基于数值直接求解法的滤波器设计方法——一种适用于多频带及复杂响应滤波器的数值综合技术

《Ain Shams Engineering Journal》：A numerical direct solution approach for characteristic function in filter design

　　

摘要：本文提出一种用于滤波器设计的数值直接求解法（Numerical Direct Solution Approach, NDSA），以解决传统经典滤波器综合方法难以处理双频带及复杂频率响应滤波器设计，且主流方法高度依赖电磁仿真软件迭代优化参数的问题。在给定采样频点目标反射系数幅度|S11|opt条件下，特征多项式h(s)的幅值可确定但其相位θi未知，不同相位组合导致全频段S11与S21响应不同。该方法以各采样频点h(si)的相位θ=[θ1,θ2,…,θN]为遍历变量，在[0,2π)范围内进行相位空间扫描，结合加权误差函数（含通带误差Errpass与阻带误差Errstop）评估计算响应与目标响应的匹配度，选取最小误差对应的相位组合求解最优特征多项式hopt(s)，进而由Feldtkeller方程求得g(s)及输入阻抗函数Zin,opt(s)，最终经网络拓扑综合获得LC（电感-电容）集总元件参数。研究人员通过双频带滤波器、谐波控制滤波器及宽带滤波器三个设计实例验证算法有效性，理论合成、商用元件（Murata GRM系列电容与LQW系列电感）仿真及实物测试（Rogers RO450B基板，Keysight E5071C矢量网络分析仪测量）结果吻合良好，表明该方法可快速实现多频带及复杂响应滤波器的一体化数值综合，不受电路阶数限制且仅取决于采样频点数，为非常规滤波器设计提供新途径。

论文解读：基于数值直接求解法（NDSA）的滤波器设计研究

研究背景与意义

传统经典滤波器设计方法（如基于插入损耗法或传输零极点的Darin/Orchard方法）主要针对Chebyshev、Butterworth等标准单调响应进行解析综合，难以直接推广至多频带（Dual-band、Tri-band）及具有指定谐波抑制或宽带特性的复杂响应滤波器设计。此外，现有工程上常用的设计流程高度依赖电磁仿真软件（如ADS、HFSS）对电路参数进行反复迭代调优，设计效率低且缺乏系统性理论指导。针对上述问题，本文在《Ain Shams Engineering Journal》发表研究成果，提出一种数值直接求解法（Numerical Direct Solution Approach, NDSA），通过在采样频点引入特征函数相位变量扫描机制，直接从目标|S₁₁|幅值反推特征多项式与输入阻抗函数，进而综合出集总参数LC网络，实现对任意指定频响（多通带、指定阻带凹陷）滤波器的快速数值综合。

主要关键技术方法

研究人员采用基于复散射参数与Darlington（达林顿）综合理论的数值求解框架：(1) 预设n阶多项式f(s)（如f(s)=s或f(s)=1）及采样频点（含通带与阻带），给定各点目标|S₁₁|_opt；(2) 由|S₁₁|_opt计算特征函数幅值|h(s_i)|，将h(s_i)=|h(s_i)|·e^jθ_i中θ_i作为自由变量构建偶数项矩阵W_ev与奇数项矩阵W_od，分离求解实系数矩阵D_ev=W_ev^-1·Re[H]与D_od=W_od^-1·Im[H]，交错排列还原实系数矩阵D得到h(s)各项系数；(3) 在[0,2π)内以指定步长遍历各采样点相位组合θ，由Feldtkeller方程求g(s)，得输入阻抗函数Z_in(s)=[g(s)+h(s)]/[g(s)-h(s)]·Z₀（Z₀=50Ω），计算全频段|S₁₁|与|S₂₁|；(4) 定义加权总误差Error=W_pass×Err_pass+W_stop×Err_stop（Err_pass=1/L·Σ(|S_11,l|_goal-|S_11,l|)，Err_stop=1/K·Σ(|S_21,k|-|S_21,k|_goal)），选取误差最小者对应h_opt(s)与Z_in,opt(s)；(5) 对Z_in,opt(s)进行连分式展开（Cauer或Foster综合）得到由串联电感与并联电容组成的梯形网络（含终端并联电感与负载电阻R_L≈50Ω）。设计实例选用三种目标响应，多项式阶数n=10，f(s)=s，初始中心相位180°，逐步减半扫描步长迭代寻优。实物加工采用Rogers RO450B基板（ε_r=3.48，h=20mil），元件选用Murata商用贴片电感（LQW18AN系列）与电容（GRM18系列），测试校准使用Keysight 85052B机械校准件。

研究结果

2.1 特征多项式的数值直接求解

研究人员推导了由复矩阵方程分离实部与虚部求解实系数特征多项式的方法。已知无损滤波器满足|S₁₁(jω)|²+|S₂₁(jω)|²=1，故只需指定|S₁₁|_opt即可确定|S₂₁|。通过构造偶次与奇次Vandermonde型矩阵W_ev、W_od将复值方程组解耦为两个实线性方程组，交替填充得到全实系数h(s)。研究表明h(s_i)幅值由|S₁₁|_opt唯一确定，而相位θ_i任意取值均满足采样点幅值约束，但影响非采样频点响应，故需择优选取。

2.2 算法（Algorithm）——数值直接求解法（NDSA）

研究人员建立了以相位θ为自变量的误差评价与扫描机制。设置通带/阻带加权系数，遍历相位空间计算Error，低于阈值或取全局最小Error对应的θ组合锁定h_opt(s)。算法计算量仅与采样频点数相关而与滤波器阶数无关，适用于高阶滤波器设计，且具有鲁棒性。若无解则需更换f(s)形式（即改变网络拓扑约束）重新求解。

2.3 相位θ对滤波器频率响应的影响（Effect of phase θ on filter frequency response）

研究人员通过数值实验（N=8，f(s)=1，通带采样1.0/1.4GHz，阻带采样2.5GHz）发现：所有相位组合得到的S₁₁/S₂₁曲线均在采样频点相交（锚定点），在非采样频点呈发散趋势，说明相位配置控制着非采样区的幅频形态；当通带|S₁₁|_opt更严格（0.01 vs 0.1）时非采样点响应离散度减小，表明目标幅值设定与解函数特性存在关联。实际设计中若扫描后全频段仍不满足指标需调整|S₁₁|_opt。

3.1 双频带滤波器（Dual-band filter）

设计目标：通带0.3GHz与1.0GHz（|S₁₁|_opt=0.05），阻带0.8GHz（|S₁₁|_opt=0.995），n=10，f(s)=s。经两轮迭代获最优相位θ=[45°,225°,255°,255°,75°]，综合得五节LC梯形网络加终端并联电感与50Ω负载。理想元件仿真符合理论，Murata商用元件仿真及实测显示低频频段吻合好，高频通带有约100MHz频偏（归因于元件容差），阻带抑制>20dB，相对带宽88%，验证NDSA可实现双通带滤波器快速综合。

3.2 谐波控制滤波器（Harmonic control filter）

设计目标：通带0.8–1.0GHz（|S₁₁|_opt=0.05），指定抑制点1.8/2.7/3.6GHz（|S₁₁|_opt=0.992），n=10，f(s)=s。六轮迭代获最优相位，综合得同类拓扑。实测通带回波损耗< />₁₁<-20dB，三处谐波点S₂₁<-40dB，确认NDSA可针对特定谐波频点定制抑制滤波器。

3.3 宽带滤波器（Broadband filter）

设计目标：通带0.8–1.2GHz（|S₁₁|_opt=0.01），阻带采样1.6GHz（|S₁₁|_opt=0.999），n=10，f(s)=s。三轮迭代获最优相位，综合得同类拓扑。实测通带匹配< />₁₁<-25dB，阻带抑制>45dB@1.6–2.4GHz，验证NDSA适用于宽带滤波器设计。

4. Experimental results（实验结果）

三组滤波器实物加工与矢量网络分析仪测试表明：测量S参数与Murata元件级仿真趋势一致，通带回波损耗与插入损耗、阻带/谐波抑制特性均达成设计目标，组延迟在合理范围内（双频带0.3–6.8ns，谐波控制1.2–1.4ns，宽带1.6–3.2ns），证实了NDSA从理论到实际硬件的可实现性与对元件公差的容忍度。

讨论与结论（Conclusion）

研究人员指出，经典方法难以综合多频带及复杂响应滤波器且依赖仿真迭代优化；本文提出的NDSA方法利用特征函数相位自由度建立相位—频响映射关系，通过相位空间扫描与加权误差最小化直接获取满足目标|S₁₁|(幅值)约束的最优特征多项式与输入阻抗函数，进而经Darlington综合得到LC元件值。该方法不依赖电磁仿真迭代，计算量仅取决于采样频点数，适合高阶及非标准响应滤波器设计。三个设计实例（双频带、谐波控制、宽带）的理论合成、商用元件仿真与实物测量结果相互印证，证明了NDSA的有效性及工程适用性。若当前f(s)对应拓扑无法满足指标需更换f(s)形式（即改变网络架构约束），这是判断拓扑适用性的快速判据。相位遍历虽看似削弱"直接求解"特征，但实际各θ均为满足采样点约束的解，遍历仅为优选全频段特性，不影响方法本质。未来可将NDSA拓展应用于多谐振腔拓扑以提升带外抑制陡度。综上所述，NDSA简化了滤波器设计流程，可快速灵活综合多样化频响，是对现有滤波器设计方法体系的有效补充，为多频带/复杂响应滤波器设计提供了新视角。