基于特征函数的频域双变量分布重建方法

《Structural Safety》：Frequency-domain bivariate distribution reconstruction method via Characteristic Function

　　张福泰，湖南大学土木工程学院，长沙，410082，中国摘要准确重建联合概率密度函数对于不确定性量化至关重要，但由于现有方法的局限性，这一任务仍具挑战性。经典的高斯混合模型对初始参数敏感，而非参数化的核密度估计则缺乏封闭形式的解析表达式，且需要大量数据集。为解决这些问题，本研究提出了一种通过特征函数重构双变量概率密度函数的新方法，该方法将估计问题重新表述为频域问题。首先利用复分数矩从样本数据中计算出数值型的双变量特征函数，随后构建简化的解析特征函数表达式来近似该数值表达式。接着采用基于谱的初始化策略，根据数值特征函数的功率谱全局估计该表达式的参数。最后通过优化过程调整这些参数，使解析表达式与数值特征函数相匹配，从而得到双变量概率密度函数的封闭形式解析表达式。通过解析和数值示例验证了所提方法的有效性，其在小样本、非高斯及双变量概率密度函数处理方面表现优于传统的高斯混合模型和核密度估计，具有更高的精度和稳定性。引言不确定性量化是科学与工程领域现代分析与设计的基石[1]、[2]、[3]。其中的核心挑战在于准确描述系统变量的概率行为，尤其是在多种不确定性源相互作用并呈现复杂依赖关系时[4]、[5]、[6]。联合概率密度函数是描述此类多变量随机系统最基础且最全面的工具，其精确估计在各个领域都不可或缺。例如，在结构可靠性分析中，双变量概率密度函数对于构建双变量地震易损性面或基于位移与速度的双变量分布计算首次失效概率具有重要意义[7]、[8]、[9]；在水文学中，它通过建模洪峰流量之间的双变量分布为洪水风险评估提供依据[10]、[11]；在材料科学中，它可基于应力幅值与平均应力的双变量概率密度函数预测疲劳寿命[12]、[13]。因此，开发稳健且通用的双变量概率密度函数估计方法仍是重要的研究方向[14]、[15]。目前用于双变量概率密度函数重建的方法可分为参数法和非参数法两大类。非参数法以核密度估计为代表[16]、[17]，虽然灵活性较高，但通常缺乏简洁的解析形式，且需要大量数据才能实现可靠估计。为克服这些缺陷，一些先进的非参数框架被开发出来。例如，解耦概率密度演化方法通过避免使用高维偏微分方程，有效计算了多个系统响应的联合概率密度函数[18]；另一种方法则将流形上的概率学习与概率密度演化方法相结合，使得即使数据量有限也能实现稳健的双变量概率密度函数建模[19]；最近还有基于广义复分数矩的数值策略被引入，用于联合概率密度函数估计[20]。相比之下，参数法的优势在于能够得到简洁的解析模型，但需要预先指定概率分布类型。这类方法包括基于变换的方法，如纳塔夫变换[21]，以及共轭理论等复杂的依赖结构[22]、[23]。在所有参数法中，高斯混合模型因其作为密度估计的通用近似器的成熟应用而成为应用最广泛、最具通用性的方法[24]、[25]。尽管高斯混合模型在理论上具有优势，但其实际应用却面临两个主要挑战。首先是模型选择问题，即确定最优的组件数量K。常见的方法是拟合多个不同K值的模型，然后利用赤池信息量准则或贝叶斯信息量准则等信息标准来评估这些模型[26]、[27]、[28]、[29]，但这种穷举搜索方式计算成本高昂，且在复杂场景下可能不够可靠。贝叶斯非参数方法，如狄利克雷过程混合模型，则可以直接从数据中推断组件数量，从而无需进行显式的模型选择[30]、[31]。第二个挑战是固定K值时的参数估计问题。虽然期望最大化算法被广泛使用，但它对初始参数敏感，容易收敛到局部最优解而非全局最优解。鉴于这些限制，本文提出了一种集成型半参数框架，将该框架中的双变量特征函数作为处理这两项任务的统一载体。在频域表示中，通过数据驱动的谱分析同时确定模型复杂度K和初始参数。这种方法不同于基于AIC/BIC准则进行模型选择和通过期望最大化算法进行参数估计的独立流程，最终能够得到一种既稳健又具有理论依据的双变量概率密度函数封闭形式解析表达式。本文的其余部分结构如下：第2节介绍双变量概率密度函数及其特征函数的理论背景；第3节详细阐述所提出的方法；第4节通过解析案例验证该方法的有效性，第5节则通过数值示例进一步验证；最后，第6节总结研究成果并展望未来研究方向。理论背景本节为所提方法奠定理论基础，回顾了双变量概率密度函数及其频域对应物——双变量特征函数的基本定义与性质。设X和Y为随机变量，其双变量概率密度函数为fX,Y(x,y)，该函数决定了X和Y同时取值(x,y)时的概率。一个有效的双变量概率密度函数必须满足两个基本性质：非负性和归一性，具体定义如下[34]：fX,Y(x,y)≥0，对所有(x,y)∈R2成立；?R2fX,Y(x,y)dxdy=1。所提出的频域方法本节提出了一种通过特征函数重构双变量概率密度函数的新型频域方法。该方法首先利用复分数矩从数据样本中计算出数值型的双变量特征函数，从而将重建问题转化为频域问题。随后对参数化的特征函数拟合模型进行优化，使其与数值特征函数相匹配，进而得到最优的频域参数。最后，利用这些参数来重构双变量概率密度函数。解析验证本节通过四个已知双变量概率密度函数的解析案例来评估所提方法的效果。将所提方法与高斯混合模型结合期望最大化算法并运用贝叶斯信息量准则进行比较（依次测试1到10个组件的模型，选出最佳模型），同时还与二维核密度估计进行了对比。精度评估是在高分辨率网格上计算的归一化均方根误差，网格点数为Ngrid=10?。该指标的计算公式为：归一化均方根误差=1/Ngrid∑i=1/Ngrid[f?(xi)?f(xi)2]/(max(f)?min(f))，其中f?为估算得到的概率密度函数，f为真实的概率密度函数，分母则为f的最大值与最小值之差。数值示例本节通过更多具有挑战性的问题进一步评估所提方法的性能与实际应用价值。研究了三个数值案例，涵盖了从经典的非线性振荡器到现实世界的实验数据，旨在展示该方法在处理那些没有解析解或数据量有限的分布时的能力。结论本文提出了一种用于估计双变量概率密度函数的新型频域方法。该方法从频域角度重新构建了估计问题。通过双变量特征函数矩阵准确计算出数值特征函数，同时采用基于谱的策略来初始化模型参数。之后通过将解析形式的双变量特征函数与数值特征函数的实部进行匹配来进一步优化这些参数。所提方法的有效性与稳健性已通过相关验证得到证实。CRediT作者贡献声明张福泰：撰写——原始稿件、方法论、研究实施、资金获取、正式分析、概念构思。徐军：撰写——审阅与编辑、方法论、资金获取、概念构思。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。致谢感谢国家自然科学基金（项目编号52278178）、湖南省科技创新计划（项目编号2022RC1176）以及湖南省研究生科学研究创新项目（项目编号CX20250605）对本研究提供的财政支持。