用于模拟朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程动力学的神经网络框架

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：A neural network framework for modeling the dynamics of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation

　　Sarabindu Dolui|Mohammed Salman
印度班加罗尔562 112，达亚南达萨加尔大学工程学院数学系

摘要
微磁学是一种连续介质理论，用于描述铁磁材料中的磁化动力学，其动力学规律由朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程控制。在本研究中，我们提出了一种基于神经常微分方程的动态神经网络框架，用以建模和预测受朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程支配的磁化动力学。该框架具有诸多量化优势，包括更高的计算效率、无需网格划分以及更出色的处理强非线性动力学的能力。我们将所提方法的性能与传统的数值求解器以及基于图形处理单元加速的微磁模拟软件MuMax3进行了系统比较，结果表明两者具有极好的一致性。我们的研究结果表明，基于神经常微分方程的模型可作为传统数值模拟和微磁模拟的强大补充工具，在非线性自旋电子学领域具有广阔的应用前景。

引言
朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程是现代微磁学的核心基础，它描述了介观尺度上铁磁材料中磁化的非线性耗散动力学过程（Lakshmanan, 2011; Bar’yakhtar and Ivanov, 2015; Dolui and Dwivedi, 2024; Aharoni, 2000）。理解并运用该方程的解对于开发各种关键技术至关重要，这些技术涵盖磁数据存储、自旋电子器件以及新型计算架构的设计。然而，朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程本身具有极高的复杂性，表现为强烈的非线性、磁化强度的非凸约束、多种能量相互作用以及多尺度耗散现象，这些都给数值计算带来了巨大挑战。传统的数值方法，如龙格-库塔法，或是微磁模拟方法，都需要依赖网格划分，并通过时间步进和空间离散化来准确描述快速的磁畴壁运动或涡核旋转等动态过程（Bartels et al., 2008; Cai et al., 2022; Leliaert et al., 2017; Vansteenkiste et al., 2014; Zhang et al., 2023; Babu and Sinha, 2024）。

另一方面，机器学习正逐渐成为推动科学研究的重要力量，它为构建复杂物理系统的高效计算工具提供了可能。在这一领域的一项重要突破就是物理信息神经网络的发展，这类网络将物理定律直接融入到监督学习过程中（Raissi et al., 2019）。后续研究证明了基于神经网络的学习方法在多种工程应用中的有效性，比如人形机器人中的自适应轨迹跟踪、结构系统中的应力集中因子预测，以及利用深度学习和强化学习方法优化区块链共识机制（Villegas-Ch et al., 2025; Trujillo et al., 2025; Rasul et al., 2025）。此外，机器学习在科学发现和材料设计领域的应用也在不断拓展，包括在能源系统中的不确定性感知优化、基于密度泛函理论的电化学材料设计，以及用于分子磁性的机器学习力场模型（Wang et al., 2026; Lei et al., 2026; Chern et al., 2026）。不过，传统的人工智能方法至今仍难以准确捕捉实验磁系统中由基本物理方程所决定的完整动态行为，尤其是那些受到非凸约束影响的非线性动力学过程，而这正是描述磁化现象所必需的（Lippert et al., 2024; Toghranegar et al., 2025; Moumni and Tilioua, 2022; Beltrán-Pulido et al., 2022; Hou et al., 2024）。

针对这一问题，近期在非线性系统识别领域的进展强调了灰箱建模策略的重要性，这类策略通过物理信息驱动的表示方式，将基于物理的公式与数据驱动的学习方法相结合（Burrascano et al., 2024; Du et al., 2025）。此外，为磁化动力学的控制方程寻求解析解也是一项极具挑战性的任务，尤其是在需要实现稳定且精确的长时间积分的情况下。实际上，这类方程的解通常是通过经典的数值方法或微磁模拟软件来近似得到的，而这些方法往往需要对研究域进行精细的空间和时间离散化。近年来，科学机器学习领域的进展推动了神经常微分方程这一强大工具的发展，它为建模和求解连续时间动态系统提供了新的思路（Chen et al., 2018; Havaei et al., 2025; Salman and Mohanty, 2025）。通过用神经网络表示系统状态的时间演化，并利用常微分方程求解器对其进行积分，神经常微分方程能够实现非线性动力学的端到端学习，同时保持时间连续性并提升参数利用效率。

尽管神经常微分方程在物理和工程领域的众多问题中展现出了出色的能力，但将其应用于受朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程控制的磁化动力学研究仍几乎未被探索。从机器学习的视角来看，这一应用场景面临着诸多挑战，包括如何处理受非凸单位范数约束的动力学过程、如何准确处理由进动运动和阻尼效应导致的强烈振荡和强非线性现象，以及如何在训练和推理过程中保持稳定的长时间积分。目前，用于研究磁化动力学的机器学习方法大多依赖于基于物理信息神经网络的求解器，这类方法通过离散层传递信息；或者基于微磁模拟数据或实验数据训练出的数据驱动替代模型（Lippert et al., 2024; Toghranegar et al., 2025; Moumni and Tilioua, 2022; Beltrán-Pulido et al., 2022; Hou et al., 2024）。然而，基于物理信息神经网络的方法往往存在较大的优化开销，且在捕捉完整的非线性磁化动力学方面精度有限；而替代模型则通常缺乏直接的物理可解释性。

为弥补这一不足，本研究提出了一个基于神经常微分方程的框架，用于求解朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程。所提方法采用一种带约束的学习机制，能够自动维持磁化矢量的单位长度约束；同时，损失函数的设计旨在在满足控制方程的要求与符合初始条件之间实现平衡。除了用于正向建模之外，神经常微分方程还通过神经网络来表示系统状态的时间导数，从而用一个取决于当前状态和时间的学习得到的矢量场替代传统常微分方程中的显式右侧表达式（Alouges, 2008; Ge et al., 2024; Zhang and Zhao, 2022）。随后，通过对该学习得到的动力学模型进行时间积分，即可得到系统的演化过程，此时隐藏状态的演化被视为一个连续的过程。因此，所提出的框架为微磁模拟提供了一种既符合物理原理又具有高计算效率的工具，有望应用于实时设备仿真。与基于物理信息神经网络的方法相比，所提模型可以直接学习控制系统动力学的连续时间矢量场，这有助于实现更好的时间一致性、可微的仿真过程以及自适应的积分功能。下文将简要介绍本研究的主要贡献：建立了用于非线性磁化动力学的神经常微分方程框架；引入了保持范数约束的正则化方法以及基于残差的物理学习机制；开展了关于网络架构和求解器参数的敏感性分析；进行了超出训练数据范围的长期外推分析；并在多种物理参数配置下对模型进行了验证。

本文的结构如下：第二部分介绍了微磁模型及其所遵循的朗道-利夫希茨-吉尔伯特动力学规律。第三部分则阐述了所提出的神经常微分方程框架的架构与实现方式。第四部分通过将模型的性能与传统数值方法及微磁模拟结果进行比较，对其进行了严格的验证。最后，第五部分总结了全文内容，并指出了未来研究的潜在方向。

理论模型
铁磁材料的磁行为研究以微磁学原理为基础。在该框架中，铁磁材料中的磁化状态由一个连续的矢量场M(t,x):R+×Ω→R3来表示，其中Ω?R3代表铁磁体所占的体积。设Ms为该材料的饱和磁化强度，那么归一化的磁化矢量可定义为：m(t,x):R+×Ω→S2，此处S2表示R3空间中的单位球面。

神经常微分方程
本节将介绍一种用于求解方程(2.11)的先进深度学习方法——神经常微分方程。传统方法通常采用数值时间积分方案，例如龙格-库塔四阶方法，这类方法需要明确的时间离散化步骤；或者使用微磁模拟工具，如MuMax3，这类工具则依赖有限差分法或有限元法等空间离散化技术。然而，这些方法在处理某些复杂问题时可能存在局限性。

结果与讨论
在本节中，我们对比了使用神经常微分方程框架、微磁模拟方法以及直接的四阶龙格-库塔方法所得到的结果，以此评估所提出的神经网络方法的性能与精度。为了确保所有案例之间的可比性，我们选择了一种具有球形几何结构的钴基铁磁材料作为研究对象。该材料的参数如下：饱和磁化强度Ms=1.35×106A/m，各向异性参数……

结论
在本研究中，我们提出了一种基于机器学习的框架，用于建模描述铁磁元素中磁化动力学的朗道-利夫希茨-吉尔伯特方程。通过与传统数值方法及微磁模拟工具的对比，我们证明了该框架的有效性。研究结果表明，神经常微分方程能够准确捕捉磁化的时间演化过程，同时严格遵循系统所遵循的物理约束条件。

作者贡献声明
Sarabindu Dolui：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，方法论，研究，形式分析，概念构思。
Mohammed Salman：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，方法论，研究。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。