用于非线性偏微分方程正问题与反问题的序列域分解物理信息神经网络

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Sequential domain decomposition physics-informed neural networks for forward and inverse problems of nonlinear partial differential equations

　　叶刘|陈佳欣|李标 中国浙江省宁波市宁波大学数学与统计学院，邮编315211

摘要：本文提出了一种名为顺序域分解物理信息神经网络（SDD-PINNs）的新框架，该框架将顺序时间子域分割与密集的信息传递机制相结合。全局时空域被沿着时间轴分解为连续的子域，每个子域都配备独立的子网络。关键在于，在训练完一个子域后，其内部预测值会被密集采样，并作为后续子域的伪初始域，从而依次传递物理约束并保持时间一致性。该方法被应用于多个典型的非线性系统，包括正弦-戈登方程、格杰吉科夫-伊万诺夫方程以及非线性薛定谔方程，用于求解其中的尖峰解、孤子解以及高阶异常波解。实验结果表明，与传统的PINNs和TDD-PINNs相比，SDD-PINNs具有更高的精度和更好的效率。相对L2误差可降低两到三个数量级，同时由于时间分解和密集信息传递的协同作用，训练效率也得到了提升。在反问题研究中，SDD-PINNs框架能够在干净和噪声条件下准确识别KdV方程和GI方程中的未知参数，有效克服了传统PINNs在参数识别方面的局限性，展现出从部分或受扰动观测数据中学习控制规律的更强鲁棒性。

引言：随着深度学习与科学计算的深度融合，数据驱动方法已成为解决非线性偏微分方程的科学机器学习领域的核心方向[1][2]。人工神经网络具备通用逼近能力，这一理论已被证实[3]，为偏微分方程的数值求解提供了新的范式[4]。得益于深度神经网络架构的不断发展以及TensorFlow[5]、PyTorch[6]等计算框架的日益成熟，Raissi等人提出了物理信息神经网络（PINNs）[7]，该框架将控制方程、初始条件及边界条件直接纳入损失函数中，从而自动施加物理约束。这种方法避免了传统数值方法如有限体积法[8]、有限差分法[9]、有限元法[10]所要求的复杂网格生成和离散化过程，在解决各类偏微分方程方面展现出显著优势。

在数学物理学中，可积系统因其独特的性质而长期受到研究关注，这些性质包括无限层的守恒定律、拉克斯对、丰富的对称性以及精确解的存在[11][12][13]。研究人员利用经典的解析技术，如逆散射变换[14]、达布变换[15][16]以及广田双线性方法[17]，成功构造出了各种典型的局域解，比如孤子（在传播过程中形状和速度保持不变的波动）、呼吸波（振幅周期性振荡的局域波）以及异常波（振幅远超过背景场的高度局域化的瞬态扰动）。尽管这些解析方法在某些情况下能够得到精确解，但它们通常仅适用于简单的初始条件和边界条件，难以处理实际工程应用中遇到的复杂场景。因此，迫切需要高效的数值方法来研究可积系统中的非线性波动现象，尤其是高阶异常波这类复杂案例。PINNs已应用于多种偏微分方程，包括积分-微分方程[18]、分数阶偏微分方程[19]以及随机偏微分方程[20][21]。然而，传统的单域PINNs在处理具有强非线性、瞬态局域结构或长时间演化的复杂物理系统时往往面临挑战，表现为梯度消失或失衡[22]、收敛缓慢，最终导致在求解孤子、异常波等高阶非线性波动现象时精度不足[23][24]。这促使研究人员从多个方面改进PINNs，包括网络架构、优化策略以及计算域分解[25][26][27]。在架构方面，残差连接和注意力机制被引入以提高表征能力和训练稳定性[28][29]；激活函数设计也被优化，以减轻梯度消失或爆炸现象，并更好地捕捉复杂的非线性特征[30]。除了网络架构之外，最近的研究还致力于改进PINNs的训练方式。例如，一些混合训练框架将物理先验与混合损失函数相结合，显著提升了在模拟异常波以及求解非线性薛定谔方程参数时的逼近精度[31][32][33][34]。除了混合损失函数之外，另一种丰富PINNs可用信息的策略是将偏微分方程残差的更高阶导数纳入损失函数中。梯度增强型PINNs（gPINNs）[35]利用这类梯度信息施加更强的规则性约束，即使在训练样本较少的情况下也能获得比标准PINNs更高的精度，尤其是在梯度极为陡峭的问题中。域分解已成为提升PINNs解决复杂问题能力的核心策略之一[36][37][38][39][40][41][42][43][44][45][46][47]。在各种分解策略中，早期的代表性工作包括为守恒定律量身定制的保守型PINNs（cPINNs）[36]，它通过将域划分为多个子域并在界面处强制满足通量连续性，有效降低了优化难度，也为并行训练提供了可能。随后，Jagtap等人提出了扩展型PINNs（XPINNs）[37]，它将计算域划分为多个子区域，并在子域界面处强制满足连续性，从而实现并行训练并提高精度。在cPINNs和XPINNs的域分解基础上，并行PINNs（PPINNs）[38]和增强型PINNs（APINNs）[39]发展出了可训练的并行分解架构，有助于高效解决多尺度及多物理场问题。陈等人用有限宽度的“界面带”取代了传统的界面线，并在该区域内引入了伪初始点、残差约束以及梯度匹配条件，从而提高了信息密度[40][41]。Howard等人基于KAN架构开发了重叠分解方法，以实现更平滑的过渡[42]，而Dolean等人则结合有限基函数与重叠子域，提升了在高频及多尺度问题上的性能[43]。此外，陈等人[44]针对非线性薛定谔方程，采用了时域分解（TDD-PINNs）方法来恢复SFB解并识别参数；还有多域PINNs[45]通过巧妙的域划分方法来研究异常波与呼吸波之间的相互作用。另一项最新进展是对称性增强型PINNs[46]，它利用偏微分方程的李群对称性来生成包含解析信息的子域边界。在各个子域内分别训练PINNs之后，再将局部解合并为全局解。这种方法通过融入来自对称性的精确先验信息，有效提升了传统PINNs在大型域或复杂问题中的求解精度。在优化方面，Kopani?áková等人设计了受Schwarz方法启发的非线性预处理器[47]，通过对训练任务进行分层分解，显著加快了L-BFGS等优化器的收敛速度。这些进展表明，关于域分解PINNs的研究正在从简单的几何分割向更为复杂的耦合机制和优化策略发展。

尽管这些进展极大地拓展了PINNs在各类正向和反向问题中的应用，但现有的域分解方法主要依赖于在子域界面处强制满足连续性或通量匹配条件，因而无法充分利用之前已求解子域内部的丰富物理信息来指导后续子域的训练。这种“界面匹配”模式的信息传递较为稀疏；在处理具有陡峭梯度或强烈局域特征的场时，容易在界面处积累误差，从而导致全局解的不一致性。这种信息传递上的限制使得在处理具有强瞬态行为、局部奇点或长时间演化特性的非线性系统时，很难避免误差累积和收敛不稳定，进而限制了这些方法在高精度建模复杂波动现象（如高阶异常波）方面的应用潜力。

针对上述挑战，我们提出了一种名为SDD-PINNs的顺序域分解框架，其核心创新在于“数据传输点”机制。与传统方法仅在时间界面处耦合信息不同，SDD-PINNs在完成一个子域的训练后，会在其整个内部时空区域内密集采样预测点，并将这些预测点视为伪初始点。这些伪初始点与下一个子域的边界条件点共同构成一个有监督的数据集。需要指出的是，我们所提出的SDD-PINNs与那些利用界面条件、重叠区域或伪初始点进行信息传递的现有域分解PINNs框架有所不同。虽然之前的方法也会在相邻子域之间交换信息，但传输的信息通常仅限于子域界面或少量伪初始点。相比之下，SDD-PINNs会从上一个子域的整个内部解域中密集采样数据传输点，从而为下一个子域构建伪初始数据集。这样一来，就能继承更丰富的时空信息，进而提升优化稳定性和解的精度。

与传统的PINNs相比，SDD-PINNs的主要优势如下：
• 时间分解：将全局时空域划分为连续的子域，可将复杂的整体优化问题转化为更简单的局部任务，从而加快收敛速度并减少梯度失衡问题。
• 信息传递：SDD-PINNs利用上一个子域整个内部的预测值作为伪标签，提供丰富的物理信息引导，有助于保留精细特征并提升长时间演化的问题的求解精度——尤其是对于异常波这类局域现象。
• 效率提升：各子网络可独立训练，且采用自适应的架构和损失权重，这使得收敛速度更快、计算成本更低，同时还自然支持类似时间步进法那样的长时间模拟。

本文的结构如下：第2节回顾了物理信息神经网络的方法论基础，随后介绍了所提出的顺序域分解物理信息神经网络（SDD-PINNs）框架，并进行了稳定性分析。第3节针对三种可积系统——正弦-戈登方程、格杰吉科夫-伊万诺夫方程以及非线性薛定谔方程，进行了数值实验，同时与传统的PINNs以及时间域分解PINNs（TDD-PINNs）进行了比较。第4节探讨了基于SDD-PINNs算法的KdV方程和GI方程的参数识别问题，并评估了其在干净和噪声条件下的性能。最后，第5节总结了我们的工作并得出有意义的结论。

片段摘录：
物理信息神经网络（PINNs）：PINNs提供了一种无需网格且高效的数据驱动框架，可用于解决涉及偏微分方程的正向和反向问题[7]。其核心思想是将以偏微分方程形式表达的物理控制定律直接纳入深度神经网络的损失函数中。这种方法即便在缺乏大量标记数据的情况下，也能将假设空间限制在那些大致符合底层物理规律的函数上。考虑在……上定义的一般初边值问题。

数值实验：在本节中，我们以正弦-戈登方程的尖峰解、格杰吉科夫-伊万诺夫方程的孤子解以及非线性薛定谔方程的二阶异常波解作为基准问题，来评估所提方法的性能。除了传统的PINNs之外，我们还考虑了一种名为时间域分解PINNs（TDD-PINNs）的基准模型[41][44]，它采用与SDD-PINNs相同的時間分解策略，但仅通过稀疏的方式传递信息。

数据驱动的偏微分方程参数识别：在本节中，我们将运用来自SDD-PINNs深度学习框架的数据驱动识别方法，来探索偏微分方程中的未知参数。这里以KdV方程的孤子解和GI方程的孤子解为例，展示所提出的SDD-PINNs在数据驱动参数反问题中的有效性和鲁棒性。KdV方程的具体形式如下：ut+λ1uux+λ2uxxx=0，(x,t)∈[X0,X1]×[T0,T1]，我们可以……

结论：在本项工作中，我们提出并系统验证了一种顺序域分解物理信息神经网络（SDD-PINNs）框架，用于解决具有长时间演化、强局域特性以及陡峭时空梯度的非线性偏微分方程问题。所提方法将全局时间域分解为一系列连续的子域，并引入了一种密集的信息传递机制，用于将先前的物理信息传递到后续子域中。

CRediT作者贡献说明：
叶刘：撰写——原始稿件、可视化、验证、方法论、数据整理。陈佳欣：撰写——审阅与编辑、验证、监督。李标：撰写——审阅与编辑、监督。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金项目（编号12575003、12235007、12275144）以及宁波大学K. C. Wong Magna基金的资助。