含振荡函数乘积积分的数值方法分析与构建

《Applied Numerical Mathematics》：Analysis and construction of numerical methods for integrals with a product of oscillatory functions

　　刘骜|康洪超|阿布萨洛姆·埃尔-沙米尔·埃祖古|王海荣|赵文生
中国浙江省杭州市310018，杭州电子科技大学理学院数学系

摘要
本文针对由亥姆霍兹方程和振荡积分方程求解过程中产生的特殊高振荡积分，构建并分析了两种高效的数值计算方法。这类积分的被积函数为第一类汉克尔函数与复指数函数的乘积，并在积分两端存在代数奇点。通过引入梅耶尔-G函数，我们得到了重要广义矩∫?1xα(1?x)βe^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx的精确闭式表达式及渐近估计，其中H_ν^1为阶数为ν的第一类汉克尔函数。此外，我们还严格推导出了控制该修正矩的基本递推关系。这些成果为所提出方法的实现与分析提供了理论基础。通过理论验证，我们对误差进行了严格分析，数值实验进一步证实了理论框架的有效性以及所提方法的高效性。最后，我们对这两种方法进行了全面比较，系统总结了各自的优缺点。

引言
对具有强烈振荡特性的物理现象进行精确数值模拟，在计算建模中面临巨大挑战。在高频物理现象的建模中，高振荡积分随处出现[1]。以高振荡积分∫??W(x)S(ωg?(x))dx为例，其中W(x)、g?(x)可能为光滑函数或奇异函数，ω为振荡频率。这里的S可以是复指数函数e^{iωg?(x)}、阶数为ν的第一类贝塞尔函数J_ν(ωg?(x))、阶数为ν的第一类汉克尔函数H_ν^1(ωg?(x))或其乘积等形式[2, 第358页]。这类振荡积分在非线性科学和工程领域的诸多问题上普遍存在，如天体物理学、医学成像、声学与电磁学中的散射问题、物理光学、流体力学等[3]–[16]。

振荡积分在散射问题中尤为常见。例如，许多散射问题可表示为亥姆霍兹方程△u+ω2u=0，在R?\Ω中求解，其中d=2或3，Ω为带有边界Γ的有界开集。对于从障碍物Ω入射的波ui(x)，其解可表示为u=ui+us，其中us(x)表示散射波，满足us(x)=?ui(x)在Γ上成立。利用[5]中的格林函数，该问题可转化为积分方程：q(x)2+∫_Γ(?K(x,y)/?nx+iηK(x,y))q(y)ds(y)=?ui/?n(x)+iηui(x)，其中q(x)=?u/?n(x)是Γ上的密度函数，K(x,y)是与ω相关的振荡函数，η为耦合参数，nx为相对于x的法向量。若入射波表示为ui(x)=usi(x)e^{iωgi(x)}，则积分方程(1.3)可转化为另一种积分方程，其配置法会导致形如∫?1w(x)e^{iωg?(x)}H_ν^1(ωg?(x))dx的振荡积分。特别地，当g?(x)=g?(x)=g(x)且令g(x)=xr时，积分(1.4)可改写为I[f]=∫?1f?(x)e^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx，其中f?(x)=xα(1?x)βf(x)，α?|ν|>?1，2r∈Z?（r=1/2,1/3,2/3,2/5,…），β>?1，且f(x)在[0,1]上足够光滑。积分(1.4)和(1.5)出现在高振荡奇异积分方程解的数值计算中[17]、[18]。此外，(1.5)的特例（即α=β=ν=0，r=1）也出现在二维高频波散射的渐近配置法中（参见[9]、[13]）。

积分(1.5)具有三个显著特征。首先，其被积函数包含两个振荡核函数e^{iωxr}和H_ν^1(ωxr)；当ω足够大时，这些核函数会呈现高度振荡特性。其次，积分两端可能存在代数奇点。第三，被积函数中含有特定形式的振荡项xr，其中2r∈N?。这些因素大大增加了问题的复杂性，因此一些传统的数值求积规则可能无法直接应用于此类积分，找到合适的计算方法具有重要的实际意义。

过去几十年中，人们为振荡积分∫??f(x)e^{iωg(x)}dx和∫??f(x)J_m(ωg(x))dx开发了大量有效的计算方法。对于最简单的g(x)=x或非规则振荡函数g(x)的情况，已有菲隆方法[13]、[19]、广义求积方法[20]、菲隆型方法[12]、[16]、[21]–[25]、克莱恩肖-柯蒂斯-菲隆或菲隆-克莱恩肖-柯蒂斯方法[13]、[26]–[30]、莱文及其衍生方法[31]–[39]、复积分方法[10]–[45]等。此外，(1.5)的特例也在[13]中得到过计算。当2r为任意正整数且α?|ν|>?1、β>?1时，这个问题会变得更加复杂，因为计算广义矩以及推导修正矩的递推关系都会更加繁琐。我们需要寻找新的方法，既为广义矩建立闭式表达式，也为修正矩构建更复杂的递推关系。这些问题给数值方法的发展及其误差分析带来了巨大挑战，这也促使我们致力于构建并分析用于计算积分(1.5)的高效数值积分方法。

传统的积分计算方法（如经典的高斯-克里斯托费尔求积法[46]）对高振荡积分的估算效果极差，对于高频ω而言，其误差约为O(1)。经典的菲隆方法[19]也存在收敛速度慢的问题。而本文提出的克莱恩肖-柯蒂斯-菲隆型方法和复积分方法则具有更快的收敛速度，且具备以下优势：对于高频ω，只需少量节点即可获得高精度；对于积分两端的代数奇点，无需额外处理；同时还能推导出矩的递推关系和渐近估计，从而避免冗余计算，显著提升计算效率。

本文的结构如下：第2节给出两个定理，分别为广义矩提供显式表达式和渐近分析；第3节严格推导出控制修正矩的基本递推关系；第4节和第5节详细阐述两种方法的具体内容，并进行全面的误差分析；第6节通过若干数值实验验证理论分析的正确性，并展示这些方法的有效性；最后第7节对两种方法进行综合比较，总结全文。

章节要点
广义矩的闭式表达式与渐近估计
本节为广义矩∫?1xα(1?x)βe^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx推导出闭式表达式，并进行渐近估计。

定理2.1
对于2r∈Z?，α?|ν|>?1，β>?1且ω>0，有：
∫?1xα(1?x)βe^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx=1/2Σ_{k=0}^{2r}Γ(β+1)(2r+β+1)/G_{2r+4}/(1+2rω2/|ν2|,?ν2/|ν2|,ν+1/2,1?ν2/|ν2|,?α+β+1/2r,?α+β/2r,…,2r?2/?α?β/2r?α/2r,1?α/2r,…,2r?1/?α/2r,1/4,3/4)+i/2Σ_{k=0}^{2r}Γ(β+1)(2r+β+1)/G_{2r+4}/(1+2rω2/|ν+1/2|,?ν2/|ν2|,1?ν2/|ν2|,ν2/|ν2|,?α+β+1/2r,?α+β/2r,…,2r?2/?α?β/2r?α/2r,1?α/2r,…,2r?1/?α/2r,1/4,3/4)+i/2Σ_{k=0}^{2r}Γ(β+1)(2r+β+1)/G_{2r+3}/(1+2rω2/|?ν2/|ν2|,ν2/|ν2|,?ν+1/2,1?ν2/|ν2|,ν+1/2,?α)

修正矩的递推关系
定义修正矩M[α,β,n,ν,ω]=∫?1xα(1?x)βT_n^*(x)e^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx，其中T_n^*(x)是[0,1]上的平移切比雪夫多项式。随后我们将推导修正矩的递推关系。

定理3.1
修正矩(3.1)满足以下递推关系：
2α+β+5iωr(α+r+3)M[α+r,β+2,n,ν,ω]?2α+β+4iωrnM[α+r,β+1,n+1,ν,ω]+(?α2+β2+2α+8β+2αβ+2nα+n2+3n+ν2r2+11)M[α,β,n+2,ν,ω]+(?α2+β2+3α+8β+2αβ?2nα+n2?3n?ν2r2+11)M[α,β,n?2,ν,ω]+2α+β?r+5(iωr)2M[α+2r+1,β+2,n,ν,ω]+2α?r+β+5ω2r2M[α+2r,β+2,n,ν,ω]

修正矩的误差估计与克莱恩肖-柯蒂斯-菲隆型方法的构建
本节介绍一种用于求解(1.5)的克莱恩肖-柯蒂斯-菲隆型方法，并详细说明其步骤。
步骤1：选择克莱恩肖-柯蒂斯节点作为插值节点，记为c_j，其中c_j=1/2+1/2cos(jπ/N?)，j=0,1,…,N?，N?+1为插值节点的总数。
步骤2：构造赫米特插值多项式，记为P_{N?+2}^s(x)，其表达式为P_{N?+2}^s(x)=∑_{n=0}^{N?+2}^sbnT_n^*(x)。此处s∈Z?表示插值次数。

复积分方法及其误差估计
将公式(1.5)改写为：
I[f]=∫?1xα(1?x)βF(x)e^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx+∑_{k=0}^{n?}f(k)(0)k!∫?1x^k+α(1?x)βe^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx=I?[f]+I?[f]，
其中F(x)=f(x)?∑_{k=0}^{n?}f(k)(0)k!x^k，n?∈Z?，I?[f]=∫?1xα(1?x)βF(x)e^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx，I?[f]=∑_{k=0}^{n?}f(k)(0)k!∫?1x^k+α(1?x)βe^{iωxr}H_ν^1(ωxr)dx。
注意，I?[f]可通过定理2.1直接计算。我们主要关注I?[f]的计算。

数值算例
本节给出克莱恩肖-柯蒂斯-菲隆型方法和复积分方法的数值算例，通过数值实验验证所提方法的准确性及误差分析的有效性。作为对比，还采用了传统的菲隆型方法、经典菲隆方法以及Maple软件作为参考，同时报告了计算时间，以体现所提方法的高效率。

结论
本文研究了两种用于求解高振荡积分的高精度方法，即克莱恩肖-柯蒂斯-菲隆型方法和复积分方法。我们为重要的广义矩建立了精确的闭式表达式和渐近估计，还推导出了修正矩的基本递推公式。通过严格分析，我们还得到了精确的误差估计。数值实验进一步验证了这两种方法的准确性。

致谢
作者感谢编辑和审稿人提出的有益建议和深刻意见，这些意见极大地提升了手稿的质量。

作者贡献说明
刘骜：撰写——初稿，软件应用，方法设计，实验研究。
康洪超：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，指导工作，方法设计。
阿布萨洛姆·埃尔-沙米尔·埃祖古：撰写——审阅与编辑，方法设计。
王海荣：撰写——审阅与编辑，资源协调，形式化分析。
赵文生：撰写——审阅与编辑，方法设计，资金筹集。