基于克里金代理模型的无尺度且考虑覆盖度的主动学习方法在结构可靠性分析中的应用

《Structural Safety》：Scale-free and coverage-aware active learning for Kriging-based surrogate assisted structural reliability analysis

　　马玉祥|海春龙|魏晓静|梅立权
中国西安交通大学数学与统计学院，西安710049

**摘要**
结构可靠性分析能够量化在多重不确定性因素作用下的失效概率，但由于高精度模型的计算成本过高，直接使用蒙特卡洛模拟方法并不适用于大多数工程系统。现有的主动学习策略往往在全局探索与局部精细化之间不稳定切换，从而导致采样冗余且效率低下。本研究提出了一种基于主动学习的克里金框架，该框架将无尺度、考虑覆盖度的采样规则与迭代可靠性估计器相结合。该采样规则综合了三个经过归一化的指标——到预估极限状态面的距离、预测不确定性以及局部样本间距，从而在保持尺度不变性的同时实现探索与精细化的平衡。归一化处理可避免某一指标的过度影响并抑制样本聚集现象，而退火调度机制则使搜索逐步从全局覆盖转向局部边界精细化。数值实验与工程案例研究表明，该方法能够给出准确且收敛平稳的失效概率估计值，且相比常见的主动学习方法，所需的真实模型评估次数大幅减少。其采样路径能够保持较宽的域覆盖范围，降低不同运行间的结果差异，同时避免过早聚焦于个别失效区域。时间复杂度分析表明，尽管每次迭代的成本略有增加，但由于迭代次数显著减少，实际运行效率依然具有竞争力。这些结果证明，所提出的方法对于复杂工程结构的替代模型辅助可靠性评估而言，既实用又稳健。

**引言**
结构可靠性对工程决策至关重要，因为材料、几何形状、载荷、边界条件以及建模假设等方面的不确定性都可能影响结构的安全性能[1]。典型应用包括易受气动疲劳影响的飞机机翼[2]，以及在随机激励和施工误差作用下需要具备抗震可靠性的高层建筑[3]。然而，这类问题往往依赖于计算量巨大的数值模型，重复进行模型评估会使传统的可靠性分析变得难以实施。因此，亟需一种能够在可控成本下保证精度的方法，以便处理那些需要通过昂贵模拟才能评估的复杂非线性性能模型。

结构可靠性分析（SRA）用于量化在不确定性存在的情况下结构违反性能要求的概率。设X∈Rd为随机输入，其联合概率密度函数为fX(x)；g:Rd→R为性能函数，其中g(x)>0表示安全状态，g(x)=0为极限状态面（LSS），g(x)≤0则表示失效。失效概率可表示为[4]：
Pf=P[g(X)≤0]=∫{x:g(x)≤0}fx(x)dx。
将安全区域和失效区域分别定义为Ωs={x:g(x)>0}和Ωf={x:g(x)≤0}，边界则为Ω0={x:g(x)=0}。等价地，定义指示函数If(x)=1（当x∈Ωf时），0（当x∈Ωs时），则失效概率也可表示为：
Pf=E[If(X)]=∫ΛIf(x)fX(x)dx。
尽管这些定义较为简单，但在实际中估算Pf却颇具挑战性，因为性能函数g(x)往往具有隐式形式、高度非线性，或评估成本极高[5]、[6]、[7]。

蒙特卡洛模拟（MCS）是计算积分(1)并估算隐式性能函数失效概率的主要方法[8]。该方法简单、稳健，且对维度变化不太敏感；但其效率有限。要准确估算罕见事件的概率，通常需要大量模型评估，而当性能函数评估成本很高时，这种做法就会变得不可行。尽管已经开发出了多种加速技术，包括重要性抽样（IS）[9]、顺序重要性抽样（SIS）[10]、[11]、线抽样（LS）以及子集模拟（SS）[12]、[13]、[14]，还有它们的混合变体[15]、[16]，但在许多工程场景中，计算成本仍然过高，因此这些方法并不适合处理复杂且计算成本高的问题。

最常用的解析方法是一阶可靠性方法（FORM）[17]和第二阶可靠性方法（SORM）[18]。这两种方法通过在最可能失效点（MPP）处对极限状态函数（LSF）进行泰勒级数展开，从而在大幅减少模型评估次数的同时实现失效概率的精确估算[19]。为了在精度与效率之间取得更好的平衡，人们提出了多种改进的FORM方法，如混沌控制方法[20]、有限步长法[21]以及共轭有限步长法[22]、[23]。然而，当底层模型计算成本高昂，且极限状态表现出明显的非线性、多个设计点或几何不规则性时，这些方法的精度可能会下降。这就促使人们采用替代模型辅助方法，即用成本较低但精度较高的元模型来近似极限状态面（LSS）。SRA通过用低成本近似模型替代原始模型，在保持可接受精度的同时避免了重复进行高精度评估的高昂成本[24]。常见的替代模型包括响应面方法（RSM）[25]、克里金元模型[26]、支持向量机（SVM）[27]、神经网络（NN）[28]、径向基函数（RBF）[29]以及多项式混沌展开（PCE）[30]。克里金方法因其能够同时提供均值预测与不确定性估计，尤其适合用于可靠性分析[31]。为进一步提升效率与精度，人们引入了主动学习策略，通过迭代方式在极限状态面附近优化替代模型，从而以更少的样本实现更准确的失效概率估算。替代模型的有效性在很大程度上取决于样本选择的合理性。为此，人们设计了多种基于克里金的采样准则以实现自适应采样。

SRA的采样准则发展始于预期改进（EI）准则[32]，随后该准则通过预期可行性函数（EFF）[31]、[33]被引入可靠性分析领域；Echard提出的AK-MCS框架将克里金方法与简单的蒙特卡洛模拟相结合，用于主动学习[34]；基于熵的H学习函数（常与线抽样结合使用）可用于优先选择靠近极限状态面的区域以获取更多信息[35]；还有基于全局敏感度的样本选择方法[36]、自适应采样区域与并行策略，这些方法会将设计点引导至概率密度较高的区域[37]；以及最小改进函数（LIF），该方法利用克里金统计量与输入数据的联合概率密度函数来量化失效概率误差的预期降低幅度[38]。此后又出现了针对可靠性分析的预期改进扩展方法，包括基于折叠正态分布的REIF/REIF2[39]、基于可靠性的下置信界方法及其基于自举法的收敛性评估[40]，以及折叠正态预期改进法（FNEIF）[41]。其他研究方向还包括基于重要性对候选点重新赋权的主动权重学习（AWLF）[42]、具有动态权衡机制的顺序探索-利用函数（SEEDT）[43]，以及嵌入在自适应克里金优化过程中的最可能失效点周围可信区域的搜索方法[44]。此外，人们还研究了将克里金方法与方差缩减技术相结合的方法，用于处理失效概率较低的可靠性分析问题，例如AK-IS[34]、AKOIS[45]、AK-SS[46]、AK-ARBIS[47]、AK-MSS[48]、AK-DS[49]、AK-SESC[16]以及AK-HMC-IS[50]。

尽管基于克里金的主动学习方法在静态可靠性分析领域已得到广泛研究，但该领域在方法论层面仍未形成统一的标准。现有准则在平衡局部精细化与全局探索方面的方式存在很大差异，且其表现往往取决于具体问题，尤其是在面对非凸、不连续或表示不充分的失效区域时。在这种情况下，仍经常出现样本聚集、过早聚焦于局部区域以及失效概率估计收敛不稳定的实际问题。因此，当前的挑战并非缺乏采样准则本身，而是缺少一种能够同时兼顾边界接近度、认知不确定性以及空间覆盖度的统一且具有尺度鲁棒性的机制。为此，本研究提出了一种无尺度、考虑覆盖度的采样准则（SFCA），该准则通过统一的归一化方案同时整合了上述三种特性。

本研究的主要贡献如下：
• 提出了一种统一的无尺度采样框架，该框架能够同时综合考虑极限状态接近度、预测不确定性以及样本稀疏性，从而避免某一指标的过度影响，提升跨问题的稳健性。
• 引入了一种退火式的探索-精细化机制，该机制可在逐步细化极限状态面附近的搜索过程的同时，避免过早聚焦于局部失效区域。
• 在AK-MCS框架内建立了考虑覆盖度的主动学习策略，该策略不仅提升了采样效率，还增强了收敛的平滑性以及不同运行之间的稳定性。
• 通过大量的数值实验与工程案例验证，所提出的策略在评估成本方面具有竞争力，且在不同维度及不同形状的失效区域问题上均表现出良好的稳健性。

本文的其余部分结构如下：第2节回顾克里金模型；第3节详细介绍为SRA设计的SFCA学习函数，包括其公式、归一化方法以及退火策略；第4节通过将SFCA与克里金替代模型相结合，展示完整的领域可靠性分析流程；第5节对所提方法进行数值与工程层面的验证；第6节进行详细讨论，包括跨案例效率对比、分组件消融分析以及与时间相关的性能表现；第7节总结主要研究发现并指出未来研究方向。

**片段摘录**
**克里金替代模型**
在高成本评估且失效概率较低的场合，主动学习需要一种既能提供点预测结果，又能给出局部不确定性的替代模型。克里金方法（高斯过程回归）能够提供封闭形式的均值-方差预测结果，并具有插值功能；其预测方差可直接用于指导采样，因此成为可靠性导向的主动学习中最常用的替代模型。在此基础上，我们将所提出的SFCA与克里金方法无缝结合。

**所提出的SFCA方法**
在基于替代模型的结构可靠性分析中，主动学习的目标是以尽可能少的多次高精度评估来识别并优化极限状态面。现有的采样准则通常只考虑三个关键标准中的两个——即与极限状态面的几何接近度、预测不确定性以及空间覆盖度——这容易导致在最可能失效点附近出现过早过拟合，或对远处失效区域的探索不足。因此，所提出的无尺度、考虑覆盖度的采样准则（SFCA）能够同时兼顾这三方面因素。

**通过AK-MCS-SFCA实现自适应可靠性分析**
如图1所示（参见算法1），通过将所提出的SFCA采样准则嵌入AK-MCS循环中，可构建一个自适应可靠性分析框架。在每一轮迭代中，首先对候选点集合应用方程(21)中定义的SFCA函数，选出最具信息量的点，随后进行高精度评估并重新训练替代模型。这一循环持续进行，直到满足方程(28)中规定的可靠性停止准则。这样的整合方式形成了一个统一的分析框架。

**验证示例**
为评估所提出的SFCA框架在替代模型辅助结构可靠性分析中的有效性与稳健性，我们采用了多种复杂程度逐渐增加的基准测试问题与工程案例。以蒙特卡洛模拟作为参考方法，同时将SFCA与多种先进的算法进行了比较，这些算法包括AK-MCS[52]、AK–SS[12]、RBF–GA[53]、RBF–EIF[53]以及ARBFM–MCS[54]，它们分别代表了主动学习、方差缩减、启发式等方法。

**讨论**
本节从三个互补的角度探讨SFCA的性能表现。首先，通过在与代表性主动学习方法的对比中，结合统一的误差容忍度，总结了所有案例 study中的整体效率与精度情况。其次，通过对一个典型基准问题进行分组件消融分析，研究了几何项、不确定性项以及覆盖度项各自的作用。最后，分析了与时间相关的因素，包括实际运行成本等。

**结论**
本研究提出了用于替代模型辅助结构可靠性分析的SFCA方法，并将其嵌入AK-MCS框架之中。该方法同时考虑了与预估极限状态面的几何接近度、高斯过程预测器带来的认知不确定性，以及基于最近邻间距的空间覆盖度。通过归一化处理以及退火式的权重调整机制，SFCA能够在整个学习过程中保持探索与利用的平衡。本研究取得了多项重要成果。

**CRediT作者贡献说明**
马玉祥：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件工具、方法论、研究实施、形式分析、数据整理、概念构思。
海春龙：撰写——审阅与编辑、验证、监督、方法论、形式分析、概念构思。
魏晓静：撰写——审阅与编辑、方法论、概念构思。
梅立权：撰写——审阅与编辑、监督、资源协调、项目管理、资金申请、形式分析。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

**致谢**
本研究得到了中国国家自然科学基金的支持，项目编号为12171385。