参数识别中用于最优激励设计的不确定性量化方法

《Control Engineering Practice》：Uncertainty quantification methods for optimal excitation design in parameter identification

　　凯文·施密特|尼古拉·亨克尔曼|克里斯托夫·马克|约翰内斯·冯·凯勒
德国伦宁根，罗伯特博世有限公司，企业部门研究与先进工程部

摘要
在虚拟工程过程中，参数识别至关重要，但确定用于识别特定参数的合适系统激励仍是一项挑战。在实际应用中，大量的实验计划往往无法生成具有足够信息量的数据，从而无法实现可靠的参数估计。本文提出了一种系统化方法，通过最大化目标参数在可能的激励函数空间中的全局灵敏度来获得最优激励。为了解决优化过程中灵敏度评估的计算难题，本文基于不确定性量化方法开发了两种互补的方法。对于具有已知数学结构的系统，一种侵入式多项式混沌展开方法可构建确定性替代模型，从而快速计算灵敏度；而对于无法使用侵入式方法的黑箱模型，则采用一种基于最优传输理论的新型非侵入式方法，利用瓦塞尔斯坦距离来量化灵敏度，无需了解系统的内部动态。这两种方法均显著降低了计算成本，使得复杂工程系统的最优激励设计成为可能。这两种方法在车辆动力学模型上均展现了良好的效果，大幅提升了参数识别能力。此外，还在测试车上通过实验验证了这些方法在参数识别方面的优势，并将其与典型的工业标准操作进行了比较。

引言
系统识别是虚拟工程过程中的一个核心挑战，即基于模型的开发流程，其中在开展大规模物理测试之前，会利用仿真环境进行设计、校准和验证。准确的模型参数化直接影响仿真的可靠性以及控制系统设计的有效性（Ljung, 1999）。系统激励信号的选择对参数识别结果的质量有着决定性影响。然而，确定用于识别特定参数的合适激励信号仍然是一个重大挑战（Mehra, 2003）。在工业实践中，这通常依赖于大量的实验计划以及多年积累的专业知识。其结果是往往采用较为保守的方法，需要制定详尽的测量方案，这在应用和校准阶段会耗费大量时间和资金。此外，用于系统识别的各个操作所包含的信息量往往不明确，从而导致实验程序可能存在冗余或不足。

这些挑战的根本原因在于，目前缺乏系统化的方法来量化在不同激励条件下，系统输出对不确定参数的灵敏度。虽然存在传统的灵敏度分析方法，但它们要么对复杂工程系统而言计算成本过高，要么无法从整体上考虑参数不确定性和测量噪声的随机特性。这就导致了参数可识别性的理论理解与复杂工程系统中非高斯或宽参数分布的实际激励设计之间存在差距。

现有研究进展
关于系统识别中最优激励的设计，已有大量文献进行研究（Ljung, 1999; Mehra, 2003）。常见的现场测试激励信号包括伪随机二进制序列（PRBS）（Schoukens等人，2017）、啁啾信号（Elliott和Rao，2001）以及多正弦信号（Pintelon和Schoukens，2012），这类信号能够覆盖较宽的频率范围（Ljung, 1999）。它们是实际中许多激励设计的基础，但并未充分利用系统的特定特性，因此往往不对特定系统具有最优性。

另一方面，费希尔信息矩阵是量化参数估计精度的理论标准（Mehra, 2003）。相关方法通常将激励设计转化为一个最优控制问题，其目标是最大化费希尔信息矩阵的某个标量函数，如行列式或迹（Gevers和Ljung，1986）。虽然这些方法对具有高斯噪声的线性系统非常有效，但当应用于非线性系统或非高斯不确定性时，计算成本会显著上升。此外，基于费希尔信息矩阵的最优实验设计方法通常依赖于在名义参数点处计算的局部灵敏度指标，因而无法充分利用许多应用中可用的参数不确定性全概率分布（Atkinson, Donev, Tobias, 2007; Fedorov, 1972）。因此，本文采取了另一种互补思路，用基于全局分布意识的灵敏度指标替代基于局部的梯度灵敏度指标。

在不确定性量化领域，全局灵敏度分析已得到广泛研究（Le Ma?tre, Knio, 2010; Saltelli, Ratto, Andres, Campolongo, Cariboni, Gatelli, Saisana, Tarantola, 2008; Sudret, 2008）。但据作者所知，目前尚未有研究将全局灵敏度分析与系统理论相结合，用于最优激励设计。Streif等人（2014）提出了一种基于侵入式多项式混沌展开的最优实验设计替代方法，该方法仅适用于多项式系统，且未考虑系统的鲁棒性和扰动问题。对于后者，Paulson和Mesbah（2019）提出了一种非侵入式方法，并将其应用于模型预测控制中（Fisher, 2008; Paulson, Streif, Mesbah, 2015）。

更近期的研究则着眼于开发更具鲁棒性且针对特定应用的激励方法，如贝叶斯实验设计或强化学习技术。这些方法能够考虑先验知识与过程噪声，但往往会导致实际优化时的计算成本较高（Chaloner, Verdinelli, 1995; Conti, O’Hagan, 2014; Ryan, 2003）。

本文的贡献
本文的主要贡献在于提出了一种用于参数识别中最优激励设计的系统化方法。该方法将问题转化为一个随机最优控制问题，在考虑模型不确定性和测量噪声的同时，最大化全局灵敏度指标。通过结合不确定性量化方法与系统理论，该方法能够生成既具有鲁棒性又适合特定识别任务的激励信号。该方法的特点在于能够利用关于参数分布的先验知识，并可明确考虑输入和输出信号的约束条件。

为高效解决这一计算难度较高的问题，本文提出了两种互补的不确定性量化方法用于灵敏度计算。对于具有已知数学结构的系统，采用侵入式多项式混沌展开方法构建确定性替代模型；而对于黑箱系统，则采用一种基于最优传输理论的新型非侵入式方法，无需了解系统的内部动态。与传统的蒙特卡洛方法相比，这两种方法均显著降低了全局灵敏度计算的计算负担，从而使车辆动力学等复杂工程系统的最优激励设计成为可能。除了仿真研究外，还在测试车上进行了实验验证，结果表明，优化后的激励信号在真实驾驶条件下显著提升了目标参数的识别能力。

文章结构
第2节首先介绍问题的建模方式与目标，阐述随机系统建模方法，并将最优激励问题转化为一个计算上难以处理的随机最优控制问题。随后的章节介绍了两种用于高效计算全局灵敏度指标的不确定性量化方法。第3节提出了基于多项式混沌展开的侵入式全局灵敏度分析方法，该方法尤其适用于具有已知数学结构的系统，可用于构建线性参数变化系统的替代模型，并能高效计算基于方差的灵敏度指标。对于无法使用侵入式方法的黑箱系统，第4节提出了基于最优传输理论的非侵入式灵敏度分析方法。

所选的不确定性量化方法有助于高效评估成本函数。因此，第5节介绍了随机最优控制问题的实现方法，包括输入信号的参数化以及用于求解有限维最优激励问题的优化算法。第3至5节通过一个反复出现的弹簧-阻尼器示例来演示该方法。第6节给出了一个行业应用案例，重点探讨车辆系统的最优输入设计，并对比了侵入式与非侵入式方法在单轨车辆动力学模型上的表现。最后，本文总结了所提方法的结果及其在计算上的优势。

符号说明
在本文中，参数空间和输出空间分别用Θ和Y表示，假设它们是波兰空间，即可分离且完全可度量化的拓扑空间，例如Rn或Lp（1?≤?p?
随机变量向量y∈Rm的方差Vν[y]∈Rm表示协方差矩阵cov[y]∈Rm×m的对角线元素构成的向量。对于向量v∈Rm，指数vn表示逐元素幂运算，即(vn)i=vin，其中i?∈?[1, m]。线性运算μ=vec(M)∈Rmn×1表示将矩阵M∈Rm×n按列向量化，即μ?=[M1i,M2i,?,Mni]，其中i?∈?[1, m]。当m和n合适时，其逆映射为mat(μ)=M。

问题描述与目标
以下段落介绍了最优激励问题的随机建模方法（见第2.1节）。接着，第2.2节将该问题以随机最优控制问题的形式给出一般解。最后，第2.3节从技术角度总结了该问题框架下的目标。

侵入式全局灵敏度分析方法
高效计算最优激励的核心思想是侵入式多项式混沌展开方法。该方法的关键在于预先构建一个替代模型，从而大幅降低在优化算法中计算所需灵敏度指标Sij时的计算量。不过，要应用侵入式多项式混沌展开方法，还需要对模型内部结构做进一步假设（Le Ma?tre和Knio, 2010）。本节首先……

非侵入式全局灵敏度分析方法
本节介绍了一种基于最优传输的非侵入式全局灵敏度分析方法，该方法最初由Borgonovo等人（2024）提出，用于计算一阶灵敏度指标。当面对复杂的模型且侵入式方法不可行时，这种方法尤为有用。本节首先简要介绍最优传输理论，然后介绍Borgonovo等人提出的第一阶灵敏度指标的计算方法。最后，介绍最优……

优化方法
虽然前两节主要关注给定输入信号的灵敏度计算，但现在重点转向输入信号本身的优化。如第2.2节所述，最优激励可视为无限维随机最优控制问题（7）的解。借助第3节和第4节的结果，现在可以针对给定的输入信号计算成本函数（4）。不过，问题（7）仍然具有较高的难度，因为优化过程……

行业应用：车辆系统的最优输入设计
作为一项行业案例，本节以汽车控制与仿真中常用的车辆动力学模型为例。该模型采用单轨表示法来描述车辆的横向动力学，这种表示法虽简化了模型行为，但足以应对多种驾驶场景。图8展示了该模型中最重要的车辆状态。单轨模型是各类汽车运动控制的基础。

结论与展望
本文提出了一种用于参数识别中最优激励设计的系统化框架，将该问题转化为一个随机最优控制问题，在考虑模型不确定性和测量噪声的同时最大化全局灵敏度指标。本文还提出了两种互补的不确定性量化方法，使得原本计算难度极高的问题得以解决。对于具有已知数学结构的系统，侵入式多项式混沌展开方法可构建……

CRediT作者贡献声明
凯文·施密特：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，软件，项目管理，方法论，研究，概念构思。
尼古拉·亨克尔曼：写作——初稿撰写，软件，方法论，研究，资金获取，概念构思。
克里斯托夫·马克：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，方法论，概念构思。
约翰内斯·冯·凯勒：验证，软件，研究。

利益冲突声明
作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。