New Compound T-Exponential Extension of the Exponentiated Exponential Distribution with Application to Failure Time Data

《Alexandria Engineering Journal》：A new cosine trigonometric-G method with properties and simulation: Its practical insights in reliability engineering and sports

　　

研究人员提出了一类新的连续寿命分布——New Compound T-Exponential Extension of the Exponentiated Exponential Distribution（NCTEE分布，即新复合T-指数扩展的幂指数分布），该分布由Exponentiated Exponential（EE，幂指数）分布经New Compound T-Exponential（NCTE）变换构造而得，含形状参数θ（theta）、尺度参数σ（sigma）及NCTE子模型的形状参数φ（phi）。研究人员推导了该分布的pdf（概率密度函数）、cdf（累积分布函数）、生存函数S(x)、风险函数h(x)及逆矩生成函数；证明了当φ→1时NCTEE退化为Compound T-Exponential Exponentiated Exponential（CTEEE）分布，当θ=1时退化为NCTE指数分布，当θ=1且φ→1时退化为经典Exponential分布；利用Legendre多项式展开技巧将pdf表示为无穷余弦级数，据此求得r阶原点矩μ'r的解析表达式，进而计算前四阶矩、方差Var(X)=μ'2?(μ'1)2、变异系数CV=√μ2/μ'1、偏度β1与峰度β2，并给出不同参数组合下的数值矩表；研究人员建立对数似然函数并给出φ、σ、θ的得分方程（无闭式解，需数值求解），采用极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）获得参数估计值，并通过不同样本量（n=25~500）的Monte Carlo模拟（SS，Simulation Study）评估MLE的无偏性与一致性；将NCTEE分布拟合真实失效时间数据集，并与Exponential、Weibull、Gamma、Exponentiated Exponential（EE）、Generalized Exponential（GE）、Beta Exponential及CTEEE等竞争分布进行AIC（Akaike Information Criterion）、BIC（Bayesian Information Criterion）、K-S（Kolmogorov–Smirnov）检验比较，结果显示NCTEE分布具有最优拟合优度。

论文解读——New Compound T-Exponential Extension of the Exponentiated Exponential Distribution with Application to Failure Time Data（《Alexandria Engineering Journal》）

研究背景与意义

经典Exponential分布因恒定失效率假设难以刻画浴盆曲线中早期失效或耗损阶段的特征，现有扩展模型如Weibull、Exponentiated Exponential（EE，幂指数分布）虽增加灵活性但仍存在对偏态与尾部行为刻画不足的问题。New Compound T-Exponential（NCTE）族为近年提出的通用复合框架，可灵活建模各类寿命数据。本研究将其与Exponentiated Exponential分布结合，构建New Compound T-Exponential Extension of the Exponentiated Exponential Distribution（NCTEE分布），旨在提供更丰富的形状适应性以拟合复杂失效时间数据，并验证其实用价值。

主要关键技术方法

研究人员采用以下方法开展研究：(1)基于NCTE变换构造NCTEE分布的pdf与cdf，利用Legendre多项式将含(1?e^?σx)^φ?1项展开为cos^m(t)的无穷级数以解析积分；(2)代入∫₀^∞x^rf(x)dx求前四阶原点矩，再依标准公式算中心矩、CV、偏度β₁、峰度β₂；(3)编写R程序对不同(φ,σ,θ)组合数值计算矩值列表；(4)基于n个i.i.d.样本写出对数似然?_log，对φ、σ、θ分别求偏导得得分方程，用数值优化（如Newton–Raphson）解MLE；(5)Monte Carlo模拟：按逆变换法从NCTEE生成随机样本（n=25,50,…,500，重复N次），计算参数估计的偏差Bias与均方误差MSE以考察MLE渐近性质；(6)对实际失效时间数据集，用NCTEE与七种对照分布做MLE拟合，比较AIC、BIC及K-S统计量（含p值）。

研究结果

3. Moments and related measures（矩与相关度量）

研究人员将r阶原点矩表达为μ'_r=∑_m=0^∞w_m·∫₀^∞x^rθπφσe^?σx(1?e^?σx)^φ?1sin(t)cos^m(t)dx（其中w_m为Legendre系数），取r=1~4计算得数值结果列于Table 1（固定φ=1.2,σ=0.5变θ）与Table 2（固定φ=0.5,σ=1.2变θ），可见随θ增大各阶矩单调递增。由原点矩导出方差μ₂=μ'₂?(μ'₁)²、SD=√μ₂、CV=SD/μ'₁、偏度β₁=[μ'₃?3μ'₂μ'₁+2(μ'₁)³]/μ₂^3/2、峰度β₂=[μ'₄?4μ'₁μ'₃+6μ'₂(μ'₁)²?3(μ'₁)⁴]/μ₂²，数值结果见Table 3与Table 4。结论：NCTEE分布可呈现右偏（β₁>0）且峰度可高于或低于正态分布（β₂≈3），随θ增大CV与β₁减小，表明参数θ控制分布离散度与偏态，φ与σ影响尺度与形态，具备广泛形状可调性。

4. Estimation and simulation（估计与模拟）

4.1. Estimation（估计）

对数似然函数为?_log=n ln θ+n ln φ+n ln σ?σ∑x_i+(φ?1)∑ln(1?e^{?σx_i)+(θ?1)∑ln[1?cos(π/2·B(·))]?(θ+1)∑ln[1+cos(π/2·B(·))]+∑ln sin(π/2·B(·))，分别对φ、σ、θ求偏导置零得MLE方程组，需数值求解。}

4.2. The SS（模拟研究）

研究人员设定三组真值组合(φ,σ,θ)，样本量n=25,50,75,…,500，各重复若干次Monte Carlo模拟。结果表明：随n增大，?^MLE、σ^MLE、θ^MLE的估计偏差Bias与均方误差MSE均趋于零，说明MLE具有渐近无偏性与相合性，验证了估计方法的可靠性。

实际数据拟合部分（未展开详细数值但原文结论）：NCTEE分布对失效时间数据的AIC、BIC最小，K-S统计量最小且p值最大，优于Exponential、Weibull、Gamma、EE、GE、Beta Exponential及CTEEE分布，证明其较竞争模型有更优的实际拟合能力。

讨论与结论

研究人员得出结论：所提出的NCTEE分布是Exponentiated Exponential分布经New Compound T-Exponential变换的有效扩展，其pdf与cdf具闭型、矩可解析表达（借助Legendre展开），参数对偏度、峰度、散布具良好调控能力；极大似然估计可通过数值方法获得且模拟显示其渐近性质优良；实证数据分析表明NCTEE分布较多种经典及近年扩展寿命分布更能贴合实际失效时间数据的特征。该分布可为工程可靠性分析、生存分析及各类正偏寿命数据的统计建模提供更具柔性的新工具。