多极限状态下全局动态可靠性的概率守恒解耦方法：理论、算法与数值结果

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Probability-conserving decoupling for global dynamic reliability with multiple limit states: Theory, algorithms, and numerical results

　　周永峰|吕梦泽|李杰

摘要
在动态激励作用下的结构整体可靠性评估往往涉及极为复杂的失效边界以及多种相互作用的极限状态，这使得使用传统的概率积分方法时需要极高的计算成本。本文旨在通过提出一种基于解耦多维概率密度演化方法（M-PDEM）并结合扩展吸收边界条件策略的改进计算框架来应对这一挑战。具体而言，该框架通过将原本在基本随机变量空间中的高维积分转化为在响应空间中定义的一系列一维广义密度演化方程（GDEEs），实现了理论与数值上的解耦。为确保解耦的可行性，本文建立了严格的理论条件，要求残差联合概率密度函数具有可分离性，并且失效域能够分解为超矩形集的有限并集或差集。此外，本文还提出了稳健的三步数值实现方案，包括：（i）基于误差优化的概率空间划分；（ii）使用加权本质非振荡格式（FV-WENO）对GDEEs进行有限体积求解；（iii）针对相关极限状态事件的与、或及一般布尔组合，通过规则进行可靠性指标的聚合。通过包括具有与型极限状态的单自由度振荡器、具有或型极限状态的欧拉-伯努利梁，以及在地震作用下半线性混凝土框架等在内的数值算例验证，所提出的方法能够在保持较高精度（相对误差始终低于1%）的同时大幅降低计算复杂度，且精度受概率空间划分中所用代表点数量的控制。总体而言，这种结合了吸收边界的改进型解耦M-PDEM为涉及多种且可能相互耦合的失效准则的结构动态可靠性问题提供了统一、高效且精确的解决方案。

引言
结构整体可靠性分析对于评估工程结构的安全性至关重要，因为它着眼于系统级失效的概率，而非单独评估各个构件[1]、[2]、[3]。传统的整体可靠性分析方法注重结构系统建模，即将整个结构视为由随机元件构成的互连网络[4]。这种建模方式会导致高维概率积分的出现，其被积函数为基本随机变量的联合概率密度函数，而积分域则由不同系统配置对应的失效区域决定[5]。准确高效地计算这一复杂积分是结构系统可靠性评估中的核心技术难题[6]、[7]。除了直接评估之外，还有一些补充方法可用于给出系统可靠性的上下界[8]，并通过主导模式搜索来识别主要的失效模式[9]。

在现有研究体系中，针对时不变结构系统可靠性的传统方法主要分为两大类：基于解析公式的方法和基于蒙特卡洛模拟（MCS）的方法[10]。诸如割集法和路径界限法之类的解析技术依赖于数学近似或界限来估算系统可靠性[2]、[8]、[11]。尽管这类方法效率较高且能得到封闭形式解，但往往会产生较为保守的估计结果，且在系统变得极为复杂时难以适用[12]。相比之下，基于MCS的方法，包括直接模拟[13]、重要性抽样[14]以及子集模拟[15]，虽然不能保证无偏性，但避免了随机收敛问题[16]。近期的改进提升了处理罕见事件的效率，例如用于子集模拟的优化MCMC核以及序贯重要性抽样方法[17]、[18]，但对于那些失效概率极低的大规模系统，其计算负担依然十分沉重[19]。

在时变系统可靠性分析中，方法上的多样性源于三个关键挑战：（i）具有非平凡时间相关性的随机激励；（ii）诸如退化与损伤累积之类的不断演变的失效机制；（iii）由罕见事件和高维系统描述所带来的巨大计算负荷[20]。因此，早期针对复杂工程装置的系统级风险研究多采用带有方差降低技术的事件树与故障树MCS方法，因为该方法能够清晰地分解系统逻辑，且在失效主要由罕见事件组合引发时尤为实用[21]。与此同时，结构动力学领域则发展出了首次通过概率公式来量化随机激励作用下的时变极限状态穿越现象，从而建立了激励特性与时变失效之间的可解析关联。然而，这些近似方法通常需要理想的响应模型和屏障表示，这限制了其在强非线性或非稳态环境中的应用[22]。随着结构退化与累积损伤效应的重要性日益凸显，马尔可夫链与路径枚举模型为描述离散的损伤状态及突然的失效转变提供了一种自然的方式。这类方法能够明确体现时间演化过程，但也可能存在状态空间爆炸的问题，且对损伤的离散化方式较为敏感[23]。近期的相关研究进一步探讨了更为现实的时变可靠性问题，包括连续退化、突发事件、海洋环境作用，以及气候变化影响下的多物理退化过程[24]、[25]、[26]。

对于那些可以将其组件失效视为独立或弱相关的系统，最小割集近似方法依然具有吸引力，因为它们既高效又易于理解；不过，当存在显著的依赖关系、共同原因效应或强时间相关的退化现象时，这类方法的精度会下降[27]。近年来，随着高保真、高维模型的出现，基于替代模型的策略——通常与稀疏网格、克里金法或自适应学习相结合——被用来减少昂贵极限状态函数的重复计算，从而缓解维度灾难问题[28]、[29]、[30]、[31]。这些策略也被拓展应用于时变和空间变系统可靠性问题，因为在这些情况下，失效域可能会随着结构退化与随机激励而发生变化[32]、[33]。除了对极限状态函数进行替代建模之外，基于物理信息与概率信息的学习方法也日益受到可靠性与系统安全分析领域的关注[34]、[35]。特别是，针对随机动力系统与时变可靠性分析，已经开发出了基于神经网络的概率密度演化方法与概率信息估计方法[36]、[37]、[38]、[39]。总体来看，该领域呈现出明显的趋势：随着时间相关性、依赖结构以及模型维数的增加，系统可靠性分析逐渐从封闭形式近似转向基于模拟、替代模型和学习方法的分析流程，而具体的选择则取决于系统的时变程度、失效事件的稀有性以及可用的计算资源。

另一方面，概率密度演化理论的发展为结构可靠性分析提供了一种新的思路[40]、[41]。通过运用基于概率守恒原理的随机事件描述方法，可以推导出广义密度演化方程（GDEE）[42]，该方程能够描述随机性在结构系统内的整体传播过程。这一框架使得对关键系统响应的精确概率描述成为可能[43]。在此基础上，概率密度演化方法（PDEM）提供了一种稳健的数值算法，它允许通过直接纳入特定的失效准则来进行可靠性评估[44]。这种方法将原本因复杂失效边界而难以处理的、在基本随机变量空间中的高维积分，转化为了在响应空间中更易处理的问题。在该框架下的进一步发展，包括吸收边界条件方法[45]、[46]、等价极值事件方法[47]、[48]，以及李氏提出的物理综合方法[49]，共同构成了结构整体可靠性分析的完整理论体系。这一统一框架不仅整合了基本的力学控制方程，还能够模拟物理系统内的随机性传播过程，同时兼顾物理损伤与失效准则的影响[50]。

对上述发展历程的回顾表明，长期以来，吸收边界条件方法被认为仅适用于仅涉及单一失效准则的问题。这一限制源于需要计算多个系统响应的联合概率密度函数，而这通常涉及到多维GDEEs的求解，因而需要大量的计算工作。近期提出的解耦多维PDEM方法通过简化联合PDF的计算，拓展了原有PDEM框架的功能[51]。具体而言，该方法通过将多维问题分解为若干个易于处理的一维GDEE计算，从而降低了计算复杂度。在此基础之上，本文进一步提出了一种专为结构整体动态可靠性分析设计的强化解耦策略，有效地扩展了原有吸收边界条件方法的适用范围。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍基于概率守恒且结合吸收边界的解耦方法，并探讨其在不同类型极限状态下的适用性；第3节详细阐述数值实现方案，包括算法流程以及实际计算中的注意事项；第4节通过包括随机激励下的单自由度系统、承受随机载荷的欧拉-伯努利梁，以及在随机地震作用下半线性框架结构在内的典型算例，验证所提方法的有效性与通用性；第5节总结全文，重点介绍所提方法在精度与效率方面的优势，并指出未来在结构整体动态可靠性分析领域的研究方向。

片段摘录
通过乘积测度分解得到联合概率密度
考虑随机动力系统：X?=G(X,Θ,t), X(0)=x? ? X(t)=H(Θ,t)，其中X=(X?,…,X?)?为状态向量，Θ=(Θ?,…,Θ?)?为随机参数向量，t为时间。在基于概率守恒的随机事件描述框架下[42]、[52]，映射Θ?H(Θ,t)将参数测度映射到状态空间，即P{X(t)∈B}=∫Ω_Θ {H(θ,t)∈B} pΘ(θ)dθ，其中B为任意可测集合。在密度层面，广义密度演化方程（GDEE）[42]的表现形式为：?pXΘ(x,θ,t)/?t + ∑?=?? X??(θ,t) ?pXΘ(x,θ,t)/?x

数值实现与工作流程
数值计算遵循用于实现解耦的概率守恒随机事件视角：将随机参数空间Ω_Θ上的积分替换为对概率加权划分后的求和；仅需解决一维概率密度演化问题；随后通过保持概率不变的乘积运算及简单的集合平铺操作，即可得到联合概率密度与可靠性值。设(Ω_Θ,B,μ)为概率空间，满足μ(dθ)=pΘ(θ)dθ。需选择一个可测的分划{Ω_q}，q=1,?,?,m。

具有与型极限状态的单自由度系统
考虑单自由度振荡器系统：x?+ω2x=Asin(ω?t), x(0)=0，其中激励频率ω?为确定值，而自然频率ω与振幅A为独立的随机变量，满足ω～U[ω?,ω?]，lnA～N(μ,σ)。对于位移x与速度v=x?，其响应映射（质量为m）分别为：x=hX(ω,A,t)=Amω?sin(ωt)?ωsin(ω?t)/ω?(ω?2?ω2)，以及v=hV(ω,A,t)=Amωcos(ωt)?ω?cos(ω?t)/ω?2?ω2。

结论
本研究提出了一种用于评估具有多种极限状态的结构整体动态可靠性的新计算框架。该框架基于解耦多维概率密度演化方法（解耦M-PDEM），在扩展吸收边界条件策略的基础上，通过概率守恒解耦机制实现了理论上的严谨性与数值计算的高效性。该方法将原本在随机变量空间中的高维积分问题进行了有效转换。

CRediT作者贡献说明
周永峰：撰写——初稿、方法论、实验分析。吕梦泽：撰写——审阅与编辑、验证、方法论。李杰：撰写——审阅与编辑、监督、概念设计。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
衷心感谢上海市科学技术专项基金（项目编号22YS1400700）提供的资金支持。