伺服驱动系统因其高定位精度、高能效以及快速的动态响应特性，被广泛应用于智能设备和自动化系统中（Zhao and Wang, 2025）。因此，基于伺服的旋转执行器已成为高端设备中的核心驱动单元（Dado et al., 2001）。然而，传统伺服执行器往往存在质量较大且刚度有限的问题，这限制了它们在需要轻量化以及实现安全人机交互的应用中的使用。为克服这些缺陷，旋转式柔性伺服驱动系统在负载端引入柔性组件，以降低惯性并提高刚度。在典型的RFSDS中，伺服电机通过齿轮传动装置驱动柔性操作臂。但这种柔性设计会导致弹性变形和残余振动，进而引发末端执行器的定位误差。此外，谐波传动中的摩擦干扰力矩还会进一步扭曲输入输出关系，降低跟踪性能（Wang et al., 2026b）。这些耦合的非线性效应使得RFSDS的精确建模和高性能控制变得十分困难。
在RFSDS中，负载端的柔性操作臂不可避免地会产生弹性变形和残余振动，这会降低建模精度并影响运动性能。因此，准确描述变形情况对于动态建模至关重要。现有研究采用假设模态法（AMM）（Gao et al., 2019）、有限元法（FEM）（Liu et al., 2023）以及集总质量模型（Sun et al., 2017）对柔性操作臂进行建模。例如，Yin et al.（2024）使用AMM方法描述了具有柔性结构的伺服系统中的变形情况，而Malgaca et al.（2016）则利用FEM对单链节柔性弯曲操作臂进行建模，以实现残余振动控制。Kim（2015）提出了用于柔性操作臂伺服系统实验识别的集总元件模型。除了这些传统方法之外，Zhang et al.（2025）还开发了参数化全局模态法（PGMM），用于操作臂的低维建模。尽管FEM和集总质量模型能够有效描述RFSDS的动力学特性，但它们通常需要对元素或节点进行离散化处理，这会增加计算负担，使其不太适合实时应用。相比之下，AMM提供了一种相对简单且低维的建模框架，更适用于RFSDS的动态建模和控制器设计。
在RFSDS运行过程中，柔性模式很容易被激发。因此，仅依靠精确的电机角度跟踪并无法确保抑制结构振动或终端变形。为从源头降低振动，人们提出了角度无关方法（AIM），用于对电机指令进行整形（Yin et al., 2011）。Shang et al.（2023）利用AIM为具有变长柔性负载的双惯性系统生成理想的电机轨迹。由于结构柔性和传动系统的非线性特性，RFSDS呈现出复杂的非线性耦合动力学行为（Kang et al., 2002）。增加更多的非线性项虽然可以提高模型精度，但也会提升模型的复杂性。相反，如果忽视重要的非线性因素，模型与实际系统的差异将会增大，进而降低控制性能。此外，传动系统中的非线性特性还会扭曲输入输出关系，进一步加剧这种差异（Wang et al., 2026a）。考虑到这些挑战以及不可避免的参数不确定性，齿轮啮合摩擦干扰和与柔性相关的非线性耦合可被视为限制RFSDS旋转精度的关键因素。因此，有效抑制和补偿这些干扰对于提升跟踪精度和整体控制性能至关重要。
为应对上述非线性干扰，目前RFSDS常用的控制策略包括比例-微分控制（PD控制）（Liu and Yuan, 2003）、滑模控制（SMC）（da Silva et al., 2024）以及其他先进控制策略（Sarkhel et al., 2020）。其中，PD控制由于其结构简单且易于调参，很适合用于RFSDS。然而，在存在强非线性耦合以及由摩擦和负载端柔性引起的不确定干扰力矩的情况下，仅靠PD控制往往难以实现高精度跟踪。因此，神经网络已成为一种有效的工具，可用于近似未知的非线性特性，并在线补偿各种不确定性和干扰。例如，Shang et al.（2024）将RBF神经网络与SMC相结合，用于补偿柔性细长空间结构中的非线性效应。不过，补偿器不仅要具备非线性近似功能，还需保持较低的计算复杂度。因此，过于复杂的神经网络架构可能不适合RFSDS的实时控制。与深度神经网络或结构复杂的神经网络相比，反向传播神经网络为在线非线性补偿提供了一种相对简单且易于实现的方案。Zhang et al.（2024）开发了一种基于自适应BP的策略，用于非线性伺服电机控制，而Sang et al.（2025）则利用BP网络进行在线逆模型识别。这些研究表明，BP神经网络可以集成起来，用于RFSDS的实时补偿。
基于以上分析，本文提出了一种BP–PD(AIM)控制方法。在该方法中，基于AIM的指令整形方法用于生成能够抑制振动的理想轨迹，而BP–PD控制器则负责提升轨迹跟踪精度，并补偿RFSDS中的非线性扰动。与Yang et al.（2021）的研究相比，本文的建模框架明确考虑了柔性组件的变形情况，从而能更准确地描述实际运行条件。与Wei et al.（2017）的研究相比，本文除了考虑关节柔性外，还加入了齿轮摩擦力矩，并分析了其对柔性变形响应的影响。本文的主要贡献如下：
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通过综合考虑径向位移、关节柔性以及齿轮摩擦力矩，建立了RFSDS的完整动态模型。与传统模型相比，该动态模型明确包含了由齿轮摩擦与负载柔性之间的非线性耦合所引发的扰动项。
- 2)
基于电机侧与负载侧之间的传递关系，开发了一种基于AIM的指令整形方法。该方法将负载端的振动抑制要求转化为理想的电机输入信号，从而为调节RFSDS的运动响应提供了一种间接途径。
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基于AIM提出了BP–PD(AIM)控制策略。在该策略中，BP神经网络会不断在线更新，以实时补偿RFSDS中的非线性项和建模不确定性。
本文的其余部分结构如下：第2节建立了包含齿轮摩擦力矩的RFSDS动态模型，并分析了该力矩对柔性变形的影响，为基于AIM的指令整形提供了理论基础。第3节介绍了所提出的BP–PD(AIM)复合控制方法，用于补偿系统中的非线性和不确定性。第4节通过数值模拟和实验验证了该策略的有效性。第5节总结了本文的研究成果，并指出了未来研究的方向。
