四阶奇异扰动问题内部罚虚拟元方法的最优误差分析

《Applied Numerical Mathematics》：Optimal error analysis of an interior penalty virtual element method for fourth-order singular perturbation problems

　　方峰|孙远毅|余悦
中国江苏省南京市南京科技大学数学与统计学院，邮编210094

**摘要**
在近期的一些研究[17,18]中，人们提出了内罚虚拟元素法（IPVEM）用于求解四阶奇异扰动问题，并证明了在扰动参数的最低阶情况下具有均匀收敛性。然而，所得的均匀收敛速率仅为半阶，这一结果并非最优。在本研究中，我们证明了所提出的IPVEM即使在存在边界层的情况下也能实现最优且均匀的误差估计。通过若干数值实验对理论结果进行了验证，这些实验不仅证实了误差估计的正确性，还凸显了该方法在处理奇异扰动问题时的有效性。

**引言**
设Ω为R2中的有界多边形区域，其边界为?Ω。对于属于L2(Ω)的函数f，我们考虑以下四阶奇异扰动方程的边值问题：
{ε2Δ2u?Δu=fu∈Ω, u=?u/?n=0 on ?Ω}，
其中n=(n1,n2)是?Ω的单位外法向量，ε为满足0<ε≤1的实数参数。在本文中，我们主要研究ε→0的情况，此时微分方程在形式上退化为泊松方程，但由于存在额外的法向边界条件，u的一阶导数处会出现边界层。

本文聚焦于虚拟元素法（vem），该方法扩展了传统的有限元方法，能够处理一般的多面体网格[1] [2] [3]。与传统有限元方法相比，vem在处理复杂几何结构以及具有高规则性解的问题时具有优势[4] [5] [6] [7]。此外，由于在网格选择上具有极大的灵活性，vem无需对悬挂节点进行特殊处理，这在网格细化过程中具有显著优势[8] [9]。除了这些公认的优势之外，vem还为那些需要特殊结构离散空间和参数鲁棒数值方法的问题提供了进一步的好处。例如，在纳维-斯托克斯方程中，无散条件divu=0代表着质量守恒，对于压力鲁棒的数值方法而言至关重要。虽然许多经典的混合有限元元素，如泰勒-胡德元素和迷你元素，仅以投影方式满足无散条件，但vem能够构建出在离散层面上严格满足divuh=0的速度空间[10] [11] [12] [13]。在线性弹性问题中也会出现类似的问题，即那些要求对拉梅系数无锁定的方法需要使用允许存在可交换插值的逼近空间。传统的无锁定元素构建起来较为复杂，非符合性的克鲁泽-拉维阿尔特元素就是一种低阶的例子。而利用vem，则可以系统地构建出任意阶的无锁定元素[14] [15]。

最近，有研究[16]将内罚技术应用于vem，用于求解双调和方程，该技术使用了与h1符合性虚拟元素[1]相同的自由度。这种数值方案可视为虚拟元素空间与不连续伽辽金方法的结合，因为由此产生的全局离散空间是h1非符合性的，同时通过内罚形式来确保解的连续性。随后，内罚方法被应用于解决四阶奇异扰动问题[17]，并对原始空间进行了一些调整。这些修改包括改变h1型投影的定义以及自由度的选择。与[17]中的方法不同，我们在[18]中采用了[16]中提出的原始公式来处理四阶奇异扰动问题(1.1)。之所以做出这样的选择，是因为vem具有独特的“自由度驱动”特性：离散化主要由自由度决定，所有可计算的量都用自由度来表示，而不依赖于显式的形状函数。当扰动参数ε→0时，问题趋于泊松方程，此时使用c0符合性的vem更为合适。然而，由于[16]中开发的内罚空间是h1非符合性的，人们可能会自然而然地考虑采用[19]中改进的莫利有限元方法，即为双线性形式的低阶部分引入一个额外的线性符合性插值算子。有趣的是，在我们的[18]分析中，这种线性近似其实并无必要，因为它产生的第一阶椭圆投影与原始vem公式完全相同。这种简化不仅仅是一种技术上的便利，更是vem自由度驱动特性的直接体现——所有可计算的量都仅用自由度来表示。因此，该方案在保持预期收敛性的同时，避免了在标准有限元或改进的莫利框架下所需的额外复杂性。为了简化实现过程，我们通过引入椭圆投影算子πh?来修改罚项中的跳跃项和平均项。值得注意的是，尽管ipvem是h1非符合性的，因此相比c0连续有限元[20]，它对解的规则性要求较低，但[16] [17] [18]中的先验误差估计表明，内罚虚拟元素的表现与c0连续元素相似。这一性质也可延伸到后验分析中，因为无论是离散方案还是误差估计器，都无需显式处理函数跳跃现象[21]。

[17]和[18]中的分析均表明，ipvem在最低阶情况下对扰动参数具有鲁棒性。虽然从理论上讲，两种方法都具有o(h1/2)的相同均匀收敛速率，但由于它们在处理一致性项∑e∈eh∫e?u/?ne[vh]ds时的方式不同，其数值性能也存在差异。正如[18]引言以及[17]定理4.5后的注释中所指出的，[17]中的方法存在非符合性误差，这导致当ε趋近于零时收敛速率并不理想。该论文的表4显示，其收敛速率为o(h1.??)，虽然优于理论预测的o(h1/2)，但对于较小的ε值而言仍低于最优速率o(h2)。相比之下，由于我们的方法[18]中的一致性项为零，尽管其误差分析也并非最优，但在数值实验中已经展现了最优的收敛速率。本文实际上填补了理论与先前观测到的数值结果之间的差距。

在那些能够为奇异扰动问题实现最优且均匀收敛的离散方法中，尼切技术常被用于处理参数依赖的边值问题，以提高计算效率。关于其应用概述，可参考[22]中的综述。在[23] [24]中，作者们表明，通过使用特殊设计的网格，弱伽辽金有限元方法和不连续伽辽金方法也能够实现最优收敛。由于尼切方法需要额外的稳定化项，这可能会增加实现的复杂性，黄和唐[25]将问题重新表述为二阶系统，这样一来，边界条件?nu就可以在分布混合格式中自然且弱性地得到施加。与此同时，[26]将四阶椭圆奇异扰动问题分解为两个泊松方程以及一个涉及旋度算子的广义奇异扰动斯托克斯型方程的组合。为了解决边界层问题，他们在离散双线性形式中引入了与第二类最低阶nédélec元素相关的节点插值算子，这种方式同样避免了额外的稳定化项。

在回顾这一方法后，我们发现ipvem可以被看作是尼切技术的一种应用。在尼切方法中，边界条件?nu是通过罚项以弱形式施加的，从而减少了对域边界的限制[22]。ipvem也遵循同样的思路，这一点在研究[21]中针对非均匀边界条件的方案推导时更为明显。因此，正如之前的数值测试所显示的，ipvem应当能够实现最优的收敛速率。基于这一认识，我们在本文中证明了[18]中开发的ipvem能够自然地为存在边界层的四阶奇异扰动问题实现最优收敛。

**章节节选**

**连续变分问题**
首先介绍一些符号。对于维度为d（d=1,2）的有界利普希茨域d，符号(v,w)d=∫dvwdx表示d上的l2内积，‖·‖?,d或‖·‖d则表示l2范数。如果d=ω，则将‖·‖ω简写为‖·‖。对于向量函数，v=(v?,v?)?和w=(w?,w?)?，内积定义为(v,w)d=∫d(v?w?+v?w?)dx。缩放单项式集合mr(d)定义为mr(d):={(x?xdhd)s,|s|≤r}，其中通用单项式记为md，hd表示d的直径，xd表示……

**内罚虚拟元素法**
内罚虚拟元素法（ipvem）最初由[16]提出。在该方法的构建过程中，作者首先引入了一个c1连续的虚拟元素空间(k≥2)v?k+2(k)={v∈h2(k):δ2v∈pk(k), v|e∈pk+2(e), ?nv|e∈pk+1(e), e??k}。关于所使用的自由度，可参考[16] [18]：
•χ?p：v在k的顶点处的值，χ?zp(v)=v(z)，z为k的顶点；
•χ?g：hz?v在k的顶点处的值，χ?zg(v)=hz?v(z)，z为k的顶点，其中hz为特征长度。

**最优且均匀的误差估计**
首先给出一些误差分析的结果。由于vh和vh1,c具有相同的自由度，如同[18]中所做的那样，我们可以建立从vh到vh1,c的插值关系。对于任意的vh∈vh，令ihcvh为vh在vh1,c中的节点插值函数。根据[18]中的引理4.1和4.2，我们有以下抽象的斯特兰格型引理：
**引理4.1**：假设u∈h?2(ω)∩hk+1(ω)是方程(2.1)的解，且k≥2。那么我们有如下误差估计：
∥u?uh∥ε,h?∥u?ihu∥ε,h+∥u?uπ∥ε,h+∥f?fh∥vh′+eh(u)，
其中ih为……

**数值示例**
在本节中，我们通过多个示例来展示该方法的性能，测试其在处理具有边界层效应的问题的精度以及对于奇异参数ε的鲁棒性。我们研究了k=2和k=3两种情况，且域ω取为单位正方形(0, 1)2。所有示例均在matlab r2019b环境中实现。相关代码可在github上找到（https://github.com/terenceyuyue/mvem），它是mvem软件包的一部分，该软件包具备高效性……

**credit作者贡献声明**
方峰：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论，形式分析，概念构思。
孙远毅：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，形式分析，概念构思。
余悦：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，监督，软件实现，形式分析，概念构思。 本文聚焦于虚拟元素法（vem），该方法扩展了传统的有限元方法，能够处理一般的多面体网格[1] [2] [3]。与传统有限元方法相比，vem在处理复杂几何结构以及具有高规则性解的问题时具有优势[4] [5] [6] [7]。此外，由于在网格选择上具有极大的灵活性，vem无需对悬挂节点进行特殊处理，这在网格细化过程中具有显著优势[8] [9]。除了这些公认的优势之外，vem还为那些需要特殊结构离散空间和参数鲁棒数值方法的问题提供了进一步的好处。例如，在纳维-斯托克斯方程中，无散条件divu=0代表着质量守恒，对于压力鲁棒的数值方法而言至关重要。虽然许多经典的混合有限元元素，如泰勒-胡德元素和迷你元素，仅以投影方式满足无散条件，但VEM能够构建出在离散层面上严格满足divuh=0的速度空间[10] [11] [12] [13]。在线性弹性问题中也会出现类似的问题，即那些要求对拉梅系数无锁定的方法需要使用允许存在可交换插值的逼近空间。传统的无锁定元素构建起来较为复杂，非符合性的克鲁泽-拉维阿尔特元素就是一种低阶的例子。而利用vem，则可以系统地构建出任意阶的无锁定元素[14] [15]。 最近，有研究[16]将内罚技术应用于vem，用于求解双调和方程，该技术使用了与h1符合性虚拟元素[1]相同的自由度。这种数值方案可视为虚拟元素空间与不连续伽辽金方法的结合，因为由此产生的全局离散空间是h1非符合性的，同时通过内罚形式来确保解的连续性。随后，内罚方法被应用于解决四阶奇异扰动问题[17]，并对原始空间进行了一些调整。这些修改包括改变h1型投影的定义以及自由度的选择。与[17]中的方法不同，我们在[18]中采用了[16]中提出的原始公式来处理四阶奇异扰动问题(1.1)。之所以做出这样的选择，是因为vem具有独特的“自由度驱动”特性：离散化主要由自由度决定，所有可计算的量都用自由度来表示，而不依赖于显式的形状函数。当扰动参数ε→0时，问题趋于泊松方程，此时使用c0符合性的vem更为合适。然而，由于[16]中开发的内罚空间是h1非符合性的，人们可能会自然而然地考虑采用[19]中改进的莫利有限元方法，即为双线性形式的低阶部分引入一个额外的线性符合性插值算子。有趣的是，在我们的[18]分析中，这种线性近似其实并无必要，因为它产生的第一阶椭圆投影与原始vem公式完全相同。这种简化不仅仅是一种技术上的便利，更是vem自由度驱动特性的直接体现——所有可计算的量都仅用自由度来表示。因此，该方案在保持预期收敛性的同时，避免了在标准有限元或改进的莫利框架下所需的额外复杂性。为了简化实现过程，我们通过引入椭圆投影算子πh?来修改罚项中的跳跃项和平均项。值得注意的是，尽管ipvem是h1非符合性的，因此相比c0连续有限元[20]，它对解的规则性要求较低，但[16] [17] [18]中的先验误差估计表明，内罚虚拟元素的表现与c0连续元素相似。这一性质也可延伸到后验分析中，因为无论是离散方案还是误差估计器，都无需显式处理函数跳跃现象[21]。 [17]和[18]中的分析均表明，ipvem在最低阶情况下对扰动参数具有鲁棒性。虽然从理论上讲，两种方法都具有o(h1 2)的相同均匀收敛速率，但由于它们在处理一致性项∑e∈eh∫e?u ?ne[vh]ds时的方式不同，其数值性能也存在差异。正如[18]引言以及[17]定理4.5后的注释中所指出的，[17]中的方法存在非符合性误差，这导致当ε趋近于零时收敛速率并不理想。该论文的表4显示，其收敛速率为o(h1.??)，虽然优于理论预测的o(h1 2)，但对于较小的ε值而言仍低于最优速率o(h2)。相比之下，由于我们的方法[18]中的一致性项为零，尽管其误差分析也并非最优，但在数值实验中已经展现了最优的收敛速率。本文实际上填补了理论与先前观测到的数值结果之间的差距。 在那些能够为奇异扰动问题实现最优且均匀收敛的离散方法中，尼切技术常被用于处理参数依赖的边值问题，以提高计算效率。关于其应用概述，可参考[22]中的综述。在[23] [24]中，作者们表明，通过使用特殊设计的网格，弱伽辽金有限元方法和不连续伽辽金方法也能够实现最优收敛。由于尼切方法需要额外的稳定化项，这可能会增加实现的复杂性，黄和唐[25]将问题重新表述为二阶系统，这样一来，边界条件?nu就可以在分布混合格式中自然且弱性地得到施加。与此同时，[26]将四阶椭圆奇异扰动问题分解为两个泊松方程以及一个涉及旋度算子的广义奇异扰动斯托克斯型方程的组合。为了解决边界层问题，他们在离散双线性形式中引入了与第二类最低阶nédélec元素相关的节点插值算子，这种方式同样避免了额外的稳定化项。 在回顾这一方法后，我们发现ipvem可以被看作是尼切技术的一种应用。在尼切方法中，边界条件?nu是通过罚项以弱形式施加的，从而减少了对域边界的限制[22]。ipvem也遵循同样的思路，这一点在研究[21]中针对非均匀边界条件的方案推导时更为明显。因此，正如之前的数值测试所显示的，ipvem应当能够实现最优的收敛速率。基于这一认识，我们在本文中证明了[18]中开发的ipvem能够自然地为存在边界层的四阶奇异扰动问题实现最优收敛。 **章节节选** **连续变分问题** 首先介绍一些符号。对于维度为d（d=1,2）的有界利普希茨域D，符号(v,w)D=∫Dvwdx表示D上的L2内积，‖·‖?,D或‖·‖D则表示L2范数。如果D=Ω，则将‖·‖Ω简写为‖·‖。对于向量函数，v=(v?,v?)?和w=(w?,w?)?，内积定义为(v,w)D=∫D(v?w?+v?w?)dx。缩放单项式集合Mr(D)定义为Mr(D):={(x?xDhD)s,|s|≤r}，其中通用单项式记为mD，hD表示D的直径，xD表示…… **内罚虚拟元素法** 内罚虚拟元素法（ipvem）最初由[16]提出。在该方法的构建过程中，作者首先引入了一个c1连续的虚拟元素空间(k≥2)v?k+2(k)={v∈H2(K):Δ2v∈Pk(K), v|e∈pk+2(e), ?nv|e∈pk+1(e), e??k}。关于所使用的自由度，可参考[16] [18]： •χ?p：v在k的顶点处的值，χ?zp(v)=v(z)，z为K的顶点； •χ?g：hz?v在k的顶点处的值，χ?zg(v)=hz?v(z)，z为K的顶点，其中hz为特征长度。 **最优且均匀的误差估计** 首先给出一些误差分析的结果。由于vh和vh1,c具有相同的自由度，如同[18]中所做的那样，我们可以建立从vh到vh1,c的插值关系。对于任意的vh∈vh，令ihcvh为vh在vh1,c中的节点插值函数。根据[18]中的引理4.1和4.2，我们有以下抽象的斯特兰格型引理： **引理4.1**：假设u∈h?2(ω)∩hk+1(ω)是方程(2.1)的解，且k≥2。那么我们有如下误差估计： ∥u?uh∥ε,h?∥u?ihu∥ε,h+∥u?uπ∥ε,h+∥f?fh∥vh′+eh(u)， 其中ih为…… **数值示例** 在本节中，我们通过多个示例来展示该方法的性能，测试其在处理具有边界层效应的问题的精度以及对于奇异参数ε的鲁棒性。我们研究了k=2和k=3两种情况，且域Ω取为单位正方形(0, 1)2。所有示例均在matlab r2019b环境中实现。相关代码可在github上找到（https: github.com terenceyuyue mvem），它是mvem软件包的一部分，该软件包具备高效性…… **credit作者贡献声明** 方峰：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论，形式分析，概念构思。 孙远毅：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，形式分析，概念构思。>
本文聚焦于虚拟元素法（vem），该方法扩展了传统的有限元方法，能够处理一般的多面体网格[1] [2] [3]。与传统有限元方法相比，vem在处理复杂几何结构以及具有高规则性解的问题时具有优势[4] [5] [6] [7]。此外，由于在网格选择上具有极大的灵活性，vem无需对悬挂节点进行特殊处理，这在网格细化过程中具有显著优势[8] [9]。除了这些公认的优势之外，vem还为那些需要特殊结构离散空间和参数鲁棒数值方法的问题提供了进一步的好处。例如，在纳维-斯托克斯方程中，无散条件divu=0代表着质量守恒，对于压力鲁棒的数值方法而言至关重要。虽然许多经典的混合有限元元素，如泰勒-胡德元素和迷你元素，仅以投影方式满足无散条件，但vem能够构建出在离散层面上严格满足divuh=0的速度空间[10] [11] [12] [13]。在线性弹性问题中也会出现类似的问题，即那些要求对拉梅系数无锁定的方法需要使用允许存在可交换插值的逼近空间。传统的无锁定元素构建起来较为复杂，非符合性的克鲁泽-拉维阿尔特元素就是一种低阶的例子。而利用vem，则可以系统地构建出任意阶的无锁定元素[14] [15]。

最近，有研究[16]将内罚技术应用于vem，用于求解双调和方程，该技术使用了与h1符合性虚拟元素[1]相同的自由度。这种数值方案可视为虚拟元素空间与不连续伽辽金方法的结合，因为由此产生的全局离散空间是h1非符合性的，同时通过内罚形式来确保解的连续性。随后，内罚方法被应用于解决四阶奇异扰动问题[17]，并对原始空间进行了一些调整。这些修改包括改变h1型投影的定义以及自由度的选择。与[17]中的方法不同，我们在[18]中采用了[16]中提出的原始公式来处理四阶奇异扰动问题(1.1)。之所以做出这样的选择，是因为vem具有独特的“自由度驱动”特性：离散化主要由自由度决定，所有可计算的量都用自由度来表示，而不依赖于显式的形状函数。当扰动参数ε→0时，问题趋于泊松方程，此时使用c0符合性的vem更为合适。然而，由于[16]中开发的内罚空间是h1非符合性的，人们可能会自然而然地考虑采用[19]中改进的莫利有限元方法，即为双线性形式的低阶部分引入一个额外的线性符合性插值算子。有趣的是，在我们的[18]分析中，这种线性近似其实并无必要，因为它产生的第一阶椭圆投影与原始vem公式完全相同。这种简化不仅仅是一种技术上的便利，更是vem自由度驱动特性的直接体现——所有可计算的量都仅用自由度来表示。因此，该方案在保持预期收敛性的同时，避免了在标准有限元或改进的莫利框架下所需的额外复杂性。为了简化实现过程，我们通过引入椭圆投影算子πh?来修改罚项中的跳跃项和平均项。值得注意的是，尽管ipvem是h1非符合性的，因此相比c0连续有限元[20]，它对解的规则性要求较低，但[16] [17] [18]中的先验误差估计表明，内罚虚拟元素的表现与c0连续元素相似。这一性质也可延伸到后验分析中，因为无论是离散方案还是误差估计器，都无需显式处理函数跳跃现象[21]。

[17]和[18]中的分析均表明，ipvem在最低阶情况下对扰动参数具有鲁棒性。虽然从理论上讲，两种方法都具有o(h1/2)的相同均匀收敛速率，但由于它们在处理一致性项∑e∈eh∫e?u/?ne[vh]ds时的方式不同，其数值性能也存在差异。正如[18]引言以及[17]定理4.5后的注释中所指出的，[17]中的方法存在非符合性误差，这导致当ε趋近于零时收敛速率并不理想。该论文的表4显示，其收敛速率为o(h1.??)，虽然优于理论预测的o(h1/2)，但对于较小的ε值而言仍低于最优速率o(h2)。相比之下，由于我们的方法[18]中的一致性项为零，尽管其误差分析也并非最优，但在数值实验中已经展现了最优的收敛速率。本文实际上填补了理论与先前观测到的数值结果之间的差距。

在那些能够为奇异扰动问题实现最优且均匀收敛的离散方法中，尼切技术常被用于处理参数依赖的边值问题，以提高计算效率。关于其应用概述，可参考[22]中的综述。在[23] [24]中，作者们表明，通过使用特殊设计的网格，弱伽辽金有限元方法和不连续伽辽金方法也能够实现最优收敛。由于尼切方法需要额外的稳定化项，这可能会增加实现的复杂性，黄和唐[25]将问题重新表述为二阶系统，这样一来，边界条件?nu就可以在分布混合格式中自然且弱性地得到施加。与此同时，[26]将四阶椭圆奇异扰动问题分解为两个泊松方程以及一个涉及旋度算子的广义奇异扰动斯托克斯型方程的组合。为了解决边界层问题，他们在离散双线性形式中引入了与第二类最低阶nédélec元素相关的节点插值算子，这种方式同样避免了额外的稳定化项。

在回顾这一方法后，我们发现ipvem可以被看作是尼切技术的一种应用。在尼切方法中，边界条件?nu是通过罚项以弱形式施加的，从而减少了对域边界的限制[22]。ipvem也遵循同样的思路，这一点在研究[21]中针对非均匀边界条件的方案推导时更为明显。因此，正如之前的数值测试所显示的，ipvem应当能够实现最优的收敛速率。基于这一认识，我们在本文中证明了[18]中开发的ipvem能够自然地为存在边界层的四阶奇异扰动问题实现最优收敛。

**章节节选**

**连续变分问题**
首先介绍一些符号。对于维度为d（d=1,2）的有界利普希茨域d，符号(v,w)d=∫dvwdx表示d上的l2内积，‖·‖?,d或‖·‖d则表示l2范数。如果d=ω，则将‖·‖ω简写为‖·‖。对于向量函数，v=(v?,v?)?和w=(w?,w?)?，内积定义为(v,w)d=∫d(v?w?+v?w?)dx。缩放单项式集合mr(d)定义为mr(d):={(x?xdhd)s,|s|≤r}，其中通用单项式记为md，hd表示d的直径，xd表示……

**内罚虚拟元素法**
内罚虚拟元素法（ipvem）最初由[16]提出。在该方法的构建过程中，作者首先引入了一个c1连续的虚拟元素空间(k≥2)v?k+2(k)={v∈h2(k):δ2v∈pk(k), v|e∈pk+2(e), ?nv|e∈pk+1(e), e??k}。关于所使用的自由度，可参考[16] [18]：
•χ?p：v在k的顶点处的值，χ?zp(v)=v(z)，z为k的顶点；
•χ?g：hz?v在k的顶点处的值，χ?zg(v)=hz?v(z)，z为k的顶点，其中hz为特征长度。

**最优且均匀的误差估计**
首先给出一些误差分析的结果。由于vh和vh1,c具有相同的自由度，如同[18]中所做的那样，我们可以建立从vh到vh1,c的插值关系。对于任意的vh∈vh，令ihcvh为vh在vh1,c中的节点插值函数。根据[18]中的引理4.1和4.2，我们有以下抽象的斯特兰格型引理：
**引理4.1**：假设u∈h?2(ω)∩hk+1(ω)是方程(2.1)的解，且k≥2。那么我们有如下误差估计：
∥u?uh∥ε,h?∥u?ihu∥ε,h+∥u?uπ∥ε,h+∥f?fh∥vh′+eh(u)，
其中ih为……

**数值示例**
在本节中，我们通过多个示例来展示该方法的性能，测试其在处理具有边界层效应的问题的精度以及对于奇异参数ε的鲁棒性。我们研究了k=2和k=3两种情况，且域ω取为单位正方形(0, 1)2。所有示例均在matlab r2019b环境中实现。相关代码可在github上找到（https://github.com/terenceyuyue/mvem），它是mvem软件包的一部分，该软件包具备高效性……

**credit作者贡献声明**
方峰：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论，形式分析，概念构思。
孙远毅：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，形式分析，概念构思。
余悦：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，监督，软件实现，形式分析，概念构思。>