具有执行器非线性的T-S模糊耦合忆阻神经网络的定时同步

《Chaos, Solitons & Fractals》：Prescribed-time synchronization of T–S fuzzy coupled memristive neural networks with actuator nonlinearities

　　费坦|梁金辉
中国湖南省湘潭市411105，湘潭大学计算机科学与网络空间科学学院

摘要
本文研究了在执行器非线性作用下的具有时变延迟的Takagi–Sugeno模糊耦合忆阻神经网络（TSFCMNNs）的预定时间同步问题。针对忆阻神经网络固有的非线性所带来的控制挑战，以及执行器中的死区效应和输入饱和现象，本文提出了一种预定时间控制策略，用于实现驱动系统与响应系统的同步。基于微分包含理论，并利用李雅普诺夫稳定性理论与预定时间稳定性引理，设计了预定时间控制器的结构和参数。此外，该同步的收敛时间完全不受TSFCMNNs初始状态的影响。具体而言，在执行器同时存在输入饱和和死区非线性特性的情况下，本文进一步推导出了确保TSFCMNNs实现预定时间同步的补偿充分条件。最后，数值模拟验证了所提理论结果的有效性。

引言
耦合神经网络（CNNs）一直备受研究关注。如[1]、[2]中所展示的，CNNs由多个相互连接的神经元组成，每个神经元都具有自主的动态行为[3]。这些神经元通过网络连接交换信息，而信号传输中的时变延迟是不可忽视的因素。

忆阻神经网络（MNNs）是一种由忆阻器构成的神经网络架构。作为具有记忆功能的非线性电阻器，忆阻器具有体积小、能耗低以及信息存储和处理效率高的优点。自问世以来，MNNs在人工智能应用等领域引起了广泛关注[4]、[5]。

1985年，Takagi和Sugeno提出了一种基于IF–THEN规则的非线性系统建模方法，即T–S模糊模型[6]。近年来，关于T–S模糊忆阻神经网络（TSFMNNs）的研究越来越受到重视[3]、[7]、[8]。在此基础上，本文进一步研究了具有时变延迟的TSFCMNNs的行为特性。

同步问题长期以来一直是研究热点。大量研究探讨了忆阻神经网络的同步特性，提出了多种同步方案，包括反同步[9]、投影同步[10]、二分式同步[11]、集群同步[12]以及多节点同步[13]。通常，网络无法自主实现同步，需要外部控制策略的介入。常见的控制方法包括自适应控制[14]、[15]、间歇控制[16]、间断控制[17]以及事件触发控制（ETC）[18]。

另一方面，由于控制器本身存在的硬件限制，其输出信号无法无限制地放大或减小。这类非线性效应包括死区效应和饱和现象[19]。在某些情况下，若不能有效补偿这些效应，可能会导致控制器失效或性能严重下降。近期研究广泛探讨了执行器非线性对神经网络的影响。例如，Ding等人[20]为受饱和约束的神经网络设计了具有时变切换增益的事件触发控制器，而Fei等人[21]则研究了在具有执行器饱和的多智能体系统中应用滑模估计器进行编队控制。这凸显了在设计算法和通信协议时必须同时考虑死区效应和饱和效应，并制定相应的补偿策略。因此，在设计控制策略时，必须充分考虑执行器的非线性特性。

在过去几十年中，动态系统的有限时间控制领域取得了显著进展。为使高阶非线性系统实现有限时间稳定，研究人员先后提出了多种有效策略，包括齐次方法、终端滑模控制以及高阶滑模控制[22]、[23]、[24]等。虽然这些方法能使系统在有限时间内收敛，但收敛时间的估算在很大程度上依赖于初始条件。当对系统初始状态的了解有限时，这一特点可能会限制现有研究成果的应用范围。近年来，学者们提出了预定时间控制方法，该方法可使系统的稳定收敛时间不再依赖于初始条件。在此基础上，学术界进一步发展出了多种预定时间同步策略[25]、[26]、[27]、[28]、[29]。

尽管有限时间同步已得到广泛研究，但其收敛时间要么依赖于初始条件，要么受到保守参数估计的限制。而定时间控制则作为一种更优的替代方案，允许独立于初始状态来预设收敛时间。然而，现有的针对MNNs的定时间控制结果往往忽略了实际硬件实现中不可避免的执行器死区和饱和效应的共同影响。

具体而言，死区效应会导致在控制输入幅度较小时失去作用，从而妨碍精确收敛；而输入饱和则会限制可用的最大控制能量。这种能量限制与预定时间控制器的基本要求相悖，因为后者通常要求在接近预定收敛时间时使用较大的控制增益。当这两种非线性效应同时存在时，传统的定时间控制策略极易导致性能严重下降甚至完全失效。因此，设计一种能够在死区和饱和效应共同作用下保证预定时间同步的有效补偿机制，仍是一个具有挑战性且相对未被充分研究的领域，本文旨在填补这一空白。

基于上述研究，本文进一步研究了具有时变延迟的TSFCMNNs的同步问题。本文提出了两种同步方案，所设计的控制器能够确保实现预定时间同步。主要贡献如下：
(1) 考虑到硬件组件固有的物理限制，即死区效应和输入饱和现象，本文将执行器非线性纳入TSFCMNNs的分析之中。
(2) 针对执行器非线性问题，本文建立了一种预定时间控制策略，用于实现具有时变延迟的TSFCMNNs的同步。与已有文献中提出的有限时间控制器和定时间控制器相比，例如参考文献[3]和[31]，本文设计的定时间控制器能够确保收敛时间的上限完全由用户自行设定。
(3) 在执行器非线性作用下，本文推导出了TSFCMNNs实现预定时间同步的补偿充分条件。

符号说明：R表示实数集。矩阵HT为矩阵H的转置矩阵。|?|表示绝对值。‖?‖表示欧几里得范数。‖?‖1表示1-范数。

章节节选
初步知识
定义1 [30] 对于微分方程dx/dt = h(x,t)，x∈R，我们将其对应的集值映射定义为H(x,t) = ??>0?μ(N) = 0cohB(?,x) ? N，其中co[?]表示凸包，B(?,x)={s:‖s?x‖≤?}，μ(N)表示集合N的勒贝格测度。

菲利波夫解的定义如下：给定初始条件x(0)=x0，函数x(t)是在t∈[0,T]上定义的连续函数，且满足dx/dt ∈ H(x,t)，t∈[0,T]。

注1：在MNNs中，突触连接权重（忆阻值）通常具有状态依赖性。

预定时间同步
基于引理1，我们设计了如下同步控制方案。第i个节点的控制器为ui(t) = ?ξ1ei(t) ? ξ2sign(ei(t)) ? 2k?1CTCdiag{sign(e(i)(t))}(|ei(t)|2δk?1 + |ei(t)|2θk?1)，其中ui(t)=(ui1(t),ui2(t),…,uin(t))T∈Rn，sign(ei(t))=(sign(ei1(t)),sign(ei2(t)),…,sign(ein(t)))T，diag{sign(e(i)(t))}=diag{sign(ei1(t)),sign(ei2(t)),…,sign(ein(t))}，ξ1>0，ξ2>0，δ>0，k>1，θ≥0，0< /><δk。tc为预定的收敛时间，c的定义见引理1。

将(5)代入误差系统(4)中……

数值模拟
通过实例展示了定理1和定理2的有效性。具有时变延迟的tsfcmnns的模型表达式为xi?(t) = ∑?=1mh?(p(t))[?a?xi(t)+b?xf(xi(t))+c?xf(xi(t?τ))+σ∑l=1ngilxl(t)+ii+ui]，yi?(t) = ∑?=1mh?(p(t))[?a?yi(t)+b?yf(yi(t))+c?yf(yi(t?τ))+σ∑l=1ngilyl(t)+ii]，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t))t，yi(t)=(yi1(t),yi2(t))t，f(?)=tanh(?)，σ=0.5，τ(t)=et2(1+et)，i(t)=(0,0)t。此外，系统矩阵的具体形式为：a?1=diag{1,0.8}，a?2=diag{0.9,1.2}。

结论
本文研究了耦合忆阻神经网络的同步问题。在耦合网络模型下，基于t–s模糊模型，可在预定时间内实现同步。本文设计了反馈同步控制器，并在此基础上提出了一种能够处理具有输入饱和和死区特性的非线性执行器的同步控制器，以实现预定时间同步的目标。所提方法的可行性……

credit作者贡献声明
费坦：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，软件，资源，方法论，研究，资金获取，正式分析。梁金辉：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，研究，正式分析，数据整理。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究部分得到了湖南省教育厅科学研究基金（项目编号24b0124）以及中国高等教育博士学科点专项科研基金（项目编号22qdz18）的支持。 将(5)代入误差系统(4)中…… 数值模拟 通过实例展示了定理1和定理2的有效性。具有时变延迟的tsfcmnns的模型表达式为xi?(t)=∑?=1mh?(p(t))[?A?xi(t)+B?xf(xi(t))+C?xf(xi(t?τ))+σ∑l=1Ngilxl(t)+Ii+ui]，yi?(t) = ∑?=1mh?(p(t))[?A?yi(t)+B?yf(yi(t))+C?yf(yi(t?τ))+σ∑l=1Ngilyl(t)+Ii]，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t))T，yi(t)=(yi1(t),yi2(t))T，f(?)=tanh(?)，σ=0.5，τ(t)=et2(1+et)，I(t)=(0,0)T。此外，系统矩阵的具体形式为：A?1=diag{1,0.8}，A?2=diag{0.9,1.2}。 结论 本文研究了耦合忆阻神经网络的同步问题。在耦合网络模型下，基于t–s模糊模型，可在预定时间内实现同步。本文设计了反馈同步控制器，并在此基础上提出了一种能够处理具有输入饱和和死区特性的非线性执行器的同步控制器，以实现预定时间同步的目标。所提方法的可行性…… credit作者贡献声明 费坦：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，软件，资源，方法论，研究，资金获取，正式分析。梁金辉：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，研究，正式分析，数据整理。 利益冲突声明 作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。 致谢>
将(5)代入误差系统(4)中……

数值模拟
通过实例展示了定理1和定理2的有效性。具有时变延迟的tsfcmnns的模型表达式为xi?(t) = ∑?=1mh?(p(t))[?a?xi(t)+b?xf(xi(t))+c?xf(xi(t?τ))+σ∑l=1ngilxl(t)+ii+ui]，yi?(t) = ∑?=1mh?(p(t))[?a?yi(t)+b?yf(yi(t))+c?yf(yi(t?τ))+σ∑l=1ngilyl(t)+ii]，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t))t，yi(t)=(yi1(t),yi2(t))t，f(?)=tanh(?)，σ=0.5，τ(t)=et2(1+et)，i(t)=(0,0)t。此外，系统矩阵的具体形式为：a?1=diag{1,0.8}，a?2=diag{0.9,1.2}。

结论
本文研究了耦合忆阻神经网络的同步问题。在耦合网络模型下，基于t–s模糊模型，可在预定时间内实现同步。本文设计了反馈同步控制器，并在此基础上提出了一种能够处理具有输入饱和和死区特性的非线性执行器的同步控制器，以实现预定时间同步的目标。所提方法的可行性……

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费坦：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，软件，资源，方法论，研究，资金获取，正式分析。梁金辉：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，研究，正式分析，数据整理。

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致谢
本研究部分得到了湖南省教育厅科学研究基金（项目编号24b0124）以及中国高等教育博士学科点专项科研基金（项目编号22qdz18）的支持。>