Crouzeix–Raviart弹塑性扭转有限元近似方法

《Applied Mathematics and Computation》：Crouzeix–Raviart finite element approximation for elastoplastic torsion

　　弗朗茨·丘利 | 帕特里克·希尔德

摘要
本研究探讨了在二维空间中以弱形式表述的弹塑性扭转问题，即变分不等式问题。我们采用了Crouzeix–Raviart有限元近似方法，并为足够规则的连续解建立了自然范数意义下的O(h)阶最优误差界。

引言
涉及变分不等式的弱形式表述能够描述力学和物理学中的各种非线性现象[1]。我们重点研究如[2]中所阐述的弹塑性扭转问题。关于该问题的数值分析研究较少，可参考[2]、[3]、[4]、[5]以及最近的文献[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。我们研究了基于Crouzeix–Raviart有限元的变分不等式直接近似方法，同时对梯度范数加以限制。我们在二维空间中证明了误差估计结果，对于足够规则的连续解，其误差界为O(h)。为此，我们利用了Crouzeix–Raviart插值算子的特殊性质以及针对非符合项的适当误差界。

通常，我们用Hs(?)，s∈R表示(Hilbert)索伯列夫空间，用Ws,p(?)，1≤p≤+∞表示(Banach)索伯列夫空间。对于Rn中的开子集D，Hs(D)的自然范数记为‖?‖s,D，Ws,p(D)的自然范数记为‖?‖s,p,D。H01(D)则是H1(D)中在?D上迹为零的函数子空间。字母C表示与离散化参数无关的通用常数。

章节节选
弹塑性扭转问题
设Ω?R2为一个开放的有界多边形，且连通且具有利普希茨边界。我们考虑用于描述横截面为Ω、塑性屈服强度为r>0的无限长弹塑性圆柱体扭转情况的变分不等式。为简化问题，我们假设r=1。该问题的目标是找到应力势u，使得u∈K：a(u,v?u)≥L(v?u)，?v∈K，其中a:H1(Ω)×H1(Ω)→R是由下式给出的双线性形式：?a(u,v)?∫Ω?u??v，?u,v∈H1(Ω)，而?L(v)?∫Ωfv，?v∈H1(Ω)，f∈L2(Ω)。符号K表示非空的闭集。

Crouzeix–Raviart有限元近似
我们沿用了[13]、[14]中的表述方式，仅对符号做了少量调整。设(Th)h>0为域Ω的一组规则三角剖分（?h?maxT∈ThhT，其中hT是Th中任意三角形T的直径）。我们用Fh表示Th的所有（内部和边界）边，用F表示Fh中的任意一条边。对于F这条内部边，我们用T1和T2表示与F相接的两个三角形，用ni表示Ti边界的向外法向量，i=1,2。如果F是边界边，那么我们用T1来表示。

先验误差估计
我们为u?uh推导出了先验误差界。主要工具是一个Falk型引理，这是一种适用于变分不等式的抽象误差估计方法，同时也能考虑到诸如Crouzeix–Raviart近似这样的非符合方法的运用。对于障碍问题的Crouzeix–Raviart有限元近似，由于存在非符合性，也会出现类似的难题，参见[15]、[16]、[17]、[18]。需要指出的是，对于弹塑性问题，目前尚缺乏最优的先验和后验误差分析方法。

致谢
作者感谢两位匿名审稿人，他们的意见有助于提升研究成果的表述质量。