基于障碍积分滑模的改进滑模极值搜索方法在一类扰动非线性系统鲁棒优化中的应用：以ABS为例

《European Journal of Control》：Modified sliding mode extremum seeking with barrier integral sliding mode for robust optimization of a class of perturbed nonlinear systems: Application to ABS

　　塔哈·A·阿尔-加迪里|希布利·A·阿尔-萨马拉伊|阿马尔·K·阿尔-姆赫达维，伊拉克技术大学控制与系统工程系，伊拉克巴格达

摘要
滑模极值搜索控制已被广泛用于扰动非线性系统的实时优化。然而，传统的滑模极值搜索方案在扰动超过一定程度时，往往会出现精度下降、瞬态响应缓慢甚至发散的问题。这促使人们进一步研究其鲁棒性特性。本文对传统滑模极值搜索架构进行了深入分析，重点研究了实际控制器与极值搜索回路之间的耦合关系。文章详细探讨了实际控制器带来的残差跟踪误差对传统滑模极值搜索系统稳定性和性能的影响，揭示了其在扰动作用下的关键局限。基于此分析，本文提出了一种鲁棒的极值搜索框架，将该框架与基于屏障函数的积分滑模控制相结合，并对传统滑模极值搜索进行改进。基于屏障函数的积分滑模控制提升了该方法的抗扰能力，降低了扰动对性能的制约，且无需事先估计扰动的上限。同时，通过对传统滑模极值搜索进行改进，加入了两种机制：一是阻尼机制，可有效抑制稳态振荡；二是恢复机制，能在最优操作点发生突然变化时加快系统收敛速度。这些改进共同提升了系统的鲁棒性、精度和瞬态性能。将该方法应用于防抱死制动系统中，仿真结果表明，与现有的基准方法相比，其在面临较大扰动或最优条件突然变化时具有更优异的性能。研究结果证明了该方法在处理扰动非线性系统方面的有效性。

引言
极值搜索是一种实时优化技术，与传统优化方法不同，它能够处理那些解析形式未知的代价函数。极值搜索控制的控制目标是将动态系统驱动到其最优操作点，而这一最优点是根据那些解析形式未知的性能指标来确定的（Ne?si′c等人，2013年）。然而，在大多数实际应用中，动态系统往往是非线性的，还会受到测量噪声和外部扰动的影响。这类系统最多只能被建模为受扰动的非线性系统，这就使得针对这类系统的极值搜索控制问题变得极为复杂。这类扰动会显著影响现有极值搜索控制算法的性能，这些算法的性能主要体现在跟踪未知最优点的精度、收敛速度以及围绕最优点的振荡程度上（Pan等人，2003年）。在某些情况下，这类扰动甚至可能导致系统偏离最优点。这就表明，需要一种能够在不牺牲性能的前提下抵御此类扰动的鲁棒极值搜索算法。

本文研究的对象是滑模极值搜索控制方法。该方法的理论基础源自滑模控制理论，滑模控制理论能够保证系统在滑模阶段具备对参数不确定性和外部扰动的鲁棒性（Utkin等人，2017年；Utkin，2008年；Edwards & Spurgeon，1998年；Hisar等人，2025年；Alyoussef & Kaya，2023年），因此该滑模极值搜索控制方法具有出色的鲁棒性特点。关于滑模极值搜索控制方案的首篇论文发表于1992年，作者是S. Drakunov等人（Drakunov & ?zgüner，1992年）。从那以后，这一领域受到了越来越多的关注（Pan等人，2003年；Chen等人，2016年；Drakunov等人，1995年；Shirin & Moallem，2017年；Pan & Ozguner，2002年）。在早期的研究中，滑模极值搜索控制方法存在输出响应持续振荡的问题，而且各种性能指标之间也存在权衡关系。尽管这些方法能够确保系统以一定的速率收敛到未知最优点，但早期的研究并未考虑扰动的影响。实际上，扰动的出现会使得这些算法在稳定性与性能之间再次面临权衡（Zhang等人，2023年），为了保证稳定性，往往需要牺牲部分性能。这样的权衡进一步加剧了原有的问题。C. Yin等人（Yin等人，2014年）提出了一种分数阶滑模极值搜索控制方案，提升了算法的收敛速度和精度，但仍然存在持续振荡的问题，且并未涉及对扰动的抵抗能力。

防抱死制动系统是体现极值搜索控制鲁棒性重要性的典型例子。防抱死制动系统可以通过寻找最佳制动扭矩，最大化轮胎与路面的摩擦力，从而减少车辆制动时间，并在制动过程中保持车辆转向稳定，避免车轮抱死现象的发生（Qasem & Abdullah，2024年）。在过去的几十年里，人们已经开发出了多种防抱死制动系统技术。在相关文献中，最主流的做法是将该问题视为典型的跟踪控制问题来处理（Tang等人，2013年；Boopathi & Abudhahir，2016年；Wanaskar等人，2019年；Phadke等人，2020年；He等人，2023年；Useros等人，2023年；Hamzah等人，2024年；Lúa & Gennaro，2024年；Luo等人，2025年）。这种处理方式的目标是让车辆的滑动率跟随最优参考值变化。而最优参考值则可以通过针对特定路面情况的现有近似模型来确定（Hamzah等人，2024年1月），或者通过路面识别技术来确定（Luo等人，2025年），也可以在线估算得出（Singh & Taheri，2015年）。在这一框架下，已有不少学者提出了各种鲁棒性方法，包括S. B. Phadke等人的研究（Phadke等人，2020年8月）、M. M. Useros等人的研究（Useros等人，2023年）、Mohsin N.等人的研究（Hamzah等人，2024年1月）以及C. Lúa等人的研究（Lúa & Gennaro，2024年）。不过，在这些应用中，摩擦系数取决于路面状况，而且可能会随时间发生变化，因此很难确定其解析表达式（Fathi等人，2024年），这也使得极值搜索控制成为处理这类问题的合适方法。在过去的二十年里，有许多基于极值搜索控制的防抱死制动系统被提出来（Drakunov等人，1995年；Zhang & Ordonez，2007年；Din?men等人，2010年；Dincmen等人，2014年；Dincmen & Acarman，2009年；Dincmen，2014年），但这些方法都有一个共同的缺陷，那就是没有考虑扰动因素的影响。这类扰动可能来自外部因素，比如在制动过程中路面状况的突然变化，也可能来自内部因素，比如制动过程中车辆载荷的变化。在极端情况下，这类扰动可能会严重影响防抱死制动系统的运行，甚至导致系统不稳定。目前基于滑模极值搜索控制的防抱死制动系统虽然可以通过牺牲精度或收敛速度来克服这类扰动，但对于这类对安全性要求极高的应用来说，这不是一个可行的解决方案。防抱死制动系统中的瞬态行为至关重要，必须尽可能快速地追踪到最优的摩擦力水平，这样才能降低车轮抱死的风险，避免事故发生（Shen等人，2022年）。

在过去的十年里，有不少学者致力于研究极值搜索控制方法的鲁棒性。以下是对这一领域现有主要研究成果的综述：

D. Nesic等人提出了一种适用于存在参数不确定性的系统的极值搜索控制框架（Nesic等人，2013年2月）。在该框架下，通过结合连续优化算法、观测器、控制器和参数估计器，就可以实现对抗参数不确定性的鲁棒极值搜索控制。不过，这项研究仅考虑了系统模型中的参数不确定性问题。

在Lara-Cisneros等人的研究中（2017年），G. Lara等人提出了一种基于不确定性估计方法的鲁棒滑模极值搜索控制方案，用于反应系统。通过估计并消除未知扰动，该方案能够在不牺牲性能的前提下实现系统的鲁棒性。不过，该研究中的扰动估计是依靠高增益观测器来实现的，这就导致了该方法存在一些缺陷，比如会出现峰值现象，且对噪声非常敏感。此外，该方案仍然存在持续振荡的问题，而且各种性能指标之间的权衡问题也依然存在。

L. Zhang等人的研究是对之前工作的延伸（Zhang等人，2023年），他们采用非线性扰动观测器来替代高增益观测器，以此应对无法预测的扰动。不过，这种方法也存在同样的局限性。

在Valenciaga和Inthamoussou于2018年11月发表的研究中，F. Valenciaga和F. A. Inthamoussou提出了一种基于梯度估计的极值搜索控制新方法，该方法针对线性动态系统，采用了二阶滑模控制估计器，能够保证系统在有限时间内收敛，且具有较高的鲁棒性。遵循同样的思路，T. Z. Ixbalank等人也提出了一种类似的基于梯度估计的极值搜索控制方法（Zú?iga等人，2021年），他们通过超扭转微分器来估计梯度。不过，这种方法仍然会受到二阶滑模控制固有缺陷的影响，比如需要进行微分运算，且对噪声非常敏感。

C. Solis等人提出了一种适用于二阶不确定系统的鲁棒扰动型极值搜索控制方法（C. Solis等人，2019年），该方法利用滑模控制来精准跟踪由扰动型梯度估计器提供的最优输入。不过，该方法不仅仅适用于二阶系统，其控制信号中还存在抖振现象，而且极值搜索控制性能指标之间的权衡问题依然存在。

在后续研究中，C. Solis等人（C.U. Solis等人，2019年）将这一框架扩展到了任意阶数的不确定系统，他们采用了一种改进的同步检测方法来进行随机梯度估计。这一改进提升了系统对抗扰动和输出测量中随机噪声的鲁棒性，但抖振问题仍然没有得到解决。

S. D. Chaudhari等人提出了一种用于最佳制动应用的鲁棒基于梯度估计的极值搜索控制方法（Chaudhari等人，2022年）。在该方法中，他们提出了一种新型的动态非线性梯度观测器，该观测器通过滤波器来提升系统的稳定性和估计精度。此外，他们还采用了基于扰动观测器的滑模控制控制器来实现对车辆滑动率的调节。通过时间分离和滤波器的使用，他们解决了测量噪声以及扰动观测器带来的残差误差对梯度估计的影响，不过这也限制了该方法的收敛速度和系统恢复速度。

E. Fedele和R. Rizzo在2025年提出了另一项重要的研究成果，他们为风能领域的最大功率点跟踪问题提出了一种自适应扰动型极值搜索控制方案。这种自适应设计使得算法能够快速收敛，且振荡现象较少，从而解决了扰动型极值搜索控制方法中一直存在的核心权衡问题。此外，该研究还通过引入错误梯度估计检测机制，提升了系统对抗风力突然变化的鲁棒性。

尽管现有的文献中已经提出了许多鲁棒的极值搜索控制方法，但由于滑模极值搜索控制能够保证系统以预定的速率收敛，因此它仍然是最具前景的控制方法。不过，要同时克服收敛速度与精度之间的矛盾，还要解决系统的扰动鲁棒性与正常性能之间的冲突，仍然是一个巨大的挑战。近年来，滑模控制理论取得了显著的进展，而滑模控制理论也是推动鲁棒控制领域发展的重要力量之一（Reyhanoglu，2025年）。滑模控制理论的一个主要分支是积分滑模控制。这种强大的控制方法能够从一开始就确保系统进入滑模阶段，同时避免了传统滑模控制中存在的到达阶段问题（Oliveira等人，2023年）。在早期的研究中，积分滑模控制也继承了滑模控制的一些缺陷，比如由于其非连续特性而产生的抖振现象，以及需要估计扰动的上限，这些都限制了该方法的适用范围。Obeid等人在2018年提出了对该方法的进一步改进，他们在控制设计中引入了屏障函数。这一改进在系统的滑模流形周围形成了一层边界层，确保系统的运动轨迹始终处于这些边界层之内。此外，这种控制方法通过连续的控制动作来实现控制目标，且无需事先知道扰动或其导数的上限值。

本文充分利用屏障函数上述的这些特性，提出了一种适用于一类受扰动非线性系统的鲁棒滑模极值搜索控制方法。该方法将基于屏障函数的积分滑模控制作为扰动消除手段，与经过改进的传统滑模极值搜索控制相结合。基于屏障函数的积分滑模控制的引入，使得系统能够实现鲁棒且无抖振的响应，同时不会牺牲性能，也不需要事先知道扰动的上限值。与此同时，经过改进的传统滑模极值搜索控制能够以高精度追踪未知的最优解，具有快速的收敛速度，且几乎不存在持续振荡现象。这一改进是通过加入两种机制来实现的：一种是阻尼机制，用于在系统接近未知最优解附近后，将初始的高速、高精度的极值搜索控制转变为高精度、低振荡的极值搜索控制；另一种是恢复机制，用于应对性能指标所对应的“地形”发生突然变化时的情况，也就是应对未知最优解位置发生突然变化的情况。使该算法适用于那些性能指标始终处于静态环境或缓慢变化状态的应用场景，偶尔才会出现突然且不连续的环境变化。ABS系统就是如此，在单次制动过程中，对于相同的道路条件，性能指标（摩擦系数）为恒定的静态值，而当道路条件发生变化时（例如从干燥的沥青路面变为结冰的道路），则会出现突然的变化。图1展示了所提出方法的示意图。本文以ABS系统作为数值示例，用以验证所提方法的有效性。本工作对现有文献的贡献在于：•针对受扰动的非线性系统，对基础SMES架构进行了创新的稳定性分析。与现有文献中的分析不同（Zhang等人，2023年；Lara-Cisneros等人，2017年；Valenciaga和Inthamoussou，2018年；Zú?iga等人，2021年；C. Solis等人，2019年），这些分析忽略了实际控制器产生的残差误差对ES循环的影响，而本分析则深入研究了这些残差误差对ES稳定性和性能的影响，阐明了ES稳定性与性能之间的权衡关系，并揭示了在扰动作用下的关键限制。在此基础上，本文提出了一种新的鲁棒SMES方法，通过结合改进型SMES与BF-ISMC来解决这些问题。•考虑到Nesic等人（2013年）、Valenciaga和Inthamoussou（2018年）、Zú?iga等人（2021年）、C. Solis等人（2019年）、Fedele和Rizzo（2025年）所提方法的适用性局限，以及Zhang等人（2023年）、Nesic等人（2013年）、Lara-Cisneros等人（2017年）、Valenciaga和Inthamoussou（2018年）、Zú?iga等人（2021年）、C.U. Solis等人（2019年）、Chaudhari等人（2022年）所提方法中观测器与估计器的固有局限，所提出的方法能够在不牺牲性能的前提下，确保未知最优点的有限时间实际稳定性，且适用于更广泛的受扰动SISO非线性系统类别，即便扰动的上界未知也是如此。•与Zhang等人（2023年）、Lara-Cisneros等人（2017年）、C. Solis等人（2019年）、C.U. Solis等人（2019年）所提方法仅侧重于提升SMES控制的鲁棒性不同，本文提出的方法进一步解决了SMES中的核心权衡问题，能够实现具有预定义快速收敛速度、高精度且持续振荡最小的ES性能，并能实现快速恢复。•通过针对ABS系统的仿真研究来验证所提方法的有效性，同时与文献中的最新方法进行了对比研究。本文的其余结构如下：第二部分阐述了本文中使用的关键符号、定义及基本定理，随后介绍了BF-ISMC的理论背景，并将其主要结果总结为一个引理，以便在后续分析中使用。第三部分对将实际控制器与经典SMES结合在一起时，对所研究的系统类别所带来的影响进行了深入分析，并给出了相应的引理结果。第四部分基于此分析，提出了本研究的问题陈述及目标。第五部分阐述了本文的主要命题，第六部分则展示了针对ABS系统的仿真研究结果。最后，第七部分总结了研究结论。

符号说明
R、R+、I、I+、Iodd和Ieven分别表示实数集、正实数集、整数集、正整数集、奇数集和偶数集。Rn表示n维实欧几里得状态空间。I为n×n单位矩阵，λmax(A)和λmin(A)分别表示矩阵A的最大特征值和最小特征值。

定义与基本定理
本文得到的理论结果基于Fillipov关于微分方程解的定义。

在实际控制器残差误差作用下的经典SMES的性能与稳定性
对于(1)式中研究的系统类别，其目标函数为：
y=H(ζ)
其中y∈R，H():Rn→R，H()∈C2，且满足以下假设（针对最大化问题）：
假设1：存在ζ*，使得y*=H(ζ*)是H(ζ)的最大值，满足：
?H/?ζ(ζ*)=0，
?2H/?ζ2(ζ*)<0，
H(ζ*)>H(ζ)，?ζ∈Rn且ζ≠ζ*。
ESC的目标是在不知道H()的解析形式的情况下，仅通过测量y的值，迫使y跟踪未知的最优值y*。

现在定义ζe为：
ζe(t)=ζ(t)?L(θ)ζ˙eΔ=fcle(ζ,θ,t)

本研究的问题陈述与目标
在大多数现实应用中，动态系统通常会受到外部和内部干扰的影响。然而，关于这一主题的研究还存在不足，目前大多数SMES算法在应用于受扰动的非线性系统时，其性能可能会显著下降。经典SMES结合实用的稳定反馈控制器可以克服这些扰动，但代价是需要在性能与稳定性之间进行权衡，正如前文所述。

所提出的方法
在本节中，提出了一种将SMES与BF-ISMC相结合的新方法。通过这种方法，只需增加一个额外的设计参数?，就可以将鲁棒性问题与其他性能标准分开处理。BF-ISMC能够确保dζ和d˙ζ最终都被限制在?的范围内；因此，通过选择足够小的?，可以最小化(t)对系统的影响，从而减轻性能与稳定性之间的权衡，进而为其他优化提供可能。

仿真研究
在本节中，通过将与BF-ISMC结合的新型方法与不含BF-ISMC的经典SMES（结构与命题1相同，但us=0，且使用(11)式而非(35)式）以及Zhang等人（2023年）提出的方法进行比较，来评估第五节中提出的方法的有效性。评估标准包括Mg、Ts，以及ye和ζˉΔ=ζ*?ζ的均方根值。本节中的仿真结果是通过MATLAB/Simulink仿真环境获得的。注意：在……

结论
本研究针对一类受扰动的非线性系统，探讨了滑模极值搜索问题。在存在扰动的情况下，实际稳定性通常是最佳的闭环控制目标。本文对将实际控制器与带有周期性搜索信号的经典SMES结合在一起所带来的影响进行了深入分析，研究了实际控制器产生的残差误差对SMES稳定性和性能的影响。

CRediT作者贡献说明
Taha A. Al-Ghadiri：撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构建。Shibly A. Al-Samarraie：撰写——审阅与编辑、验证、监督、研究。Amjad J. Humaidi：撰写——审阅与编辑、监督。Ammar K. Al Mhdawi：资金获取。