一种基于非概率旋转超锥体的采样方法，用于具有相关不确定性的结构可靠性分析

《Probabilistic Engineering Mechanics》：A non-probabilistic rotating hyper-cone-based sampling method for reliability analysis of structures with correlated uncertainties

　　乔新洲|闫世聪|艾萨克·埃利沙科夫|胡乃刚|田海波
中国西安，710054，西安科技大学机械工程学院

摘要
在可用信息有限的情况下，结构非概率可靠性分析是评估工程结构安全性的有效手段。由于数值模拟方法的直观性和通用性，它们越来越受到重视。然而，这类方法存在较大的计算负担。本文通过处理椭球模型中的相关不确定性，提出了一种基于非概率旋转超锥的采样方法来应对这一挑战。该方法利用两个旋转超锥构建评估域，避免对评估域外的样本进行评估，从而显著降低计算成本。文中通过11个数值示例和2个结构示例验证了该方法的有效性。结果表明，与现有的非概率蒙特卡罗模拟方法及改进后的非概率蒙特卡罗模拟方法相比，所提方法的计算成本分别可降低98.12%至99.97%，以及41.90%至97.00%。

引言
工程结构中常常存在由材料特性、荷载、制造误差等因素引起的不确定性。概率模型因其作为处理此类不确定性的首选方法而被广泛应用[1]，基于此已发展出多种高效的可靠性分析方法，主要包括近似解析方法[[2],[3],[4]]、数值模拟方法[[5],[6],[7]]以及基于替代模型的方法[[8],[9],[10]]。然而，构建概率模型所需的详尽不确定性信息往往难以获取。为此，非概率凸模型作为概率模型的替代方案被提出，用于处理信息有限的情况[11]，这类凸模型包括区间模型[12,13]、椭球模型[14,15]、多维平行六面体模型[16,17]、超参数凸模型[[18],[19],[20]]以及指数凸模型[21]。

近年来，许多非概率可靠性模型均基于凸模型来评估结构的安全程度。非概率可靠性模型的发展大致可分为两个阶段。第一阶段提出了几种可能的非概率可靠性度量指标，主要包括基于非概率安全因子的可靠性指数[22]，以及鲁棒可靠性指数及其改进版本[23,24]。尽管这些度量指标的表达形式较为简单，但它们为可靠性评估开辟了新的途径。第二阶段则更注重开发概率可靠性指数和可靠性的非概率对应形式。一方面，人们构建了多种基于范数的非概率可靠性指数[[25],[26],[27],[28],[29],[30],[31],[32]]，这些指数具有相同的几何意义，即标准变量空间中原点与失效面之间的最短距离。另一方面，也提出了适用于不同凸模型的非概率可靠性指标[[33],[34],[35],[36],[37]]，其定义为落入安全域的各部分的多维体积与整个不确定性域的多维体积之比。

在过去的二十年里，还出现了多种非概率可靠性分析方法，用以高效处理上述可靠性模型。这些方法大致可分为两类：(a)近似解析方法，以及(b)数值模拟方法。为了计算区间可靠性指数、椭球可靠性指数和超椭球可靠性指数，人们分别开发了半解析方法及其改进版本[38,39]、均值-值法与设计点法[40]，以及名义值法与高级名义值法[29]。此外，还提出了一种高效计算区间可靠性的方法[41]，并建立了用于求解椭球可靠性问题的的一阶和二阶近似方法[35]。在系统非概率可靠性方面，还提出了非概率可靠性界限法和非概率系统可靠性法，分别用于估算串联系统和串并联系统的椭球可靠性[42,43]。这类近似解析方法具有简单且高效的优点，但对于高度非线性问题可能会产生较大误差，或在具有多个设计点的问题中得到非保守的结果。

与近似解析方法相比，数值模拟方法具有直观性和通用性的优势。非概率蒙特卡罗模拟方法被提出用于分别估算椭球可靠性和超椭球可靠性[35,36]，但其主要缺点是计算成本较高。为减轻这一计算负担，人们通过将采样域限制在评估域内，开发出了改进型的蒙特卡罗模拟方法[44]。总体而言，改进型蒙特卡罗模拟方法的效率高于传统方法，但仍存在较高的计算成本。因此，如何提高数值模拟方法的效率仍是一项艰巨的任务。

本文提出了一种基于非概率旋转超锥的采样方法，旨在实现这一目标。本文的结构如下：首先简要回顾非概率可靠性模型以及现有的非概率蒙特卡罗模拟方法和改进型蒙特卡罗模拟方法；其次介绍所提出的NRHBS方法，并将其与改进型蒙特卡罗模拟方法进行比较；第三，通过11个数值示例和2个结构示例验证该方法的准确性和效率；最后总结本文的结论。

节选内容
结构的非概率可靠性模型
设结构的性能或极限状态函数为g(X)，其中X=(X1,X2,?,Xn)T是由几何尺寸、材料特性、荷载等构成的n维不确定参数向量。每个不确定参数的可能取值构成一个边际区间，记为XiI=[XiL,XiU]，XiL和XiU分别为该参数的下限和上限。失效面g(X)=0将参数空间划分为两个区域：失效域（此时g(X)<0）和安全域。

所提出的方法
与IMCS方法相比，改进型蒙特卡罗模拟方法通过将采样域限制在由集合交集构成的评估域内，从而在保持准确性的同时提高了非概率可靠性分析的效率。显然，评估域越小，非概率可靠性分析的效率越高。与改进型蒙特卡罗模拟方法不同，本文提出的一种基于非概率旋转超锥的采样方法……

示例分析
本文共分析了13个示例。在示例1-11中，将所提出的方法与非概率蒙特卡罗模拟方法和改进型蒙特卡罗模拟方法进行对比，以检验其准确性和效率。在示例12和示例13中，将该方法应用于两个结构问题。准确性通过相对误差εNRHBS=|fNRHBS?fNMCS|fNMCS×100%和εINMCS=|fINMCS?fNMCS|fNMCS×100%来评估，其中fNMCS为参考解。效率则通过计算成本Ncall来衡量。

结论
本文提出了一种基于非概率旋转超锥的采样方法，旨在高效评估工程结构?非概率失效程度。该方法的创新之处在于利用两个旋转超锥构建评估域，并将采样域限制在该评估域内。11个数值示例和2个结构示例的结果表明，所提方法相较于非概率蒙特卡罗模拟方法和改进型蒙特卡罗模拟方法具有更优的性能。

作者贡献声明
乔新洲：概念构思、方法设计、监督指导、初稿撰写。闫世聪：数据收集、方法研究、结果验证、初稿撰写。艾萨克·埃利沙科夫：理论分析、监督指导、文稿审阅与修改。胡乃刚：方法设计、项目管理、监督指导。田海波：方法设计、项目管理、监督指导。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金的支持（项目编号：52475281和52574206）。