一种用于非平稳非高斯激励下非线性系统随机振动分析的显式时域方法

《Structural Safety》：An explicit time-domain approach for random vibration analysis of nonlinear systems under nonstationary non-Gaussian excitations

　　谢建华|苏成|林晓祥
中国华南理工大学亚热带建筑与城市科学国家重点实验室，广州

摘要
泊松白噪声作为一种典型的非高斯随机激励，在随机振动分析的理论与实践领域都受到了广泛关注。本研究旨在为具有非线性粘性阻尼器或滞后阻尼器的耗能结构在非平稳泊松白噪声或滤波泊松白噪声激励下的随机振动分析提供一种有效的显式时域方法。该方法基于等效线性化框架发展，无需传统的高斯响应假设即可得到等效线性系统。在等效线性化迭代过程中涉及的多个线性化系统的连续非平稳非高斯随机振动问题，通过显式时域方法求解：其中动态响应的前四阶矩通过累积量和矩运算规则以显式形式得出；而涉及阻尼器响应绝对值的复分数阶或更高阶矩则通过足够多的样本进行显式模拟估算。通过四个数值算例验证了该等效线性化-显式时域方法的有效性，这些算例包括两个分别在非平稳泊松白噪声激励下装有非线性粘性阻尼器和非线性滞后阻尼器的振荡器，以及两个分别装有非线性粘性阻尼器和非线性滞后阻尼器的五自由度结构，它们所受的激励为非平稳滤波泊松白噪声。

引言
高斯白噪声和滤波高斯白噪声过程已被广泛应用于科学工程领域的连续随机激励建模。然而，为了描述如冲击载荷之类的离散随机激励，需要采用更广泛的随机过程类别，即泊松白噪声和滤波泊松白噪声过程，以便更好地捕捉这类激励的非高斯特性。泊松白噪声可视为一系列独立同分布幅值的随机脉冲，它们在具有指数分布间隔时间的随机时刻出现。当随机脉冲的到达率趋于无穷大时，泊松白噪声在分布上趋近于高斯白噪声。迄今为止，泊松白噪声和滤波泊松白噪声过程已被用于描述多种环境随机激励，如地震[1][2]、移动车辆载荷[3][4]、雪[5]、降雨[6]以及河流流量[7]等。

早期关于非高斯随机振动问题的研究主要聚焦于承受泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励的线性系统。例如，Lutes和Hu[8]研究了线性振荡器在泊松白噪声及其滤波版本作用下的响应在时域和频域中的非高斯特性。Falsone[9]利用伊藤随机微积分研究了线性系统在泊松白噪声作用下的响应的高阶累积量与矩之间的关系。Grigoriu和Waisman[10]推导出了由滤波泊松白噪声的二次型激励的线性系统响应的四阶矩方程。Di Paola[11]表明，由滤波泊松白噪声的多项式形式激励的线性系统可简化为由参数化泊松白噪声驱动的准线性系统，并证明了这两种系统的前四阶矩方程是相同的，而准线性系统的矩方程则更容易推导和求解。需注意的是，除了泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励外，其他类型的非高斯激励，如高斯过程的多项式形式，也在线性系统的非高斯随机振动分析中得到了研究[12][13][14]。

针对非线性系统在泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励下的非高斯随机振动问题，也有大量研究。特别是，Cai和Lin[15]提出了一种扰动方案，用于获得由外部或参数化泊松白噪声驱动的杜芬振荡器稳态响应的近似概率密度函数。Grigoriu[16]开发了一种统计线性化技术，用于分析在泊松白噪声作用下具有三次非线性的杜芬振荡器和半振荡器稳态响应的高阶矩。Grigoriu[17]利用伊藤随机微积分研究了在泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励下单自由度非线性系统的稳态响应高阶特性。Zeng和Li[18]采用蒙特卡洛模拟研究了在泊松白噪声及其滤波版本作用下单自由度布克-温纳系统和双线性滞后系统的响应概率分布及首次失效概率。Zeng和Li[19]利用随机平均技术得到了在泊松白噪声作用下单自由度双线性滞后系统响应概率密度的近似稳态解。Guo等人[20]提出了一种指数多项式逼近方法，用于计算在非平稳泊松白噪声及其滤波版本作用下杜芬振荡器的非高斯响应统计量。Peng等人[21]提出了一种路径积分方法，用于研究在稳态泊松白噪声作用下杜芬振荡器和瑞利振荡器的响应概率密度。可以说，上述研究主要集中在考虑稳态泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励的单自由度非线性系统的随机振动分析上。因此，对于承受非平稳泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励的多自由度非线性系统的随机振动分析，亟需一种有效的方法。

近年来，一种称为等效线性化-显式时域方法的技术被提出，可用于高效分析由非平稳高斯激励作用的各类非线性系统的随机振动[22][23][24]。该方法还被扩展用于解决由泊松白噪声或高斯随机过程的平方型形式驱动的杜芬系统的非平稳随机振动问题[25]。在本研究中，进一步发展了该等效线性化-显式时域方法，以处理另外两类更为复杂的非线性系统，即具有非线性粘性阻尼系统和滞后阻尼系统的系统，且考虑非平稳泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励。对于每个感兴趣的时间点，都会构建一个等效线性系统作为原始非线性系统的替代模型。对于滤波泊松白噪声的情况，该等效线性系统还会与线性滤波器结合，利用泊松白噪声的德尔塔相关特性——这一特性在非高斯随机振动分析中十分重要——从而得到一个直接由泊松白噪声驱动的增强型等效线性系统。需要注意的是，该（增强型）等效线性系统的推导并不依赖于高斯响应假设，因为在非高斯激励作用下这一假设已不再成立。该（增强型）等效线性系统以及各种阶数的相关响应矩是通过一系列对（增强型）线性化系统的非平稳非高斯随机振动分析的迭代求解过程获得的。这一计算难题通过一种有效的随机振动分析方法——显式时域方法得以解决：其中响应的前四阶矩通过累积量和矩运算规则以显式形式得出；而涉及响应绝对值的复分数阶或更高阶矩则通过足够多的样本进行显式模拟估算。该等效线性化-显式时域方法的构建特别着眼于具有非线性粘性阻尼器或滞后阻尼器的耗能结构，并通过四个相关的数值算例验证了该方法的有效性。

章节节选
非平稳泊松白噪声与滤波泊松白噪声过程
本节回顾了非平稳泊松白噪声与滤波泊松白噪声过程的统计特性。非平稳泊松白噪声是一种随机过程，由一系列在随机时刻出现的随机脉冲构成，其数学表达式为[16]：
Xt=0Nt=0∑j=1NtYjδt?τjNt>0
其中δ?为狄拉克δ函数；Nt是一个具有时变到达率λt的非齐次泊松计数过程；τ1τ2?τNt是一系列时间间隔。

非高斯激励作用下的等效线性系统
本节利用统计线性化技术，推导了具有非线性粘性阻尼器或滞后阻尼器的耗能结构在非平稳泊松白噪声或滤波泊松白噪声激励作用下的等效线性系统。涉及非线性粘性阻尼器和滞后阻尼器两种情况的等效线性系统推导分别见第3.1节和第3.2节。

通过显式时域方法进行非高斯随机振动分析
本节发展了高效的显式时域方法[25]，用于对具有非线性粘性阻尼器或滞后阻尼器的耗能结构在非平稳（滤波）泊松白噪声作用下的（增强型）线性化系统进行重复的非平稳非高斯随机振动分析。在典型的显式时域方法应用中，首先在第4.1节建立了（增强型）线性化系统的状态向量显式表达式。在此基础上，进一步分析二阶矩等内容。

数值算例
本节通过四个数值算例，验证了该等效线性化-显式时域方法在非线性系统非平稳非高斯随机振动分析中的有效性。这些系统包括两个分别在非平稳泊松白噪声作用下装有非线性粘性阻尼器和非线性滞后阻尼器的振荡器，以及两个分别装有非线性粘性阻尼器和非线性滞后阻尼器的五自由度结构，它们所受的激励为非平稳泊松白噪声。

结论
本研究提出了一种有效的等效线性化-显式时域方法，用于分析在非平稳泊松白噪声和滤波泊松白噪声激励作用下具有非线性粘性阻尼系统和滞后阻尼系统的随机振动问题。该方法基于统计线性化框架发展，解决了两个关键技术难题。第一个难题在于完全摆脱了传统等效线性化方法中长期采用的高斯响应假设。

作者贡献声明
谢建华：撰写——初稿、方法论、实验研究、形式分析、概念构建。苏成：撰写——审阅与编辑、指导、方法论、资金获取、概念构建。林晓祥：撰写——初稿、验证、实验研究、形式分析。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（52178479，51678252）、广东省自然科学基金（2023A1515012822）以及广东省人工智能与数字经济实验室的资助。