涉及幂律渐变弹性半平面的二维粘性接触问题：双赫兹方法

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Two-dimensional adhesive contact involving a power-law graded elastic half-plane: a double-Hertz approach

　　范金|范霞|徐国•针对幂律梯度粘附接触问题，构建了一种二维双赫兹模型。该模型通过广义Maugis参数将JKR模型与DMT模型统一起来。研究比较了MSC方法与RLCC方法，结果发现RLCC与有限元计算结果更为吻合。分析解涵盖了界面应力、表面位移以及平衡关系。当k趋近于1时，为获得接近JKR模型的结果，不可压缩性条件（ν=0.5）至关重要。

引言功能梯度材料是一类成分、微观结构及力学性能沿空间方向连续变化的异质复合材料（Yadav等人，2024）。这种梯度设计能有效缓解应力集中现象（Ciavarella，2024；Chen等人，2025），提升界面韧性（Uddin和Koohbor，2020），并增强界面耐久性（Marques等人，2021）。因此，功能梯度材料在涂层、生物医学植入物、微机电系统以及柔性电子器件等领域有着重要应用价值（Mukhtar等人，2025；Jana等人，2026）。在大多数使用条件下，功能梯度材料会与刚性压头或弹性基底发生接触，由此产生的接触变形与应力分布直接决定着材料的结构可靠性与使用寿命（Fu等人，2022）。因此，建立精确的功能梯度材料接触力学模型具有重要的理论意义与实际价值。

在许多工程应用中，尤其是在小尺度场景或涉及软材料时，粘附力（如范德瓦尔斯力）不容忽视。粘附作用会显著改变材料的接触行为，导致有限的拔出力以及自发的跳跃式变形现象。对于处于轴对称接触状态下的各向同性均匀材料，目前已发展出多种经典的粘附模型：适用于曲率半径较大且界面粘附力较强的柔软材料的Johnson–Kendall–Roberts（JKR）模型（Johnson等人，1971）；适用于曲率半径较小且界面粘附力较弱的刚性材料的Derjaguin–Muller–Toporov（DMT）模型（Derjaguin等人，1975）；以及作为两者过渡形式的Maugis–Dugdale（M-D）模型（Maugis，1992），该模型可适用于任意Tabor/Maugis参数条件。其中，Tabor/Maugis参数用于描述弹性变形与粘附作用空间范围之间的竞争关系。此外，双赫兹模型通过叠加两个赫兹压力分布，能够简洁而准确地描述粘附接触现象，通过调整Tabor参数可实现从JKR模型到DMT模型的连续过渡（Greenwood和Johnson，1998）。由于该模型在轴对称均匀接触问题中的优异表现，人们开始尝试将其拓展到更复杂的材料体系与几何形状中，如粘弹性材料（Haiat等人，2003）、波浪形表面（Zhang等人，2014）、滚动球体（Ma等人，2024）以及球体与功能梯度材料的界面（Jin等人，2013a）。

当接触几何形态从轴对称状态转变为平面应变状态时，应力场与接触演化过程会发生显著变化。对于均匀材料，人们已经开发出了JKR模型的二维对应模型（Chaudhury等人，1996）、M-D模型（Baney和Hui，1997；Johnson和Greenwood，2008），以及基于Lennard-Jones势的全自洽数值模型（Wu，2009；Zhu和Zheng，2025）。尤其是二维双赫兹模型，已被证明能够有效描述平面应变接触状态下的JKR-赫兹过渡现象（Jin等人，2014；Yan和Huang，2019）。不过，上述所有模型都假设介质为均匀弹性体。而对于功能梯度材料而言，其弹性模量随深度的变化会带来更多复杂性。现有研究表明，梯度参数会显著影响界面应力分布、接触区大小以及粘附强度。在这些模型中，弹性模量的梯度变化可通过幂律形式、指数形式或多层梯度形式来描述（Giannakopoulos和Suresh，1997a；Li和Popov，2018；Zhu等人，2022）。其中，多层梯度模型往往难以实现连续的梯度变化，而指数梯度模型则主要依赖数值计算，通常用于描述功能梯度材料与基底的界面情况。至于幂律梯度模型，尽管零表面模量仅是一种数学上的理想化假设，但许多实际材料系统都接近这一状态。Giannakopoulos和Suresh（1997a）发现土壤的模量随深度呈平方根变化规律，而Ni-Al2O3多层结构中的模量则遵循幂律关系（指数为0.216）。Suresh（2001）制备的一种SiAlYON/α-Si3N4复合材料的模量从表面的约25 GPa逐渐升高到0.5毫米深度处的约315 GPa。Dong等人（2020）发现壁虎刚毛从基部到尖端的模量下降了20倍，基部模量为1725 MPa，尖端模量为95 MPa。Lee等人（2009）进一步表明，即便存在有限的表面模量，幂律描述依然能够准确反映材料的力学行为，离散化处理对载荷-位移曲线的影响小于1%。因此，尽管幂律模型属于理想化模型，但它仍能为众多梯度材料提供可靠的近似描述。

基于以上背景，近年来关于幂律梯度材料粘附接触模型的研究发展迅速。对于轴对称问题，目前已建立了较为完善的模型体系（Popov等人，2019），包括相应的赫兹模型、JKR模型、D-H模型以及Maugis-Dugdale模型。作为幂律梯度材料的一种特例，吉布森固体是一种不可压缩的线性梯度弹性材料，其杨氏模量随深度呈线性增加，这类模型被用作理解梯度材料力学性能的基础模型（Gibson，1969）。在类似吉布森固体的材料中，已实现了具备缺陷容忍能力的粘附效应（Yao和Gao，2007，2010），这为设计更稳定的粘附系统提供了重要参考。最近，人们还建立了吉布森固体粘附接触问题的全自洽数值模型（Zhu等人，2023），该模型揭示了在软极限条件下JKR型模型会呈现出独特的折叠变形现象。

相比之下，针对幂律梯度材料的二维粘附接触问题的研究相对较少。目前的研究大多集中在JKR模型框架内的扩展，包括无摩擦粘附接触、非滑动粘附接触以及剪切脱离行为等相关研究，同时也有一些研究考虑了压头形状对粘附行为的影响（Popov等人，2025；Xia和Jin，2026）。如前文所述，JKR型粘附模型假定接触区域之外不存在粘附作用，因此仅适用于那些Tabor/Maugis参数较大的柔软材料。而对于Tabor/Maugis参数为有限值的普通情况，目前尚缺乏相应的粘聚力区模型，这就无法描述从JKR型粘附状态向无粘附状态之间的过渡过程。

本文旨在填补这一研究空白，通过构建适用于幂律梯度材料的二维双赫兹粘附接触模型，重点建立一套可在整个Tabor/Maugis参数范围内应用的解析解。在此基础上，进一步探究梯度指数与Maugis参数共同对二维接触体系中粘附行为的影响。本文结构如下：第2节阐述幂律梯度弹性半平面的二维接触问题；第3节推导双赫兹粘附解，包括无量纲结果、简化验证以及吉布森固体案例的分析；第4节分析研究结果，涵盖牵引-分离关系、DMT-JKR过渡期的粘附行为，以及有限元计算结果与两种理论准则所预测的拔出力之间的对比；第5节对全文进行总结。

问题描述图1a展示了一个半径为R的刚性圆柱体与幂律梯度弹性半平面处于无摩擦粘附接触状态。该圆柱体受到垂直方向的力P作用，当力为拉力时取负值。以接触区中心为原点建立笛卡尔坐标系(x,z)，z轴指向半平面内部。依据经典双赫兹模型的思路（Greenwood和Johnson，1998），界面应力可表示为……

赫兹解在不存在粘附作用的情况下，可将圆柱体近似为抛物线形状时的赫兹解总结如下（Giannakopoulos和Pallot，2000）：压力分布：p(x)=E*α0Rc0k(a2?x2)1+k2，|x|≤a，其中α0=cos(kπ)/(2πCβsin(kπ/(2π)))。载荷与接触半宽的关系：P=πΓ(3+k2)α0Γ(2+k2)/E*a2+kRc0/k。压入深度：δ=a2/(2kR)。接触区内表面法向位移：uz(x)=δ?x2/(2R)，|x|≤a。上述赫兹解适用于0
牵引-分离关系如前文所述，双赫兹模型采用了与m-d模型不同的牵引-分离关系，以此更准确地模拟实际的l-j势函数。为了便于比较，图3a和图3b分别展示了具有幂律梯度特性的通用弹性材料（k=0.4，ν=0.3）以及吉布森固体（k=1，ν=0.5）在粘聚力区内的归一化牵引-分离关系变化情况。m-d模型与l-j模型的牵引-分离公式分别基于方程(47b)和方程(48)。

结论本文构建了一种用于描述幂律梯度弹性半平面与刚性圆柱形压头之间粘附接触问题的二维双赫兹模型。该模型考虑了接触区域外的粘聚力区效应，通过计算粘聚力区内外半宽对应的赫兹压力差来表征粘附力，从而建立起能量平衡约束条件。通过引入……

credit作者贡献声明范金：概念构思、形式分析、资金获取、研究实施、方法设计、项目管理、资源协调、研究监督、结果验证、论文撰写与修订。范霞：形式分析、研究实施、结果可视化、论文初稿撰写。徐国：资源协调、论文撰写与修订。

利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢作者衷心感谢国家自然科学基金（12272365）以及科学挑战计划（tz2025016）提供的支持。 牵引-分离关系如前文所述，双赫兹模型采用了与m-d模型不同的牵引-分离关系，以此更准确地模拟实际的l-j势函数。为了便于比较，图3a和图3b分别展示了具有幂律梯度特性的通用弹性材料（k=0.4，ν=0.3）以及吉布森固体（k=1，ν=0.5）在粘聚力区内的归一化牵引-分离关系变化情况。M-D模型与L-J模型的牵引-分离公式分别基于方程(47b)和方程(48)。 结论本文构建了一种用于描述幂律梯度弹性半平面与刚性圆柱形压头之间粘附接触问题的二维双赫兹模型。该模型考虑了接触区域外的粘聚力区效应，通过计算粘聚力区内外半宽对应的赫兹压力差来表征粘附力，从而建立起能量平衡约束条件。通过引入…… credit作者贡献声明范金：概念构思、形式分析、资金获取、研究实施、方法设计、项目管理、资源协调、研究监督、结果验证、论文撰写与修订。范霞：形式分析、研究实施、结果可视化、论文初稿撰写。徐国：资源协调、论文撰写与修订。 利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。>
牵引-分离关系如前文所述，双赫兹模型采用了与m-d模型不同的牵引-分离关系，以此更准确地模拟实际的l-j势函数。为了便于比较，图3a和图3b分别展示了具有幂律梯度特性的通用弹性材料（k=0.4，ν=0.3）以及吉布森固体（k=1，ν=0.5）在粘聚力区内的归一化牵引-分离关系变化情况。m-d模型与l-j模型的牵引-分离公式分别基于方程(47b)和方程(48)。

结论本文构建了一种用于描述幂律梯度弹性半平面与刚性圆柱形压头之间粘附接触问题的二维双赫兹模型。该模型考虑了接触区域外的粘聚力区效应，通过计算粘聚力区内外半宽对应的赫兹压力差来表征粘附力，从而建立起能量平衡约束条件。通过引入……

credit作者贡献声明范金：概念构思、形式分析、资金获取、研究实施、方法设计、项目管理、资源协调、研究监督、结果验证、论文撰写与修订。范霞：形式分析、研究实施、结果可视化、论文初稿撰写。徐国：资源协调、论文撰写与修订。

利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢作者衷心感谢国家自然科学基金（12272365）以及科学挑战计划（tz2025016）提供的支持。>