基于自适应替代模型辅助的径向线采样方法在稀有事件评估中的应用

《Structural Safety》：Adaptive surrogate model-assisted radial-based line sampling for rare event evaluation

　　王波|于杰|王显明|张俊凯|张天晓
北京航空航天大学机械工程及自动化学院，中国北京市海淀区学院路37号，100191

摘要
在结构与系统可靠性分析中，评估罕见事件始终是一项挑战。虽然基于线的抽样方法已逐渐成为传统蒙特卡洛模拟用于罕见事件评估的可靠替代方案，但人们仍在积极寻求对传统线性抽样方法的改进。为解决这一问题，本研究提出了一种全新的模型无关框架：自适应替代模型辅助的基于半径的线抽样法（AS-RBLS）。AS-RBLS方法具有三大优势：首先，通过将线性抽样与基于半径的分区机制相结合，有效避免了在线抽样算法执行过程中大量样本落入安全区域所导致的效率问题；其次，引入了一种新的“顺序排序”算法。这种无需额外干预的算法与自适应替代模型相结合，仅需在替代模型更新过程中对候选样本进行两次距离排序操作，即可高效确定自适应超球半径并识别重要方向；最后，基于半径的分区机制将故障域限制在超球外部，从而能够在超球外部区域沿重要方向高效地进行短距离线搜索。通过五个数值案例研究对所提出的AS-RBLS方法与几种现有方法进行了系统性对比，结果表明该方法显著提升了罕见事件估算的效率。

引言
罕见事件指的是发生概率较低但后果严重的工程事故[1]。在蒙特卡洛模拟中，罕见事件对应于位于概率分布尾部的样本。由于这类尾部事件的出现频率较低，因此为结构可靠性分析获取足够数量的样本变得十分困难。现有的可靠性分析方法大致可分为三类：统计矩方法、抽样方法以及替代模型方法。统计矩方法[2]、[3]、[4]、[5]是最早应用于可靠性分析的方法之一。其基本原理是通过利用性能函数在某些特征点处的函数值来计算性能函数的矩（主要是第一至第四矩），然后根据各阶矩的信息来近似计算故障概率。然而，统计矩方法在数学处理过程中会对特征函数和泰勒级数展开施加特定的截断约束，这限制了其近似计算的精度。在高度非线性问题以及概率信息不足的复杂分布的可靠性分析中，这一现象尤为突出。替代模型方法作为一种通用的可靠性评估框架已被广泛采用。该方法通过构建一个计算效率较高的LSF近似模型，从而实现快速评估。不过，由于这些区域样本代表性不足，替代模型往往难以准确捕捉概率分布的尾部区域。因此，在用于罕见事件分析时，它们通常需要与改进的抽样策略相结合。抽样方法属于另一大类，包括蒙特卡洛模拟及其改进版本。这些改进版本通常被称为方差降低技术，其目的是通过增加关键尾部区域的样本生成量来提高低概率事件的估算效率。典型的方法包括重要性抽样[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、子集模拟[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、方向抽样[16]、[17]、[18]、[19]、[20]以及线抽样（LS）[21]、[22]、[23]、[24]、[25]。尽管在罕见事件分析领域已经研究了上述各类方法，但本文重点探讨线抽样及其相关进展。

线抽样通过将多维故障概率积分转化为沿某一重要方向的一维线搜索，并结合在正交的（n?1）维超平面上的随机抽样，从而高效估算罕见事件的概率。该方法最初由Koutsourelakis等人[26]、[27]、[28]提出，此后已在包括土木工程[24]、[29]、航空航天[30]、[31]、[32]、核能领域[33]以及汽车工业[34]在内的多个工程领域得到成功应用。在线抽样的研究中，有两个核心任务：识别重要方向，以及提高沿这些方向进行线搜索的效率与稳定性。根据识别重要方向的方法分类，现有的线抽样方法可分为三类：基于马尔可夫链蒙特卡洛的方法、基于梯度的方法以及基于设计点的方法。当Koutsourelakis等人[26]、[27]、[28]首次提出线抽样方法时，他们在一系列高维可靠性分析研究中使用了马尔可夫链蒙特卡洛方法来识别线抽样的重要方向。Song等人[25]进一步运用马尔可夫链蒙特卡洛方法识别重要方向，并提出了一种改进的线抽样方法，该方法采用了三点二阶多项式插值技术，旨在解决飞机发动机涡轮盘结构可靠性分析中的效率问题。然而，马尔可夫链蒙特卡洛方法在收敛到稳定分布方面存在固有难题，尤其是在处理高维参数空间或复杂故障模式时。这种收敛缺陷往往会导致烧录阶段初始样本出现较大偏差，而如果起始点选择不当（例如远离故障域），则这些偏差可能会演变为系统性误差。此类初始化偏差会降低方向估算的准确性，进而削弱故障概率的可靠性。为解决这些问题，Pradlwarter等人[35]最初提出了基于蒙特卡洛模拟获取性能函数梯度信息，再根据该梯度信息识别重要方向的方法。不过，Marco de Angelis等人[24]指出，仅基于单次尝试得到的梯度信息所确定的 important方向与最优方向相比存在较大误差，因此他们在此基础之上提出了一种自适应方案，即高级线抽样法。在初步估算之后，通过线搜索获取极限状态面上的若干样本，然后根据这些样本中最接近样本空间原点的点来更新重要方向。Papaioannou等人[36]提出了一种名为组合线搜索的方法，通过将多个高级线抽样估算过程以不同权重进行联合估算，从而提高了重要方向识别的稳定性。最近，Dang等人[21]、[37]、[38]开展了一系列与线抽样相关的创新研究。在确定重要方向时，他们采用了Marco de Angelis等人提出的技术。尽管基于梯度的方法在纯抽样方法以及与替代模型相结合的方法中都表现良好，但它们仍存在两个缺点。首先，在高维空间中，通过在极限状态面上搜索样本来更新最初识别出的重要方向的效率，会受到初始方向精确度的显著影响。如果初始偏差较大，那么重要方向的自适应调整效率就会降低。这一限制与线抽样擅长解决高维问题的特点相悖。其次，通过线搜索在极限状态面上获得的样本分布较为离散，这可能导致所确定的 important方向与最优值之间存在一定偏差。

近十年来，线抽样研究越来越多地采用基于设计点的方法来确定重要方向。该方法以标准化设计点向量作为重要方向向量，其显著优点在于可以利用诸如一阶可靠性方法[39]之类的成熟可靠性分析方法。Peng等人[30]将寻找重要方向的问题（或寻找最大性能点的问题）转化为标准正态空间中的优化问题，并使用人工蜂群算法来进行重要方向的优化搜索。最近，Wei等人[34]开发了一种利用设计点确定重要方向的新方法，称为随机配置增强线抽样法。与传统线抽样通过随机抽样估算一维条件故障概率不同，随机配置增强线抽样法直接结合高斯求积法与U-MDRM或B-MDRM方法来计算积分，然后再将一维条件故障概率视为高斯求积点的加权之和。Depina等人[23]提出了一种基于克里金法的元模型线抽样方法，用于寻找位于极限状态面上的设计点，进而确定重要方向。Song等人[22]则受启发于使用元模型（高斯过程回归模型）来提高线抽样算法的效率，他们创新性地提出了将线抽样的学习函数作为元模型的更新依据及停止准则。这种新的线抽样方法既利用设计点方法识别重要方向，又利用TPSO方法在一维空间中进行线搜索。尽管基于设计点的方法应用广泛，但它需要在寻找最大性能点时进行额外的计算，从而降低了罕见事件可靠性分析的效率。

为进一步提升线抽样方法的算法效率，本文提出了一种改进后的线抽样方法，即“自适应替代模型辅助的基于半径的线抽样法”（AS-RBLS）。AS-RBLS的一个核心特点是将自适应替代模型与基于半径的分区机制相结合。基于半径的分区机制是由Harbitz[40]提出的。该方法通过一个超球体——通常称为β球体——将样本空间划分为内部的安全区域和外部包含故障区域的区域。通过将采样和替代模型构建限制在超球体外部，显著提高了罕见事件评估的计算效率。Grooteman[41]提出了一种用于搜索超球体最优半径βopt的自适应策略。基于这一策略，Yun等人[42]将元模型与基于半径的分区机制相结合，以提高算法的效率。Xiong等人[43]则提出了另一种结合元模型与基于半径的方向的联合方法，建议采用逐步搜索最大性能点的方案。

所提出的AS-RBLS方法包含三项关键创新。首先，提出了一种名为顺序排序的非干扰算法。该算法通过在替代模型自适应更新过程中对候选样本集进行两次连续排序操作，同时实现β球体的自适应更新以及重要方向的自适应识别。它之所以被称为非干扰算法，是因为其执行过程不会额外调用LSF，也不会影响替代模型的更新过程。其次，提出了一种名为短距离线搜索的新方法。该方法的显著特点在于，线搜索区间位于β球体外部，因此其区间长度远远短于现有线抽样方法的线搜索范围。最后，提出了一种针对线抽样定制的替代模型的自适应学习函数。该学习函数通过衡量替代模型响应的统计分布与参考分布在指定区间内的积分值一致性，来量化候选样本对替代模型更新的贡献程度，进而选择贡献度最大的候选样本纳入训练样本集。为更清晰地展示所提方法的创新性与优势，表1从重要方向、数值积分方法以及线搜索策略三个方面对比了AS-RBLS与现有线抽样方法。

本文的其余部分结构如下：第2节简要回顾了传统线抽样方法在可靠性分析中的基本原理与计算框架；第3节详细介绍了所提出的AS-RBLS方法的核心创新点与实施流程，包括在超球体外部的直接采样方法、非干扰的顺序排序算法、短距离线搜索方法以及一种新型学习函数；第4节通过涉及罕见事件可靠性问题的典型数值示例，证明了AS-RBLS方法的有效性与稳定性，并与现有的先进线抽样方法进行了对比测试。相比之下，AS-RBLS通过将基于半径的分区机制整合到LS方法中，进一步提升了处理罕见事件分析的效率。AS-RBLS将样本空间划分为安全域以及包含故障域的β球体外的区域，并在β球体外进行短距离线性搜索。数值示例表明，本文提出的RS-RBLS方法具有三大优势：首先，该方法以非干扰的方式结合了基于替代模型的LS方法和基于半径的方法，从而保证了第一阶段的效率；其次，RS-RBLS与具体模型无关，因此可以根据特定的工程问题选择合适的替代模型和学习函数，进而确保算法的可扩展性；第三，该方法能够……结论本研究旨在开发一种高效的线性采样方法，以弥合可靠性分析中的计算效率与实际工程应用的高要求之间的巨大差距。所提出的自适应替代模型辅助基于半径的线性采样（AS-RBLS）框架通过四项创新解决了这一难题：首先，将基于半径的分区机制引入LS方法中，从而有策略地界定出包含最大值的超球面。

CRediT作者贡献说明：王博：撰写——初稿、可视化、方法论、数据整理、概念构建。余杰：撰写——审阅与编辑、可视化、形式分析、数据整理。王显明：撰写——审阅与编辑、方法论、形式分析。张俊凯：撰写——审阅与编辑、方法论。张天晓：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取、概念构建。

利益冲突声明：作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文的研究成果。

致谢：我们感谢中国国家自然科学基金项目（52372424）以及中国国家自然科学基金区域创新发展联合基金（U20A20281）对这项研究的支持。