多维匹配的半非参数模型：一种最优运输方法

《Journal of Econometrics》：Semi-nonparametric models of multidimensional matching: An optimal transport approach

　　金东宇|李英俊加拿大西蒙弗雷泽大学与韩国韩国大学摘要本文针对具有可转移效用的半非参数多维匹配模型，尤其是工人-岗位匹配问题，提出了一组既具备实证可行性又具有灵活性的筛选估计量。我们拓展了Bojilov和Galichon（2016）以及Lindenlaub（2017）所使用的参数化二次高斯框架，该框架依赖于观测特征之间的联合正态性。而我们则允许特征分布不受限制，并借助最优运输理论确定了生产技术以及均衡工资和匹配函数。在确定这些参数后，我们提出了高效、一致且渐近正态的筛选估计量。我们还重新分析了Lindenlaub的实证研究，发现1990年至2010年间，美国经济的技术进步在提升认知能力方面比原有研究结果所显示的更为显著。此外，我们更为灵活的模型设定能更好地解释工资不平等变化的规律。引言在双边市场中，主体根据自身偏好和特征形成最优匹配，从而创造可共享的联合剩余价值。匹配模型被广泛用于分析劳动力市场（工人与岗位）和婚姻市场（配偶）中的此类动态关系。为便于分析，实证研究通常依赖低维异质性，比如聚焦某一显著属性或将其它多个特征汇总为一个标量指数。尽管这类标量指数方法隐含了多维特征，但它们将匹配机制限制在单一维度上运作。例如在劳动力市场中，工人会发展出专业技能（数学家的认知技能或体操运动员的身体技能），而单一指数模型无法捕捉这种专业化特征。因此，越来越多的研究致力于开发能够更直接处理多维异质性的匹配模型。在Tinbergen（1956）的开创性工作基础上，近期研究进一步推动了包含多个连续属性的匹配分析。这些框架通常通过对观测特征的分布或剩余结构施加参数限制来确保分析的可行性。特别是Bojilov和Galichon（2016）以及Lindenlaub（2017）提出了参数化匹配模型，假设属性之间呈联合正态分布且剩余值为双线性形式，从而可得到均衡分配的封闭形式解。然而，正态性假设可能带来重要影响：如果真实联合分布并非高斯分布，那么推导出的分配模式可能会出现偏差。在实证应用中，这类方法往往需要额外步骤来使数据符合正态性假设，比如将各边际变量转换为标准正态分布。此类转换可能会改变对原始属性的理解，而且所得联合分布也未必能很好地用多元正态分布来近似。因此，估算出的分配机制可能无法准确反映真实的匹配过程。本文旨在解决这些难题，针对工人-岗位匹配场景中的半非参数多维匹配模型，提出了一组既具备实证可行性又具有灵活性的筛选估计量。我们拓展了Bojilov和Galichon（2016）以及Lindenlaub（2017）所使用的二次高斯结构，允许属性呈现任意分布，同时仍保持双线性剩余值形式。在这种模型中，每位工人拥有独特的技能，而每项岗位也需要特定技能才能依据生产技术产生相应产出。社会规划者的任务是优化工人与岗位的匹配，以实现经济整体产出的最大化，这一目标可通过蒙日-康托罗维奇最优运输问题来表述。我们运用最优运输方法（De Philippis和Figalli，2014；Villani，2003；Villani，2008）得到了均衡分配和工资函数的唯一解。随后，我们构建了一个计量经济学框架，将理论模型应用于现实数据。沿袭Lindenlaub（2017）的方法，我们引入误差项以弥合确定性均衡预测与观测数据之间的差距。不过与Lindenlaub（2017）不同，我们并不要求误差项必须服从正态分布或相互独立。我们采用Ai和Chen（2003）以及Chen（2007）提出的半参数M估计技术来估算生产技术、均衡分配和工资函数。据我们所知，这是首篇将半参数M估计量引入多维匹配模型的文献。根据对误差项的不同假设，该模型可通过筛选最大似然估计、最小二乘估计或广义最小二乘估计来进行参数估算。这类估计量不仅效率高、渐近上呈正态分布，而且易于实现。在针对多种数据生成过程的广泛模拟实验中，我们的估计量表现良好。虽然本研究主要聚焦工人-岗位匹配问题，但所提出的方法也可广泛应用于其他匹配问题，比如婚姻市场中的伴侣匹配。我们重新使用了Lindenlaub（2017）提供的美国工人-岗位数据，通过估算生产技术、均衡分配和工资函数，研究了1990年至2010年间技术变革对工资不平等的影响。研究结果表明，当时有利于认知能力提升的技术进步程度比Lindenlaub的估算要高。此外，我们模型更高的灵活性使得其对工资不平等变化的解释力更强，尤其是对于那种工资分布两端增长速度相对中间值更快的“工资两极分化”现象。由于高斯模型存在设定偏差，且还将均衡工资函数限制为二次形式，因此无法预测工资两极分化现象。本文结构如下：本节其余部分将介绍相关文献；第2节介绍具有双线性剩余值的多维匹配模型，并运用最优运输理论阐述其均衡特性；第3节提出计量经济学匹配模型并建立参数识别方法；第4节介绍筛选估计量；第5节阐述我们所提筛选广义最小二乘估计量的渐近性质；第6节进行模拟实验；第7节重新分析Lindenlaub（2017）的实证研究；第8节总结全文。技术性证明及更多理论细节详见附录。Choo和Siow（2006）提出了一个用于处理离散类型及多维不可观测异质性的实证可转移效用模型。他们的框架假设独立同分布的不可观测异质性服从极值I型（古姆贝尔）分布，此时系统匹配剩余值可通过逻辑斯蒂公式来确定。在这一离散类型框架下仍有若干拓展研究：Galichon和Salanié（2022）将不可观测变量的分布假设从逻辑斯蒂形式扩展出去，从而实现了社会剩余值的识别；而Gualdani和Sinha（2023）则在误差分布的非参数假设下证明了系统剩余值的局部可识别性。Dupuy和Galichon（2014）在保持不可观测异质性服从独立同分布古姆贝尔分布的前提下，将CS框架扩展到连续类型，将该匹配问题转化为带熵正则化的最优运输问题。Bojilov和Galichon（2016）则通过引入二次高斯结构——即结合联合正态属性的双线性剩余值函数——对Dupuy和Galichon（2014）的框架进行了细化，进而得到了均衡匹配分布的封闭形式解。Lindenlaub（2017）采取了截然不同的方法，他构建了一个没有不可观测异质性的确定性匹配模型，因此均衡分配问题可由标准的蒙日-康托罗维奇最优运输问题来解决。尽管Lindenlaub（2017）也运用二次高斯结构来获得封闭形式解，但由于不存在不可观测异质性，其模型得出的分配结果是完全确定的，而非CS、Dupuy和Galichon（2014）以及Bojilov和Galichon（2016）系列模型中所呈现的随机匹配模式。所有这些方法都基于这样一个可分离性假设：不可观测异质性（或者在我们研究中指测量误差）在形成剩余值时不会与观测特征发生相互作用。不过，不同框架中不可观测变量的本质存在根本差异。在CS传统框架下（包括Dupuy和Galichon，2014以及Bojilov和Galichon，2016），不可观测异质性会直接作用于剩余值函数，从而决定随机匹配模式；系统剩余值则是通过逻辑斯蒂反演或其衍生方法，从匹配模式——也就是匹配后特征的联合分布——中识别出来的，而且无需使用个体层面的工资数据。相比之下，我们的框架以及Lindenlaub（2017）的模型则引入了可加且可分离的测量误差，用以解释确定性均衡预测与观测数据之间的差异。我们的计量经济学模型明确地将观测到的工资数据与匹配模式结合在一起：均衡工资函数作为一个可直接估算的变量出现，这有助于提高技术参数的识别精度和估算准确性。我们的研究在Lindenlaub（2017）的确定性匹配框架基础上做出了拓展，不再对特征分布做任何假设，从而为多维匹配问题提供了更为灵活且稳健的计量经济学分析框架。我们借助模型均衡条件所蕴含的条件矩，提出了高效的计量经济学方法，能够同时估算有限维参数和无限维函数，这一方法借鉴了筛选M估计领域的研究成果。尤其对于最为灵活的模型设定，我们采用了Chen（2007）提出的筛选广义最小二乘估计量。与SMD估计量相比，该估计量不仅效率更高，计算也更简便。我们依据未知非参数组件（最优运输映射）的平滑性，证明了所提筛选估计量的收敛性、效率以及渐近正态性。这一平滑性条件可通过运用数学文献中关于最优运输映射的相关结果来验证。Caffarelli在1992a、1992b和1996年的研究中证明了，当两侧特征的分布都具有紧支撑时，运输映射是平滑的。Cordero-Erausquin和Figalli（2019）则将这一结论进一步推广到了特征分布可能具有无界支撑的情况。运输映射的平滑程度取决于特征密度的平滑度。多维匹配与双线性剩余值我们考虑这样一种环境：每位拥有特定技能组合的工人，都会选择那些需要相应技能组合的岗位。设X?Rd和Y?Rd分别为工人特征空间和岗位特征空间，它们分别带有概率测度P和Q。工人和岗位由对应的特征向量x∈X和y∈Y来表示。每对匹配的工人和岗位会根据生产技术s(x, y)共同产生产出，而剩余价值则通过竞争机制进行分配，最终确定……计量经济学模型与参数识别本节将运用前一节的理论成果来描述计量经济学模型。设{(wi,xi′,yi′)}i=1n表示n个独立同分布的观测样本，这些样本涵盖了工人i的工资wi、其技能组合xi以及对应岗位的技能要求yi。由于命题1已经给出了从x到w和y的均衡映射关系，且这一映射可被理解为瓦尔拉斯均衡，因此我们可以根据xi写出关于wi和yi的一组方程式。纯蒙日-康托罗维奇最优运输模型基于筛选的半参数估计模型参数是通过半参数条件矩约束（3.3）来识别的。如果函数w是按参数形式给定的，那么这些矩条件就会导致传统的广义矩估计方法。但由于在我们的模型设定中w是无限维的，所以我们需借助筛选方法来对其进行近似。未知函数w∈W可以通过wn∈Wn来近似，其中Wn是一个随着n增大而在W中逐渐变得稠密的多元函数空间。我们可通过张量积构造方法来生成Wn。人们也可以考虑……SGLS估计量的渐近理论我们借助Ai和Chen（2003）、Chen和Shen（1998）以及Chen（2007）的研究成果，证明了所提SGLS估计量的一致性、收敛速度、渐近正态性以及半参数效率。定义λ???(θ, w(?·?))。令λ^n和λ0分别表示我们的筛选广义最小二乘估计量以及真实参数值。首先我们可以证明，在某种伪范数‖?·?‖下，λ^n向λ0收敛的速度快于n?1/4。对于任意的λ1=(θ1,w1(·))，λ2=(θ2,w2(·))∈Λ，‖?·?‖的定义为∥λ1?λ2∥2=E[(dρ(zi;λ0)dλ[λ1?λ2])′Σ(xi)?1蒙特卡洛模拟本节通过已知的数据生成过程，评估我们所提筛选估计量的有限样本性能。我们首先从Lindenlaub（2017）的二次高斯模型中生成蒙特卡洛样本。工人的技能组合x和岗位的技能要求y都服从联合高斯分布：(xCxM)～N((00),(1ρxρx1))，(yCyM)～N((00),(1ρyρy1))，我们从这些分布中抽取n=3000个样本作为{xi}i=1n。遵循Lindenlaub（2017）的方法，我们排除了任务间的互补性影响……对美国工人-岗位匹配问题的实证分析我们重新使用了Lindenlaub（2017）构建的数据集，以此了解美国的生产技术发展状况。我们利用该数据集和筛选估计量来估算模型中的生产技术参数。我们采用了美国国家青年纵向调查数据以及美国劳工部职业特征数据库中的数据，来分别确定工人的认知技能和体力技能，以及企业的岗位技能要求。为了评估……结论理论上的匹配模型往往因模型假设与现实数据之间存在差异而面临实证挑战。Lindenlaub（2017）提出了一种适合用于多维匹配问题的比较静态分析和定性研究的可行理论模型。然而，由于其假设了对观测特征分布的严格限制以及存在测量误差，该模型在实证应用方面存在局限。我们通过放宽这些关键的分布限制，对该模型进行了拓展，从而使得……利益冲突声明作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。