基于物理原理的神经网络模型：用于模拟不同光照条件下紫色非硫细菌的生长与pH值变化规律

《Journal of Process Control》：Physics-informed neural network modeling of purple non-sulfur bacteria growth and pH dynamics under varying light conditions

　　马特乌斯·C.R.努内斯|洛朗·德瓦斯姆|玛农·吉尔松|吉约姆·巴永-维森特|巴蒂斯特·勒鲁瓦|阿兰·范德沃威尔

摘要：对农业食品工业产生的废弃物进行升级利用，是减少其环境影响的一种有效策略。在此背景下，利用紫色非硫细菌进行生物转化是一种处理有机废弃物的有效方法。然而，这类细菌的动态建模仍是一个相对较新的研究领域，面临着与实际行为及操作条件敏感性相关的诸多挑战。本研究探讨了在不同光照强度下，以糖蜜为培养基的紫色非硫细菌生长的动态建模问题。首先构建了一个机制模型，用于预测生物量增长和碳源消耗情况，并同时描述pH值的变化规律。随后，该模型（及其变体）被应用于物理信息神经网络框架中，研究了不同嵌入物理知识程度的PINN结构，包括：(i)基于包含明确光照强度依赖关系的物理模型的PINN；(ii)基于不考虑光照依赖关系的物理模型的PINN；(iii)结合结构物理原理与数据驱动动力学方法的PINN。此外，还采用了经过数据增强处理的传统人工神经网络作为纯数据驱动的对比模型。所有模型均从数据拟合和预测性能方面进行了评估，并与所提出的物理模型进行了比较。研究结果表明，PINN能够在保持物理一致性的同时提升预测精度，这表明其在构建稳健的生物过程模型以及为未来的控制优化发展提供基础方面具有巨大潜力。

引言：近年来，由于人们对紫色非硫细菌在工业及环境应用方面的兴趣日益增加，加之其能产生多种目标产品，相关模型也受到了越来越多的关注。紫色非硫细菌在循环经济相关工艺中展现出巨大潜力，可用于生产生物量、高附加值化合物以及实现资源回收[1]。尽管如此，要找到能够最大化生产力与碳转化率、同时最小化运营成本的最佳操作条件，仍需大量研究工作。由于紫色非硫细菌的应用场景多样，其模型主要根据不同的生产条件而有所差异，比如细菌菌株、目标产物、底物种类、喂养策略以及光照分布等。

文献中已有多种关于紫色非硫细菌应用的研究，每项研究都对应着特定的建模方法。在废水处理领域，[2]提出了一种模型，用于预测开放反应器系统中紫色非硫细菌种群动态，同时还考虑了它们与其他微生物种间的相互作用。之后[3]对该模型进行了扩展，加入了pH值和温度等其他影响因素。在底物利用方面，[4]开发了一种模型，用于描述在分批培养条件下，红色红球菌在各种挥发性脂肪酸混合物上的生长情况，后来该模型又被用来预测紫色非硫细菌生产聚羟基烷酸酯的能力[5]。除了废水处理和生物量生产之外，还有研究探讨了紫色非硫细菌在生物氢生产中的应用前景[6]、[7]、[8]。

就操作条件而言，现有文献中的大多数建模研究都集中在分批操作上，而连续系统则相对较少受到关注[9]。与此同时，也有大量研究致力于了解和优化光照强度及光照利用率。虽然紫色非硫细菌可以通过其他代谢途径在无光环境下生长，但这种生长方式并不总是理想的。对于许多应用而言，光异养生长方式更为合适——在这种方式中，紫色非硫细菌以有机碳底物为能量来源，同时利用光能。因此，有许多实验研究探讨了光照强度对紫色非硫细菌性能的影响[10]、[11]、[12]，还有一些研究则直接将依赖光的动力学机制纳入工艺模型中[3]、[13]。

在之前的研究[14]中，我们提出了一个机制模型，用于预测红色红球菌在单糖合成混合物上的生长动态，同时还初步探讨了物理信息神经网络的应用可能性。研究结果表明，与参考物理模型相比，PINN具备提升预测能力的潜力。

物理信息神经网络最初由[15]提出，由于其能够将通常以常微分方程或偏微分方程形式表达的先验物理知识与实验数据相结合，因此在多个科学和工程领域都受到了广泛关注。自动微分技术使得在训练过程中可以直接应用相应的控制方程，从而实现了这种结合。在生物过程建模领域，由于相关物理原理往往只有部分已知，且实验数据较为稀缺，PINN为将机制性信息与数据驱动的学习方法相结合提供了一种有效的建模策略。

PINN已被应用于多种生物过程，包括生物制药过程[16]、微生物发酵系统[17]、[18]、[19]以及废水处理领域[20]。例如，李等人[19]将PINN融入到Koopman算子的近似计算中，提升了微生物发酵过程的建模精度。科克萨尔等人[20]则通过实际废水处理厂的离线与在线验证，对比了不同结构的PINN模型，包括长短期记忆网络和门控循环单元，以及活性污泥模型1，以此评估PINN的应用效果。不过，PINN只是众多用于捕捉非线性生物过程动态的机器学习方法之一。传统人工神经网络和集成方法虽然灵活性较高，属于非参数模型，但缺乏物理可解释性[21]。高斯过程回归则能够实现不确定性量化，已被应用于生物过程建模与控制领域[22]，有时还会与机制结构相结合，形成混合生物过程模型[23]、[24]。为了类似的目的，人们还研究了PINN的贝叶斯扩展版本[25]、[26]。除了PINN之外，还有其他旨在嵌入物理知识以提升数据驱动型生物过程模型性能的混合建模方法也被提出[27]。在这些替代方案中，对于那些仅有部分但具有一定信息量的机制结构而言，PINN尤其具有优势。此时，相关的控制方程可以作为软约束条件被纳入模型，从而弥补实验数据稀少且存在噪声的问题，同时保持物理一致性。

在本研究中，我们扩展了[14]中的建模方法，用于研究在糖业副产品糖蜜上培养的、经过葡萄糖驯化的红色红球菌的生长情况。由于糖蜜的粘稠特性可能会限制光线的穿透，因此使用糖蜜作为培养基会带来更多复杂性，也需要对建模方法进行相应调整。而在之前的研究中，光线供应情况被视为不受限制的，本研究则专门探讨了不同光照强度的影响，并将其作为模型输入变量。有研究表明，在用糖蜜培养紫色非硫细菌的过程中会出现pH值下降的现象[28]、[29]，因此pH值是判断细菌培养状态的重要指标，因为过度酸化通常是不希望出现的。为此，我们提出了一个新的数学模型，用于在考虑不同光照强度的情况下预测生物量增长和碳源消耗情况，同时还将pH值的变化作为系统响应的一部分进行描述。与此同时，像PINN这样的混合建模方法，可以为描述那些尚未完全理解的现象以及难以用传统方法明确建模的复杂相互作用提供补充手段。

本研究的主要贡献可总结如下：(1)我们为紫色非硫细菌在糖蜜上的生长建立了新的机制模型，其中明确考虑了蔗糖水解、变化的光照强度以及pH值变化等因素，从而使模型适用范围扩展到了以往基于PINN的紫色非硫细菌建模研究未涉及的情况；(2)我们对PINN训练过程中的主要超参数——网络结构、配置点数量以及数据损失权重与物理损失权重的取值——进行了系统的探索性分析，旨在为类似生物过程场景下的PINN训练提供可复现的参考依据；(3)我们提出了三种嵌入不同程度物理信息的PINN结构，并与机制模型以及经过数据增强的传统人工神经网络基准模型进行了全面比较分析，从而可以评估机制先验知识与神经网络组件各自的贡献程度，同时确定每种建模方法在解决类似生物过程建模问题时的最佳应用条件。

本文的结构如下：第2节介绍物理模型，包括考虑光照效应与不考虑光照效应的模型公式；第3节阐述PINN的设计与训练流程，并对主要的建模决策进行说明；第4节展示并分析数值计算结果，重点评估PINN模型和传统人工神经网络模型的预测性能，同时与基准物理模型进行对比；最后，第5节对全文进行总结，并指出未来研究的方向。

过程描述：我们将经过葡萄糖驯化的红色红球菌菌株在初始浓度分别为6、12和20克/升的糖蜜中培养。为了促进光异养生长，我们在培养容器中施加了可控强度的人工照明，光照强度范围在18.78至407微摩尔·米?2·秒?1之间，这些培养容器的光程长度在1.5至5.0厘米之间。这样的实验设置使得我们可以独立控制光照强度，并研究其对细菌培养性能的影响。

物理信息神经网络：PINN的结构通常与全连接前馈型人工神经网络相同，后者也被称为多层感知器。两者之间的主要区别并不在于网络结构，而在于损失函数的构建方式——当有实验数据可用时，损失函数会将基于物理原理的约束条件与数据驱动的项结合在一起。因此，PINN可以通过以下输入与输出之间的关系来表示：z(1)=σ(1)w(1)x+b(1)，y?(x)=σ(2)w(2)z(1)+b(2)。

损失函数演变：图3展示了三种候选PINN模型以及传统人工神经网络的训练过程演变情况。上图显示了PINN1至PINN3的基于物理原理的损失函数的变化趋势。PINN1和PINN2在大约10,000次和20,000次迭代时出现了短暂的峰值，此时中间面板显示的数据损失值出现了明显下降。这些峰值表明，在数据拟合与物理一致性之间存在着暂时的权衡关系，这是这类模型常见的表现特征。

结论：本研究探讨了在系统复杂性增加的情况下，利用PINN模型对紫色非硫细菌系统进行识别与预测的方法。作为第一步，我们从实验数据中确定了两个基准物理模型，作为后续构建神经网络模型的参考。本研究通过引入与蔗糖水解相关的额外动态机制，同时将光照作为输入参数并考虑pH值的影响，进一步拓展了PINN在紫色非硫细菌系统建模中的应用范围。

CRediT作者贡献声明：
马特乌斯·C.R.努内斯：撰写——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法设计、研究实施、正式分析、数据整理、概念构思。
洛朗·德瓦斯姆：撰写——审稿与编辑、项目监督、方法设计、正式分析、概念构思。
玛农·吉尔松：资源协调、研究实施。
吉约姆·巴永-维森特：撰写——审稿与编辑、资源协调、项目管理工作、研究实施。
巴蒂斯特·勒鲁瓦：撰写——审稿与编辑、项目监督、资源协调、研究实施。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究所得成果得到了瓦隆大区公共服务部门（经济、就业与研究领域）的支持，资金来源于瓦隆大区复苏计划中的Win4Excellence项目下的FoodWal协议，协议编号为2210182。