随机利率与交易成本下基于物理信息神经网络的期权定价

《Examples and Counterexamples》：Option pricing under stochastic interest rates and transaction costs using physics-informed neural networks

　　

本文在随机利率和比例交易成本下对欧式期权进行定价，这共同产生了一个包含曲率依赖平方根非线性的非线性偏微分方程。经典数值方法在此面临困难，因为非线性交易成本项在支付过渡区域附近产生强敏感性。研究人员使用物理信息神经网络（PINNs）求解由此产生的定价方程。所提出的框架结合了强制执行终端支付和股票价格边界条件的硬输出变换，以及旨在稳定支付扭结附近训练的Huber残差损失。交易成本通过分阶段训练程序逐步引入，以改善完全非线性问题的优化稳定性。定价模型结合了Vasicek短期利率过程以及由标的资产和零息债券组成的对冲投资组合。数值实验表明，训练后的PINN满足终端条件，平均绝对误差为5.96×10^?9，达到边界条件误差在10^?3量级，并产生PDE残差均方根误差在10^?2量级。学习到的解在计算域的93.9%上对资产价格保持单调。实验进一步表明，交易成本系统性降低期权价值，最大修正集中在执行价格附近和中间到期日，其中曲率项变得最为显著。虽然先前PINN在计算金融中的应用主要集中于线性或无摩擦定价模型，但本研究解决了由随机利率和比例交易成本相互作用产生的完全非线性设置。结果表明，PINNs为传统离散化方法计算繁琐的非线性衍生品定价问题提供了一个灵活而准确的框架。

### 论文解读：基于物理信息神经网络的随机利率与交易成本下期权定价

#### 研究背景与问题

在金融数学中，衍生品定价问题常涉及非线性偏微分方程（PDE）、随机系数及耦合状态变量，传统数值离散方法（如有限差分、有限元）面临计算负担。当市场摩擦（如交易成本）被纳入模型时，经典Black–Scholes框架的完美复制结构被破坏，而随机利率则引入额外状态依赖性和混合导数耦合项，导致控制方程为非线性退化抛物型PDE，解析处理受限且数值逼近困难。现有研究多聚焦于线性或无摩擦定价模型，对同时处理随机利率、非线性交易成本及混合导数的场景探讨不足。为此，研究人员提出基于物理信息神经网络（PINNs）的框架，求解由比例交易成本和Vasicek短期利率过程共同产生的非线性欧式期权定价方程，该方程包含曲率依赖的平方根非线性项。论文发表在《Examples and Counterexamples》。

#### 主要关键技术方法

研究人员采用全连接多层感知机（六层隐藏层，宽度128，tanh激活函数），网络输入为五维向量（S, r, τ, K, σ），输出为期权价值V。关键方法包括：硬输出变换，将终端支付条件V(S, r, 0) = max(S-K,0)和股票价格边界条件V(0, r, τ)=0及V(S_max, r, τ)=S_max-KB(t, r)直接编码到网络输出，避免边界漂移；Huber残差损失，以降低支付扭结附近离群点影响；拉丁超立方采样结合局部加密，在S≈K区域增加采样点；分阶段训练策略，先仅强制终端和边界条件，再引入无摩擦PDE残差，最后逐步激活交易成本项（系数从0.25倍增至1倍），提升优化稳定性。优化采用Adam和L-BFGS混合算法。

#### 研究结果

**4.1 收敛性与约束满足性**：实验显示，终端条件平均绝对误差为5.96×10^?9，最大误差1.19×10^?7；大资产边界条件平均偏差4.89×10^?3，最大偏差7.37×10^?3。学习解在93.9%的评估网格点上满足资产价格单调性（?_SV ≥ -10^?4），局部违例主要出现在高曲率支付过渡区域。

**4.2 无摩擦与交易成本情形**：交易成本系统性地降低期权价值，使表面向下平移并在支付过渡附近产生平滑效应。校正项ΔV = V_κ=0 - V_κ>0的最大值集中在平值附近和中间到期日，与非线性PDE中曲率项结构一致。约93.9%的网格点满足ΔV ≥ -10^?4，表明大部分区域交易成本不增加期权价值。

**4.3 波动率与执行价格敏感性**：增加波动率σ提高期权价值，敏感性在平值附近和中等期限最大，但交易成本模型下敏感性略低于无摩擦情形。提高执行价格K使支付过渡向高S方向移动并降低期权价值，最大交易成本校正仍出现在S≈K处。

**4.4 随机短期利率动力学影响**：在当前参数设置（a=1, b=0.03, η=0.10）下，股票相关交易成本项主导非线性校正，债券相关项（涉及V_Sr和V_rr-V_r）贡献较小，但更大η或更长到期日可能增加其影响。

**4.5 定量诊断**：表1给出PDE残差均方根误差（RMSE）为4.03×10^?2，交易成本校正ΔV的RMSE为3.02×10^?2，验证了PINN的模糊逼近精度。由于缺乏封闭解或标准数值基准，验证依赖于内部一致性、约束保留和定性金融行为。

**4.6 金融解释**：非线性交易成本项作为曲率依赖的对冲惩罚，最大校正出现在gamma（期权二阶导数）大的区域（平值附近且远离到期日）。高波动率同时增加内在价值和交易成本，净效应仍为正但敏感性减弱。

**4.7 局限与未来方向**：实验固定ρ=0，未充分探索股票与利率通道交互；交易成本参数假定为常数；计算成本因重复自动微分仍较高；仅适用于欧式期权，需扩展至美式期权（自由边界或变分不等式约束）。

#### 讨论与结论

讨论部分强调，由于非线性交易成本项依赖于混合二阶导数的平方根表达式，传统有限差分或有限元方案构造困难，现有研究多集中于分析性质或简化数值实验，因此本研究以内部一致性诊断、约束保留和定性金融行为作为主要验证标准。结论部分翻译如下：

本文开发了一个物理信息神经网络（PINNs）框架，用于求解由比例交易成本和随机利率产生的非线性期权定价方程数值解。该模型结合了Vasicek短期利率过程与曲率依赖的交易成本校正，产生一个完全耦合的非线性PDE，涉及股票价格和利率敏感性。数值实现包含针对此类非线性金融PDE专门设计的多个稳定机制，包括硬输出变换、Huber残差损失和分阶段训练策略。数值实验表明终端条件满足平均绝对误差5.96×10^?9，大资产边界条件平均绝对误差4.89×10^?3，学习解在93.9%的评估网格上对资产价格保持单调，PDE残差RMSE在10^?2量级。交易成本系统性降低期权价值并在支付过渡附近平滑表面，最大校正出现在执行价格附近和中间到期日。波动率实验显示敏感性弱于无摩擦情形。局限性包括仅考虑ρ=0、常数交易成本系数、仅欧式期权。结果表明，约束保留的PINN公式可为涉及随机利率动力学和交易成本效应的非线性定价方程提供稳定而准确的近似。