆阻器的发现为改进人工神经网络提供了新的途径。莱昂·O·楚亚教授于1971年首次提出了忆阻器的概念。忆阻器具有可变电阻、记忆效应、非易失性、纳米级尺寸以及局部活性等特点，其信息存储和处理特性与生物突触极为相似，因此成为模拟突触的理想候选者。近年来，人们越来越关注基于忆阻器的神经网络，这类网络用忆阻器替代传统电阻器来模拟生物突触。与传统神经网络相比，基于忆阻器的神经网络在数据存储、安全通信和信号处理方面具有优势。迄今为止，基于忆阻器的神经网络已经得到了广泛的研究。从神经形态计算和安全通信的角度来看，由于它们结合了非线性神经动态和依赖于记忆的突触行为，这类网络也适用于对延迟敏感且资源有限的智能系统。近期在区域价格预测、租金指数预测、焦煤期货预测以及高频交易量预测等方面的基于神经网络的研究，进一步证明了神经架构在建模非线性和不规则时间模式方面的有效性。因此，为基于忆阻器的神经网络制定PTSy标准不仅对理论上的同步分析具有重要意义，也对潜在的安全通信和自适应智能系统应用具有价值。

随着技术的不断进步，仅局限于单一基于忆阻器的神经网络模型的研究已显得日益受限，因此有必要对这些模型进行持续改进。此外，大多数关于神经网络同步的研究都集中在通用型的基于忆阻器的神经网络上。在这里，我们将研究范围扩展到基于忆阻器的竞争型神经网络，从而拓宽了该类应用的范围，并加深了我们对这类模型的理解。由于神经传导速度的差异以及突触间隙的存在，时间延迟是神经信息传输固有的特征。这些延迟可能导致神经网络的状态发散、分叉，甚至出现不稳定或振荡现象。因此，考虑延迟的动态效应具有重要的理论和实践意义。将时间延迟纳入基于忆阻器的竞争型神经网络中是必要的。

神经网络中的同步是指两个或多个神经网络在不同初始状态下通过相互耦合，其动态行为逐渐趋于一致的现象。存在着多种同步范式，包括渐近同步、反同步、指数同步、有限时间同步、固定时间同步等。在工程实践中，通常更倾向于采用有限时间同步而非无限时间同步。然而，有限时间同步的稳定时间往往取决于初始状态，而实际中获得这些状态较为困难。为克服这一限制，波利亚科夫提出了固定时间同步的概念，即同步时间是一个与系统初始状态无关的常数，可通过网络和控制器参数计算得出，但这需要复杂的计算。同时，由于控制器参数与收敛时间之间通常存在相当复杂的关系，这些计算得出的时间往往超过实际的收敛时间。为进一步应对这一挑战，桑切斯-托雷斯等人提出了PTSt定理。在PTSt定理下，收敛时间不受系统初始状态及其参数的影响，因此PTSy在实际应用中更具适用性。

近年来，研究人员在TDMCNNs的同步问题上取得了若干重要成果。例如，王和张的研究通过开发一种自适应控制方案，实现了具有多时间尺度的MCPNNs的全局指数同步。韩和周的研究通过构建具有可调参数的延迟依赖控制器，解决了比例延迟MCPNNs的有限时间同步问题。赵等人的研究通过构建适当的李雅普诺夫函数，实现了在不同时间尺度下运行的MCPNNs的有限时间同步和固定时间同步。徐等人的研究则针对具有混合延迟的复值MCPNNs的固定时间同步问题，提出了两种新的固定时间稳定性准则。不过，关于TDMCNNs的PTSy研究仍然相对较少。例如，王和 Jian的研究报道了通过引入几种新的预定时间控制器，实现了分数阶MCNNs的PTSy。

由于忆阻器独特的滞回环特性，TDMCNNs往往表现出独特的动态行为，能够生成新的混沌系统。基于TDMCNNs的动态行为，这类网络及其同步控制技术可应用于信息安全领域，如安全通信、图像加密以及伪随机数生成器。目前，通过引入多种影响因素来扩展网络模型，并利用由多个控制变量驱动的控制器来提高加密方案的抗攻击性和密钥空间大小，是基于复杂网络同步的图像加密研究的重要方向。有研究通过利用在DrSy和ReSy阶段生成的同步序列构建RGB密钥流，再结合随机序列进行扰动和XOR扩散操作，实现了可逆解密的彩色图像加密。还有研究通过混合控制实现了DrSy和ReSy的渐近同步，进而从同步误差中构建扩散密钥序列，通过对图像进行两轮三阶密文反馈扩散操作来输出密文图像。另有研究以DrSy和ReSy同步后的状态轨迹作为密钥源，通过行列扰动、像素扩散和多次迭代来获得密文图像，解密端则利用同步后的状态反向恢复原始图像。不过，由于这些方法是渐近同步，因此达到同步的时间并没有理论上严格界定的有限上限，且随着同步误差的增大，解密图像的质量也会下降。随着研究的深入，研究人员还提出了将网络同步与其他加密方法相结合的混合加密方案。例如，有研究利用DrSy生成的混沌序列来产生随机矩阵和扰动索引，同时结合陈的超混沌系统来设定DNA编码和解码规则。

从上述分析可以看出，如果DrSy和ReSy没有同步，即使密钥参数相同，系统的演化轨迹也会完全不同，从而导致无法正确解密。在预定时间内，PTSy控制器可以实现同步。即便存在噪声或延迟，它也能迅速使系统轨迹趋同，从而保证密钥流的一致性。在现实中，通信双方往往地理位置相隔较远，因此传输通信密钥时需要确保安全，传输过程中的微小错误都可能导致无法解密。在这种情况下，运用同步技术来对通信双方的信息进行对齐具有很高的实用性。

受上述观察结果的启发，本研究探讨了TDMCNNs的PTSy问题及其在图像加密中的应用。在神经网络系统中，于预定时间附近采样同步误差序列。为了实现图像加密和图像解密，分别通过HKDF-SHA256算法导出了用于置换-扩散操作和高级加密标准伽罗瓦/计数器模式的子密钥，随后分析了所提加密方案的安全性。本研究的主要贡献如下：（1）基于PTSt引理，研究了TDMCNNs的PTSy问题，通过运用双曲正切函数和逻辑函数，利用李雅普诺夫方法实现了TDMCNNs的PTSy，所建立的PTSy定理显著提高了TDMCNNs的收敛速度。此外，同步时间可以灵活调整以满足实际需求，且实现PTSy的充分条件也易于验证。（2）设计了两种新颖且高效的预定时间外部输入控制器，并建立了合理的条件，以确保TDMCNNs能够实现PTSy。与传统的指数同步、有限时间同步和固定时间同步方法不同，本研究通过控制器参数来调整同步时间，使其不受系统初始状态和系统参数的影响。（3）将TDMCNNs和PTSy控制器整合到图像加密算法中。与Liu等人（2022年）以及You等人（2025年）所采用的常见混沌序列统计加密方案不同，我们的加密算法以预定义的时间同步误差（及其差值）结合系统参数作为唯一的密钥来源。该算法无需依赖长期统计估计，其时间定位清晰、可验证，且具有抗截断能力，同时对采样攻击的抵御能力更强。本文的其余结构如下：第2节介绍系统模型、基本定义及若干重要引理；第3节聚焦PTSy问题；第4节通过两个数值仿真验证理论结果的正确性；第5节提出基于PTSy的IEn和IdE方案；第6节则总结结论并展望未来工作。

符号说明：R表示实数集，Rn表示所有n维实向量构成的集合。对于向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，本文中使用的向量范数定义为∥x∥=∑i=1n|xi|，其中|?·?|表示标量绝对值。函数sign(·)表示符号函数。在本文中，除非另有说明，索引i,j均属于自然数集N={1,2,…,n}。

缩写说明：为便于阅读，本文主要使用的缩写汇总如下：

模型构建与初步分析
考虑TDMCNNs模型：STM模型下有εx˙i(s)=?cixi(s)+∑j=1naij(xi(s))fj(xj(s))+∑j=1nbij(xi(s))fj(xj(s?τ(s)))+Himi(s)；LTM模型下有m˙i(s)=?dimi(s)+fi(xi(s))。其中i,j=1,2,…,n，n为系统中神经元的数量，x(s)=(x1(s),x2(s),…,xn(s))T，xi(s)表示神经元的当前活跃度，fj(xj(s))表示第j个神经元的激活函数。τ(s)表示时变传输延迟，为连续值且满足0?≤?τ(s)?≤?τ，而ε?>?0为STM状态的时间尺度，mi(s)为相应状态量。

同步分析
为实现TDMCNNs模型（1）和（10）的PTSy目标，需在方程（10）中加入以下控制策略：
{ui(s)=?δiei(s)?ωi·sign(ei(s))?∑j=1nkij|ej(s?τ(s))|·sign(ei(s))?εqTpG(s)·|ei(s)|1?q·sign(ei(s)),vi(s)=?lihi(s)?1qTpG(s)·|hi(s)|1?q·sign(hi(s))},
其中G(s)=11?(tanh((∑i=1n|ei(s)|+∑i=1n|hi(s)|)q))2=11?(tanh((∥ei(s)∥+∥hi(s)∥)q))2。控制参数包括δi、ωi、kij和li，而正常数为0??1。

注7：控制器中的函数G(s)经挑选后可与特定需求相匹配。

数值算例
为验证理论结果的有效性，本节给出两个数值算例。
算例1：将2维TDMCNNs模型（1）视为DrSy系统，系统（10）视为ReSy系统，具体参数为：Lj=14，Mj=14，ε=2，ci=5，Hi=di=1，τ(s)=es1+es。各神经元的激活函数定义为fj(x)=14tanh(x)，且满足|fj(x)|≤Mj=14，|fj(x)?fj(y)|≥Lj|x?y|=14|x?y|。方程（1）和（10）对应的初始状态分别为x(s)=?(s)=(?1,2.2,1,?0.6)T，s∈[?1,0]；y(s)=Ψ(s)=(2.5,?3,?2,2.6)T，s∈[?1,0]。

基于忆阻器的权重

图像加密与解密
本节提出一种基于TDMCNNs PTSy目标的IEn加密方案。密钥材料由方程（1）和（10）生成，再结合可逆PD算法及AES-GCM算法来实现加密功能。图11展示了IEn和IdE加密解密的完整流程。DrSy模型（1）、ReSy模型（10）、控制器（41）中的参数值、系统初始状态以及预定义时间Tp均与算例2中所采用的参数保持一致。所提出的IEA方案的详细步骤如下：

结论
我们研究了TDMCNNs系统的PTSy问题。通过运用双曲正切函数和逻辑函数，并借助李雅普诺夫方法，推导出了满足PTSt条件的充分条件。同时提出了两种预定义时间的外部输入控制策略，可加速TDMCNNs的收敛过程，且同步时间可根据实际需求灵活设定。所得到的判定标准易于验证，数值算例也得到了支持，此外还涉及了三维结构的分析内容。

未标注引用
文中缺少对表1、表9以及图6、图12、图13、图22、图23、图24、图25的引用说明。

代码提供情况
在论文审稿期间，如需相关MATLAB实现代码及实验设置，可向对应作者提出合理请求后获取。

人工智能工具使用声明
作者声明，在本文撰写过程中未使用任何人工智能工具。

CRediT作者贡献说明
陈岩：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，软件应用，资源整理，项目管理，方法设计，形式化分析，数据整理，概念构思。Shahnorbanun Sahran：写作——审阅与编辑，结果验证，监督指导，方法设计，资金筹集。Ravie Chandren Muniyandi：结果验证，监督指导，软件应用，资金筹集。蔡作伟：写作——审阅与编辑，可视化，结果验证，监督指导，项目管理，资金筹集。

利益冲突声明
作者声明不存在可能影响本文研究工作的任何已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了湖南省教育厅科学研究重点项目（编号23A0684）的支持。