用于求解三角网格上具有分布式阶数记忆核的二维输运方程的不连续Galerkin方法

《Applied Numerical Mathematics》：The discontinuous Galerkin method for solving the two-dimensional transport equation with distributed-order memory kernel on triangular meshes

　　魏蕾蕾|秦芳芳|黄健中国银川市北民大学数学与信息科学学院，邮编750021

摘要
具有分布阶记忆核的输运方程在描述复杂介质中的异常输运现象和多尺度记忆效应时具有天然的应用背景。这类模型能够涵盖广泛的松弛行为，因此在数值近似方面面临巨大挑战，尤其是在高维情况下。本文针对具有分布阶记忆核的二维输运方程，提出了一种完全离散化的求解方案。该方法采用Grünwald型近似处理时间上的分布阶导数，同时结合三角形网格上的不连续Galerkin方法进行空间离散化。我们严格证明了该方案的无条件稳定性和收敛性，并通过一系列数值实验验证了所提方法的准确性、稳健性及灵活性。

引言
具有记忆效应的输运方程为描述异常输运现象提供了重要的数学框架。在这种过程中，系统的演化不仅取决于当前状态，还与过去动态的累积历史有关。与通常依赖局部相互作用和马尔可夫假设的经典输运模型不同，具有分布阶记忆核的输运方程包含了连续分数阶谱。从物理层面来看，分布阶核可视为多种记忆机制的加权叠加，反映了不同的捕获时间或广泛的松弛速率。这类核在异质介质中的异常扩散以及具有多尺度流变特性的粘弹性材料中自然出现。这种分布阶表示方式通过捕捉多种记忆行为，显著提升了建模能力，使得人们能够描述那些随时间或在不同动态状态下其尺度特性发生变化的复杂过程[1]、[2]。

具体而言，分布阶输运方程通过引入导数阶数的加权分布，统一并推广了单阶和多项式分数阶形式。权重函数ω(α)用于量化每个分数阶α∈(0,1)对整体记忆效应的贡献程度。通常，给较小的α赋予更大权重意味着更长的记忆时间，对应于较慢的亚扩散动力学（或在粘弹性中表现为更宽的松弛特性）；而将ω(α)集中在α≈1附近则意味着较弱的记忆效应，其行为更接近经典输运。因此，ω(α)的形状体现了不同记忆尺度的混合，能够表示不同异常状态之间的过渡。这一权重函数为描述不同记忆尺度如何影响系统动力学提供了简洁的方式。这样的框架在表征那些无法用单一分数指数准确描述的输运机制时具有极大灵活性。例如，它能够自然地解释不同异常扩散状态之间的过渡，比如从亚扩散到超扩散动力学的转变，或是短程记忆与长程记忆主导地位的切换。当底层微观结构或外部条件随时间变化时，这类过渡在实验和模拟中经常出现。这一特性使得该方法特别适用于建模多尺度系统，在这些系统中，有效的输运规律并非由固定的幂律决定，而是会随着环境或结构条件的变化而动态演变。

分布阶记忆核的应用范围广泛且多样。在物理科学领域，它们被用于分析异质多孔材料中的异常对流-扩散现象、地下水中的污染物迁移以及湍流中的粒子输运[3]。在生命科学领域，分布阶模型为描述复杂生物组织中的物质输运、拥挤的细胞内环境中大分子的异常扩散以及受记忆效应驱动的神经活动提供了有力工具。其应用还延伸至工程学和粘弹性材料建模领域，在这些领域中，宽范围的松弛特性对于重现观测到的应力-应变关系至关重要。在量化金融领域，多尺度记忆效应和重尾松弛过程也是系统动力学的内在特征[4]。

从理论层面来看，分布阶核提供了一种统一的数学框架，能够连接确定性模型与随机模型。它们有助于推导出渐近行为，并为建立问题的适定性和稳定性提供严谨的工具。此外，它们还为开发能够有效处理多尺度记忆效应的高效精确数值近似方法提供了动力。

尽管分布阶微分方程具有很强的通用性，但其解析解往往涉及复杂的特殊函数，如Mittag-Leffler函数和Wright函数，这些函数在计算上要求很高，难以在实际应用中求解。这促使人们开发针对此类问题的数值方法。采用高级求积规则的有限差分方法受到了广泛关注。Ren和Chen[5]利用分级网格上的L1公式有效捕捉了弱奇点，同时还实现了二阶时间收敛性。Derakhshan等人分析了用于解决分布阶扩散问题的两种数值方法，并给出了误差估计和稳定性结果[6]、[7]。通过改进复合Simpson求积法和Gauss-Legendre求积法，有研究提出了具有三阶时间精度的两种有限差分方案[8]。Guo等人[9]将L2-1σ方法扩展到多项式分数导数，证明了该方法的无条件稳定性以及二阶时间精度。Yang等人[10]为分布阶分数反应-扩散问题推导出了无条件稳定的数值近似方法，实现了二阶时间精度。Liu等人[11]将L1和L2公式与中间点求积法结合用于处理分布阶导数，给出了详细的稳定性和收敛性分析。Sun等人[12]将分布阶问题转化为多项式分数阶形式，并利用带有指数和近似的分级网格来确保稳健的收敛性。Diethelm和Ford[13]为线性和非线性常微分分布阶分数方程提出了一种高效的数值方案，并给出了相应的收敛性分析。更多相关研究可参考文献[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。

由于有限元方法在处理不规则几何形状和异质介质方面具有灵活性，因此已被广泛用于分数扩散模型的研究。对于多项式分数扩散方程，Jin[20]提出了Galerkin离散化方法，Bu[21]引入了多重网格有限元方法，而Zhao[22]设计了空间非协调有限元方案。这些方法后来也被应用于分布阶扩散方程的研究[23]、[24]。在这一方向上，还有研究为分布阶亚扩散问题构建了H1-Galerkin格式，从而能够精确近似状态变量及其空间导数。此外，Aboelenen[26]和Wei[27]采用了局部不连续Galerkin方法，设计了空间收敛率为O(hk+1)的高精度算法，其中k表示多项式的阶数。Chen等人[28]研究了用于分布阶反应-扩散方程的虚拟元素方法。Ramezani和Mokhtari[29]为分布阶扩散方程设计了高阶时间离散化方法并结合有限元方法，而Yang等人[30]则将有限元方法扩展到可变分布阶场景，并在适度规则性条件下建立了最优误差估计。此外，Huang等人[31]推导出了离散分数Gr?nwall不等式，该不等式保证了在分级网格上有限元解的最优收敛性。为了处理更复杂的域结构，还有基于非结构化网格的有限元方法被用于分布阶模型的研究[32]、[33]、[34]、[35]、[36]。此外，文献中还有其他关于分布阶问题数值解的相关研究，如谱方法[37]、[38]、[39]以及配置法[40]。

尽管已有诸多研究成果，但针对二维分布阶模型的数值方法研究仍然相对有限，如何实现对分布阶输运方程的精确高效数值近似仍是一个重大挑战。为解决这一问题，本文研究了在三角形网格上基于不连续Galerkin方法求解如下具有分布阶记忆核的二维输运方程的方法：
∫?1w(α)?CDtαT(x,y,t)dα + V·?T(x,y,t) = ΔT(x,y,t) + f(x,y,t)，
定义域为Ω×[0,tF]，边界条件为T(x,y,t)=0，在?Ω上，初始条件为T(x,y,0)=T0(x,y)，其中V=(V1,V2)表示给定的对流速度场。在分析过程中，我们假设V是无散的，即?·V=0在Ω内成立，且V属于L∞([0,tF];W1,∞(Ω)2)空间。权重函数w(α)满足w(α)≥0，∫?1w(α)dα=c0>0，而Caputo分数导数定义为：
0CDtαT(x,y,t) = 1Γ(1?α)∫?t?T(x,y,s)?sds(t?s)α，t>0，0<α<1，
其中γ(·)表示伽马函数。我们寻求的解t需满足t∈l2(0,tf;h?1(ω))，?tt∈l2(0,tf;h?1(ω))，这样才能使分布阶项和变分形式在弱意义下有意义。

本文的主要贡献如下：
• 提出了一种针对具有分布阶记忆核的二维输运方程的完全离散数值框架。该方案将时间上的分布阶分数导数用grünwald型近似处理，空间上则在非结构化三角形网格上采用不连续galerkin离散化，从而形成一种既精确又灵活、适用于复杂几何结构的方法。
• 进行了严格的数学分析，证明了该方案的无条件稳定性，并给出了关于空间和时间离散化的最优阶误差估计。这些结果为所提方法的可靠性和稳健性提供了理论支撑。
• 通过大量数值实验验证了理论上的收敛速率，同时展示了该方法的准确性、高效性及稳健性。实验结果表明，该方案确实达到了预期的收敛阶，并且在不同的分布阶参数下都能表现出良好的性能。

本文的其余结构如下：第2节介绍后续分析所需的基本符号和初步理论结果；第3节致力于构建针对具有分布阶记忆核的二维输运方程的完全离散不连续galerkin方案，同时通过严格的理论分析证明该方案的稳定性和收敛性；第4节通过数值实验验证该方案的有效性和准确性；最后第5节给出总结性意见。

符号与预备知识
设ω?r2为一个多边形区域，th表示将ω划分成的互不重叠的三角形元素k的协调三角剖分，即th={k?ω:k为三角形，ω=?k∈thk}。我们用h:=maxk∈thhk来定义全局网格尺寸，其中hk表示元素k的直径。eh表示th中所有边的集合，可划分为ehint和ehext两部分，分别代表内部边和边界边。对于eh中的每条边e，ne表示其上的单位法向量。如果e属于ehint且被两条边共享……

不连续galerkin方案
在本部分，我们重点推导用于求解问题(1)的完全离散galerkin方案，并对该方案进行详细的稳定性和收敛性分析。

数值算例
在本节中，我们通过数值实验来展示所提出的完全离散不连续galerkin方法的效率和准确性。在网格生成过程中，参数nb表示每条边界边的细分次数。

示例4.1. 考虑定义在域ω=[0,1]2内的具有分布阶记忆核的二维输运方程。设最终时间为tf=0.1，权重函数取为w(α)=γ(p+1?α)，其中p＞0为给定的常数。

结论
本研究的主要贡献在于提出了一种完全离散的不连续galerkin方法，该方法能够高效地求解一类具有分布阶记忆核的二维输运方程。所提出的方案将时间分数导数的grünwald型近似与空间上的高阶galerkin离散化相结合，从而形成了一种既精确又具有较高计算效率的方法。同时，我们还给出了该方案的严格稳定性和收敛性分析。

credit作者贡献声明
魏蕾蕾：写作——初稿撰写、软件应用、形式分析。陈艳平：写作——初稿撰写、方法论设计。秦芳芳：写作——审稿与编辑、软件应用、概念构思。黄健：方法论设计、软件应用、写作——审稿与编辑。李鹏：写作——审稿与编辑、项目监督。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。 其中γ(·)表示伽马函数。我们寻求的解t需满足t∈l2(0,tf;h?1(ω))，?tt∈l2(0,tf;h?1(ω))，这样才能使分布阶项和变分形式在弱意义下有意义。 本文的主要贡献如下： • 提出了一种针对具有分布阶记忆核的二维输运方程的完全离散数值框架。该方案将时间上的分布阶分数导数用grünwald型近似处理，空间上则在非结构化三角形网格上采用不连续galerkin离散化，从而形成一种既精确又灵活、适用于复杂几何结构的方法。 • 进行了严格的数学分析，证明了该方案的无条件稳定性，并给出了关于空间和时间离散化的最优阶误差估计。这些结果为所提方法的可靠性和稳健性提供了理论支撑。 • 通过大量数值实验验证了理论上的收敛速率，同时展示了该方法的准确性、高效性及稳健性。实验结果表明，该方案确实达到了预期的收敛阶，并且在不同的分布阶参数下都能表现出良好的性能。 本文的其余结构如下：第2节介绍后续分析所需的基本符号和初步理论结果；第3节致力于构建针对具有分布阶记忆核的二维输运方程的完全离散不连续galerkin方案，同时通过严格的理论分析证明该方案的稳定性和收敛性；第4节通过数值实验验证该方案的有效性和准确性；最后第5节给出总结性意见。 符号与预备知识 设ω?r2为一个多边形区域，th表示将ω划分成的互不重叠的三角形元素k的协调三角剖分，即th={K?Ω:K为三角形，Ω=?K∈ThK}。我们用h:=maxK∈ThhK来定义全局网格尺寸，其中hK表示元素K的直径。Eh表示Th中所有边的集合，可划分为Ehint和Ehext两部分，分别代表内部边和边界边。对于Eh中的每条边e，ne表示其上的单位法向量。如果e属于Ehint且被两条边共享…… 不连续galerkin方案 在本部分，我们重点推导用于求解问题(1)的完全离散galerkin方案，并对该方案进行详细的稳定性和收敛性分析。 数值算例 在本节中，我们通过数值实验来展示所提出的完全离散不连续galerkin方法的效率和准确性。在网格生成过程中，参数nb表示每条边界边的细分次数。 示例4.1. 考虑定义在域ω=[0,1]2内的具有分布阶记忆核的二维输运方程。设最终时间为tF=0.1，权重函数取为w(α)=Γ(p+1?α)，其中p＞0为给定的常数。 结论 本研究的主要贡献在于提出了一种完全离散的不连续galerkin方法，该方法能够高效地求解一类具有分布阶记忆核的二维输运方程。所提出的方案将时间分数导数的grünwald型近似与空间上的高阶galerkin离散化相结合，从而形成了一种既精确又具有较高计算效率的方法。同时，我们还给出了该方案的严格稳定性和收敛性分析。 credit作者贡献声明 魏蕾蕾：写作——初稿撰写、软件应用、形式分析。陈艳平：写作——初稿撰写、方法论设计。秦芳芳：写作——审稿与编辑、软件应用、概念构思。黄健：方法论设计、软件应用、写作——审稿与编辑。李鹏：写作——审稿与编辑、项目监督。 利益冲突声明>其中γ(·)表示伽马函数。我们寻求的解t需满足t∈l2(0,tf;h?1(ω))，?tt∈l2(0,tf;h?1(ω))，这样才能使分布阶项和变分形式在弱意义下有意义。

本文的主要贡献如下：
• 提出了一种针对具有分布阶记忆核的二维输运方程的完全离散数值框架。该方案将时间上的分布阶分数导数用grünwald型近似处理，空间上则在非结构化三角形网格上采用不连续galerkin离散化，从而形成一种既精确又灵活、适用于复杂几何结构的方法。
• 进行了严格的数学分析，证明了该方案的无条件稳定性，并给出了关于空间和时间离散化的最优阶误差估计。这些结果为所提方法的可靠性和稳健性提供了理论支撑。
• 通过大量数值实验验证了理论上的收敛速率，同时展示了该方法的准确性、高效性及稳健性。实验结果表明，该方案确实达到了预期的收敛阶，并且在不同的分布阶参数下都能表现出良好的性能。

本文的其余结构如下：第2节介绍后续分析所需的基本符号和初步理论结果；第3节致力于构建针对具有分布阶记忆核的二维输运方程的完全离散不连续galerkin方案，同时通过严格的理论分析证明该方案的稳定性和收敛性；第4节通过数值实验验证该方案的有效性和准确性；最后第5节给出总结性意见。

符号与预备知识
设ω?r2为一个多边形区域，th表示将ω划分成的互不重叠的三角形元素k的协调三角剖分，即th={k?ω:k为三角形，ω=?k∈thk}。我们用h:=maxk∈thhk来定义全局网格尺寸，其中hk表示元素k的直径。eh表示th中所有边的集合，可划分为ehint和ehext两部分，分别代表内部边和边界边。对于eh中的每条边e，ne表示其上的单位法向量。如果e属于ehint且被两条边共享……

不连续galerkin方案
在本部分，我们重点推导用于求解问题(1)的完全离散galerkin方案，并对该方案进行详细的稳定性和收敛性分析。

数值算例
在本节中，我们通过数值实验来展示所提出的完全离散不连续galerkin方法的效率和准确性。在网格生成过程中，参数nb表示每条边界边的细分次数。

示例4.1. 考虑定义在域ω=[0,1]2内的具有分布阶记忆核的二维输运方程。设最终时间为tf=0.1，权重函数取为w(α)=γ(p+1?α)，其中p＞0为给定的常数。

结论
本研究的主要贡献在于提出了一种完全离散的不连续galerkin方法，该方法能够高效地求解一类具有分布阶记忆核的二维输运方程。所提出的方案将时间分数导数的grünwald型近似与空间上的高阶galerkin离散化相结合，从而形成了一种既精确又具有较高计算效率的方法。同时，我们还给出了该方案的严格稳定性和收敛性分析。

credit作者贡献声明
魏蕾蕾：写作——初稿撰写、软件应用、形式分析。陈艳平：写作——初稿撰写、方法论设计。秦芳芳：写作——审稿与编辑、软件应用、概念构思。黄健：方法论设计、软件应用、写作——审稿与编辑。李鹏：写作——审稿与编辑、项目监督。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。>